P = SS
.-y/F^^. , ^//(,AV//)^-
et, ensuite, à l'aide de (i)
Ici, et dans la suite, dans les sommations il faudra prendre
6o CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Mainlenantj on a encore
(6) Q,= Vr/^=(i-^v//7)^/A.
Gomme vous voyez, la fonction de seconde espèce E est éliminée dans cette combinaison
PQi-QPi= :^AVr
que l'on peut écrire aussi
(7) i(3ss(5^-r-)r"+'"-=^AV/7=ee|03,
en posant
AA-'K 0 = 1 — iq -h iq* — 2(]/^ ^. . .= 1/ j
^2= iq* -+- 9.g* -+- 2g * + . . . = 4 / ,
/ÏK ^3=1-^ 2g -i- ■2q'*-h'iq^-^. . .— i/
Mais on a
06363= 2[q^— 3q^ + 5q * —...) = 9.S(— r) ^ gq*
et
e,^ = sV F(8/? + 3)^^^
en sorte qu'on obtient
(8) ^i-i)~sg'^^F{8n^'S)q~^^^^{s-^-nq^"-+'\
fi
La comparaison du développement des deux membres suivant les puissances de q donne cette relation singulière que l'on doit encore à M. Liouville et dans laquelle N signifie un nombre impair
(9) ^(-i)~^sF(/i^-s^-)=^{s^--n.
Dans le second membre, la sommation s'étend à toutes les représentations de N par 5-+ t-, ce second membre s'évanouissant si N
LETTRE 34. 6l
ne peut pas être représenté par la somme de deux carrés. Prenons par exemple N = aS, on a
En effet, on trouve
iF(99)-3F(9i) + 5F(7J; — 7F(5i) + 9F(ig), = 1.9 — 3.6H-5.7 — 7.6 — 9.3=^ II.
Pour N = a'-, on trouve
En effet, 27 n'est pas la somme de deux carrés.
Comme vous voyez, le théorème arithmétique exprimé par la formule (9) est équivalent à la formule (8); cette dernière formule revenant à {'j ) comme on le voit à l'aide de votre relation
Veuillez m'excuser si j'ai demandé trop de votre attention, mais je craignais ne pas m'être exprimé assez clairement sur ce que je me proposais en parlant des séries Hn'-q'^'. La formule (7) est une de celles dont j'avais pressenti l'existence. Crojez-moi toujours, avec le plus profond respect votre très dévoué.
