STIELTJES A H ERMITE

Leyde, 6 novembre i883.

MoJNSIEUK,

Vous m'avez fait un très grand plaisir par la communication de votre formule pour la décomposition d'un nombre 8/i-f- 5 en cinq carrés, formule beaucoup plus cachée que celle que jai donnée. En efi'et, le raisonnement qui m'avait donné ma formule était assez compliqué et curieux, ce qui m'avait empêché de reconnaître le véritable caractère de ma formule. Maintenant, j'ai reconnu que cette formule peut se démontrer d'une manière assez simple, et l'on peut établir un grand nombre de formules analogues pour la décomposition en 3, 5, "j carrés impairs; mais dans toutes ces formides entrent seulement les fonctions

m impair, d parcourant les divisevus de m.

Ces fonctions jouissent toutes de la propriété expiùmée par

F(m)F(/i)= Y {mil),

m et n étant premiers entre eux. Mais elles ne sont point de la nature singidière de votre fonction 'b et de cette fonction nouvelle y,

■/ {n) = N { ( 3 û? -f- <i' ), d' > 3 d. ti = dd'

que vous avez introduite.

Païuni les résultats auxquels je suis parvenu il j a quelque temps il en reste cependant un qui me parait avoir plus d intérêt. Le voici :

Soit n := 8A" ± 3, F(/i) le nombre des classes pour le déterminant — n, excluant les formes avec les coefficients extrêmes pairs tous les deux. Alors

\r^)= — {^'{n) u-^o, ii:i,±2,

$'(aî) est la fonction de M. Kronecker

d parcourant les diviseurs de n.

Cette formule, en effet, ne semble point rentrer dans les formules données par M. Kronecker, tandis que la sommation s'effectue encore par cette fonction simple ^' [n). Dans les Monatsberichte de 1875, p. 22.3-236, M. Kronecker a donné de nouvelles relations ; mais, comme il le remarque, dans ces nouvelles formules il entre des fonctions arithmétiques plus compliquées, en sorte qu'il reste toujours encore possible que ses anciennes formules soient les seules où entrent seulement ces simples fonctions arithmétiques, qui ne dépendent que de la totalité des diviseurs d'un nombre.

J'ai communiqué cette formule, il J a quelques jours, à M. Kronecker, mais je ne sais pus encore son opinion là-dessus.

Je vous suis extrêmement reconnaissant pour l'envoi du Mémoire de M. Gierster qui ne m'était point connu. Mais je ne pourrai l'étudier, comme il le mérite, dans le premier temps, en sorte que je devrai faire usage de votre permission de le conserver assez longtemps.

Veuillez bien agréer. Monsieur, l'expression de mon profond respect et de mon entier dévouement.