PI

Mais je n'ai pu établir cette formule que très péniblement pour le cas de k = i seulement, et il faudra trouver une autre méthode pour traiter le cas génér^al. Vous trouverez donc, peut-être, que je suis trop hardi à donner déjà la formule générale; mais quelques analogies m'ont guidé et, ayant confirmé cette relation dans plusieurs cas, A' étant égal à 2, 3, 4. • • ., j'ai une entière confiance dans l'exactitude de cette relation.

8o CORRESPONDANCK d'hERMITE ET DE STIELTJES.

Comme une conséquence, voici, par exemple, la valeur explicite de ^{n), n étant un carré,

cî ( 22^7)2=' 5r2p/-2Y.. .) r^ [O PQR...,

n étant un carré très grand, on a donc sensiblement

^{ti) 8o ,„

— ^— =^ — •=11,43... ou lo.

"Z ' I n nair 1

I n impair)

(j'est un peu moindre que la valeur moyenne

Mais, Monsieur, permettez-moi cette demande : la réduction de ^(np-) à ^(n) ne se trouve-t-elle pas dans les Mémoires couronnés |)ar l'Académie l'année passée : Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés? En effet, dans le Mémoire de Dirichlet ([ui servira pour toujours comme exemple dans ces recherches, les relations analogues ont été déduites des séries infinies qui servent à exprimer le nombre des classes.

Sojez bien remercié. Monsieur, pour les bons vœux- que vous avez exprimés à mon égard; certainement je vous souhaite le même bonheur.

^'^otre très dévoué.

P. S. — J'ai remarqué une erreur dans le théorème ^ de ma Note sur un théorème de M. Liouville : l'expression exacte csl

rN = 5(mocl8), •2N = ^2^jk2, (') T^'expression donnée dans les Comptes rendus, l. \CVII, p. i4i5,ctuit

8^] (- . ; '^ ^- 1'- Cl N - 2 5= ; =^ ( X"- ~ y- )

0 inodS , 2N = x--hy\ ^ ■' )

y^ ^ 1 { mod ^ )