r > Zy -^o

qui exprime ce théorème connu que le nombre k des solutions de

n = .r^ — ■ly'^, n impair, x impair, ix^'iyl-o

est égal au nombre des diviseurs de n compris dans la forme 8/' ± i moins (minus) le nombre des autres diviseurs 8rrt3. Et, avant moi, ]M. Heine n'a pas été plus heureux, comme il le dit dans son Traité des fonctions sphériques (a^ édition, t. I, p. 112).

En prenant successivement a' = i , 3, 5, . . ., on a

-2yi

-i-q^Hi

-\-g^Ui

Mais la condition 2^"^ '6j^ ^ o donne dans le second membre une loi un peu compliquée. J'ai remarqué, toutefois, que cette expression est susceptible d'une transformation élégante. En efTet, je trouve que le nombre des solutions de n = x^ — 2 j'^, a: > ay ^ o est égal

à - ou à selon que A" est pair ou impair. On aura donc

X > ly ^o ix "^ 3 y^o parce que A" est seulement impair quand n est un carré. Or on a

7"(l + 7-2-»+ (/-^-i-j-gr-î-»)

donc

VV«-'-^r' =

g,a--zj- ^.

2a">3jKèo -I- 7^'(i-t- 27-^'')

+ 7(2" + Jl'(l -4- 27-2-1°-+ 2 <7-2-2'+ . . .-+-25--!"»).

Le second membre rappelle bien, de loin, les développements que vous avez rencontrés dans vos recherches sur les théorèmes de M. Rronecker; mais je n'ai pu prouver par l'anal jse l'égalité de

ce second membre à — - — H [-•••• Or il me semble que la

démonstration analytique des relations (JU), .... (ôD) sera difficile à

LETTRE i3. 85

plus forte raison et je ne (me) hasarderai pas à l'entreprendre après mon insuccès dans la question plus simple dont je viens de parler, La formule (<.l)) par exemple revient à celte identité

-^{■m -4-l)5r'2/2 + I)'(i 2^-2.1 t-2 5r-2.4-l-.. .-+- -^i— lyiq-ln^ -H

Je prévois déjà que les formules données par M. Liouville, dans lesquelles la série des déterminants est — ■ (/i — 3/'2), ne forment que les cas les plus simples ; pour avoir des formules plus générales il faudra des fonctions analogues à y et qui dépendront des solutions de n = x- — ?>y'^ et n^=z x--\- 3^2, J'espère aussi que je pourrai maintenant compléter le système des relations données dans ma Note sur le théorème de M. Liouville, et je me propose de présenter alors ces formules à l'Académie.

On m'a offert, il y a quelques jours, un professorat d'Analyse [Calcul différentiel et intégral) à l'Université de Groningue. J'ai accepté cette offre et je crois que cette position me permettra d'être plus utile. Je dois beaucoup, dans cette circonstance, à l'extrême bienveillance de mon ancien chef M. Bakhuyzen, le direc teur de l'observatoire. Un de ces jours, ma nomination définitive arrivera. Mais vous comprendrez bien que ce changement entraine pour moi des distractions qui m'éloigneront de l'étude dans les premiers mois à venir.

Agréez, je vous prie, Monsieur, l'assurance des sentiments res pectueux de votre serviteur dévoué.

P. S . — Je viens de recevoir votre lettre qui me fait une impression pénible en me portant la nouvelle du deuil de famille qui vient de nouveau vous frapper.

Acceptez mes remercîments pour vos renseignements précieux sur les Mémoires de M. Smith. Je me propose, dès que j'aurai

le loisii', et ce sera, j'espère, dans les vacances de l'été prochain, de faire une étude sérieuse de ces théories. Peut-être aussi, alors, les Mémoires couronnés par l'Académie auront paru. Je ne doute point que la relation entre F (np^^)el F(/i), comme celles entre F(/i.4*)et F(/i) ne soient (seront) contenues dans les résultats de M. Smith et je me promets beaucoup de satisfaction à voir comme cela découle de ses théories si belles et si importantes. Quant à la formule

elle est une conséquence facile des résultats de Ganiss (Disc/. A rit h., art. 2o3-2o6) retrouvés et complétés plus tard par Dirichlet. La recherche de (jauss est une application de sa théorie de la composition des formes quadratiques; ses résultats ont été démontrés aussi d'une znanière très belle et très simple par M. Lipschitz(yo«/'«. de Borch., t. LUI, p. •i^S-'Àog) qui se fonde sur l'étude des substitutions linéaires de déterminant/? qui transforment directement une forme quadratique d'un déterminant n en une autre de déterminant np^.

Nommons H (/i) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — n; alors

(a) H(«/y^A)=. L/.(^:=!!^y,-ij H(«);

seulement, lorsque /< = i , il faut prendre la moitié du second membre;. Et, de plus,

si l'on prend pour d tous les diviseurs de n (jui sont des carrés impairs. Seulement, lorsque n est un carré im])air, il faudra retrancher-1 du second membre. Mais, comme, dans ce cas, il y aura un diviseur d = n, on voit que les deux formules (a) et ( [3) sont vraies sans exception, si l'on convient seulement de prendre H(i) = - au lieu de H(i) = i. En supposant maintenant que n n'est pas divisible par yo-, vous trouverez sans difficulté que les équations (a) et ([3) donnent ce théorème : ¥{np^'') = . . . etc. L'équation (a), du reste, ne suppose point cette restriction que n doit être divisible

LETTRE kk.

par/)'-. En effet, l'équation (a) donne

i:"("r)K'"-(^)Hi:"(r;)=k-("i;^)H^-

de même

np^

et l'addition donne la formule voulue par une nouvelle application

de(^).