STIELTJES A H ERMITE

Leyde, i5 janvier i88^.

Monsieur,

Je vous ai communiqué, il j a quelque temps, les sommes de ces séries

VFfn — 8/-2) (/• = o, ± i,d=9., ...)

Vf(«— is^) f.v = 1,3,5, ...)

en supposant, dans la première, /i^i,3, 5, dans la seconde, /i ^ 3, 5, 'j (modS). J'ai enfin réussi à combler la lacune qui se montre ici, et à sommer la première série encore dans le cas n ^ 7, la seconde, dans le cas n ^ i (modS).

Je vais rapporter les formules générales qui supposent seulement que n est impair. Prenons toujours F(/i) dans le sens de M. Kronecker [en sorte c^xC on di sans exception F(4/i)= 2F(/i)] et posons de plus

(J/(«)=V(i) 8 d (ddt = n),

la sommation ajanl rapport à toutes les solutions de

X étant positif, y positif, nul ou négatif, mais inférieur en valeur absolue à -.r (ou, ce qui revient aii même, 2y-<</î, ou encore :r--< 3 /r). S'il n'y a pas de relation de cette (façon) sorte, il faut prendre 7(^) = o; c'est ce qui a \\v\\ loujours quand n est ^^ 3 ou = 5 (modS), mais encore en d'autres cas. (^cla posé, on a les relations suivantes :

( .1, ) 'xS (— 1 )'F ( n — •>. 7-2 ) =: (— I ) ^ •/ C /? ) ( « = o. d= I , ± 'i, . . . )

Considérons encore les solutions de /? = jr- — ajK" ; mais, cette fois, prenons y positif, x positif ou négatif et d'ailleurs, comme

précédemment, en valeur absolue, j)^- <; - et posons

Alors on a les deux formules suivantes dans lesquelles n est Loujours impair,

(8) 2^,)rF(2n- -.A/-^) = y(n)/,(/i),

(CD) ^¥{-2,1 - r^- ) ^- '2'!^in)-y(n) ^ yj(n).

L'intérêt principal de ces nouvelles relations me paraît consister dans l'introduction de ces fonctions '/{n),'/{ (n) qui dépendent delà représentation de n par la forme d'un déterminant positif x- — •s.yavec cette limitation aval. abs. y<^val. abs. x. Il me semble en effet que cette circonstance sera la source de très grandes difficultés si l'on (voudra) veut entreprendre de retrouver ces formules par l'analyse des fonctions elliptiques ou, du moins, par des développements analogues. Je ne crois |)as qu'on ait jamais vu s'introduire, dans ces calculs, des formes d'un déterminant positif tel que x- — aj'-.

Comme un exemple plus simple, j'ai, maintes fois, lâché, mais toujours sans succès, de démontrer par l'analjse seule cette formule

ry3 1 — q*^

X impair,