HERMITE A STIELTJES

Paris, 27 novembre i883.

MoNSIEUK,

Je m'empresse, en revenant à Paris, de vous accuser réception de vos communications du 24 et du 20 novembre, dont j'ai fait l'étude avec le plus grand soin et avec le plus grand plaisir. Les théorèmes contenus dans les relations (A), (B), (C) sont extrêmement intéressants et l'analyse par laquelle vous établissez en partie ces relations au moyen des développements de la théorie des fonctions elliptiques me prouve que les méthodes dont j'ai fait

usage dans mes recherches sur ces questions vous sont bien familières. Vous allez même bien au delà, car il ne m'est jamais arrivé de rencontrer des déterminants de la forme 3 A- — /«, ni la fonction numérique 'fi{n) auxquels vous avez été amené. Mais les déterminants compris dans la formule n — 8/-- que vous considérez si souvent s'offrent continuellement aussi, sous mon point de vue. Je viens, par exemple, de remarquer qu'en désignant par F(/i) le nombre des solutions de l'équation x- -]-y- -i- z- = n, lorsqu'on suppose X impair, y divisible par deux, et z par quatre, si l'on

continue de représenter par 'f (/<) la somme S( — i) - , où d parcourt tous les diviseurs de n, qui actuellement est impair et =^ I (mod4), on a la formule suivante

F(n)^(— [) 32 2^1— i)''cp(/i — Sr^) (r = o, ±1, ±-2, ...).

Votre méthode pour parvenir à la relation

PQ,QP,=.i^/.VF,

d'où vous concluez

est fort belle, et c'est également un excellent résultat que d'avoir rattaché à la théorie des fonctions elliptiques le théorème si remarquable découvert par M. Liouville. Mais je ne puis en rien satisfaire à votre demande relativement aux quantités '^n-q'^^] j'ai remarqué seulement que l'on a

Sn2^"'^=03(ry)^^^-^^^^ (a = i, 3, 5, . . .),

S2aVyT=0,(ry)[,-t-82^7ip^,] (^='^,4,6, ...).

Veuillez, Monsieur, m'excuser de ne vous rien dire sur la fonction '/{n), mon travail arithmétique ajant été interrompu par les circonstances qui m'ont appelé dans ma famille de Lorraine, mais vous ne perdrez rien, j'espère, pour attendre un peu. En vous priant de vouloir bien me faire savoir s'il vous convient que la partie essentielle de vos deux lettres soit publiée dans les Comptes j'endiis, comme les précédentes, je vous renouvelle,

Monsieur, avec l'expression de ma plus hauLe estime pour votre beau talent, l'assurance de mes sentiments bien dévoués.

MONJ