STIELTJES A H ERMITE

Leyde, '\ janvier iSS/j.

Monsieur,

J'avais bien remarqué que la première de vos deux formules

= ( 1-4- ■:>.q-^iq'* -^i(f

ii-^q)- i\—q*y- (i-hq'n-

[ (1-4- 5?2)2~^ (, | ^i)2 • (,g,li)2 •■■]

suffit pour établir la plupart des relations entre A(/î) et B(ai) que jai rencontrées; mais il n'est pas possible de les établir toutes de cette façon. En réfléchissant sur cet objet, j'ai éprouvé une vive satisfaction en voyant que les deux formules («) et [b) ensemble contiennent en effet, en germe, toutes ces relations. L'intérêt que vous avez bien voulu monti^er pour ces relations me fait espérer qu'il me sera permis d'entrer là-dessus dans quelques détails. En désignant par J(/i) la somme de ces diviseurs de n qui sont divisibles par la même (plus haute) puissance de 2 que n, par g(n) la somme des diviseurs impairs diminuée de la somme des diviseurs pairs, on a :

= I -^S^giiDq"-".

Pour plus grande conformité, faisons

LETTRE ki.

alors les deux séries seront

oc 00

el vos deux formules donnent ces relations

(Jl) /{11} — if {H — \-^)

-+- a/( n — '2- 1 — xfi II — 3'' )

o ou =( — ij"-i/i,

Ai ^s I ( inodH ).

= o, ou = n ;

la seconde valeur a lieu seulement quand n est un carré.

Ces deux relations donnent, en eflet, toutes les formules de ma lettre précédente. Soit, comme autrefois, o(/^) la somme des di\iseurs impairs de n et supposons n := 9.^ m, m étant impaii'. Ou u évidemment

f(n) — f{ ■2'''" m ) — -i'' o I m ] = ■!''/{ ni ),

gin) = g{i'^ ni) ={\ — -2 — 2- — . . .— 'x'' ) o( m ) =(3 — a''^' i ç-i ni i,

cp ( n ) = <& { 2^' »i ) = ç ( ni ),

d'où

(ij 2/(/i) -f- ^(ni = 3cp(rt ),

et si nous prenons, comme autrefois, csfo) =—. celte reUilion reste encore vraie pour // = u.

Rappelons maintenant les définitions de A(/?), B( /? :

A ( n ) = 'f ( "• ) -+- 2 9 ( « — -i- ) - - ■i':j( n ~ \- ) ~T . . . B ( /i ) = cp ( /i — I - ) -(- G ( /t — 32)-^...

et ])Osons, de plus,

[ B"(/( ) = o (jii /( J,

on a évidemment

( A(4/i) =^ A(/t)^ 2B(/n, ^^^ / A'(4/j,) = 4A'(/ij-r-8B'(//

^8 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJHS.

Je vais maintenant déduire les formules i-elallves au cas où l'argument n est de la forme 4*"^ f^ == i (modS).

Posons d'abord n = m dans (oAd) et (ii'o). La première qui s'éciil

A'( rt ) — 5>B'(«) = o ou ( — i)"-'/i

donne, n étant impair et par conséquent A'(«) = A(/i), (3) A(/n) — •2B'(/H) = o ou -^ m.

Mais on a évidemment

el la formule (iH») donne

= o ou

Donc, à cause de (i),

2B'("' ) H- B"( /?( ) — i\ Bi /?? ).

En retranchant donc W {m) des deux membres de (3). le second membre devient loniours égal à zéro, et nous trouvons :

A( m ) = ai B( /?n, m s^ i (inodS). Une application réitérée de

A'(4/î ) = 4A'(/? ) + 8B'(rt)

donne

+ 2[4/^-B'(7n) + 4^-iB'(4m) + . . .h- 4B'( 4^-1 m ij (/c^i).

D'après (Jl.) et (i(l)), le premier membre est égal à

En ajoutant donc des deux côtés 4''B"(/?î) et observant que

2B'(7?i) + B"(/n) = 24B(m), k'{m) = A(m) = 24B(m), on obi icnt :

B'( 4/'/» ) = 4/'. 24 B(/n) 4- [4*-iB'(4w i-f-. . .-+- 4B'( 4/f-i/// ) |

LETTRE 'il. 79

OU bien, parce que pour n pair B'(/? ) = B(//).

B(4w ) — \,i^ Bim ).

B(42wj = 42.'?.4B(m)-t-4B(4m),

6(4* w ) = 4*.24 B(/n) + 43B(4m)-h 42B(42w ) -^^B(^^rn),

Donc

B(42wj= 8B(4m),

B( \'*in) = 8B(4»/«).

et ces relations jointes à A(4/^) =-= -^('') + 2B(/^) donnent immédiatement les formules que j'ai données pour le cas d'un argument de la forme 4^m, m^i (modS). Les autres cas peuvent être traités d'une manière analogue; mais alors la relation (.A,) suffit et il n'est pas nécessaire de connaître cette seconde relation (itî)).

Mais voici, Monsieur, une nouvelle propriété de celte fonction B(/i) qui entraîne immédiatement une propriété semblable de la fonction ^(n).

SoityO un nombre premier impair, n un nombre quelconque non divisible par p^. Alors :

OÙ ^ - 1 est le symbole de Legendre et où il faut prendre ( — lorsque n est divisible par/?. Le facteur de B(A^) est

pZ/, ; p3k-3 ( y^3/.-6 ^ . , j , | \ p( pZk-Z | p3k-& ; . ^ ,

i3Am-3 I / n\ n3A' — j