H ERMITE A STIELTJES

Paris, 28 février li

Monsieur,

Une élection qui doit se faire lundi prochain à l'Académie pour remplacer M. Puiseux que nous avons eu le malheur de perdre l'année dernière, au mois d'octobre, m'a imposé une lourde tâche dont je viens seulement d'être délivré. En me consacrant aux travaux des autres, il m'a bien fallu renoncer aux miens, et j'ai quelque peine maintenant, après une interruption de plusieurs semaines, à ressaisir mes idées et à reprendre la trame de mes calculs. Je reviens à l'Arithmétique en vous remerciant, Monsieur, de votre dernière lettre et vous exprimant tous mes vœux pour que vous trouviez à l'Université de Groningue une situation entièrement favorable et qui vous permette de donner à la Science ce qu'elle attend de votre beau talent. Vos recherches publiées dans les Comptes rendus ont attiré l'attention, et je viens vous apprendre que vous avez un émule digne de vous dans M. Hurwitz, privat-docent à l'Université de Gottingue. Son nom ne doit point vous être inconnu si vous lisez les Malhematisclie Annalen où il a publié récemment une extension à de nouvelles transcendantes de la méthode exposée à ses élèves par M. Weierstrass pour établir plus simplement que ne

l'a fait Lindemann que le rapport de la circonférence au diamètre n'est pas un nombre algébrique. En ce moment, ce sont vos résultats sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés et les formules extrêmement remarquables que vous annoncez avoir obtenues par induction :

que M. Hurwitz démontre en confirmant votre prévision, et il les généralise de la manière suivante :

Le nombre des décompositions du carré d'un entier quelconque m en cinq carrés s'exprime par

F(m2) = io r 1 r j ^ j

on suppose

2, /?, q^ étant des nombres premiers différents.

La démonstration que vous verrez dans le prochain numéro des Comptes rendus et qui se déduit de cette formule

F(m2) = 10 ^ — [(f(«2)-4-2(p(rt2 22)-|-2Cf(rt2— 42) — .. .]

est aussi simple et élégante que profonde; je suis sûr qu'elle vous intéressera vivement.

En attendant que je puisse revenir sur ce sujet, en le prenant sous le point de vue que je vous ai indiqué, je rédige pour le Bulletin de V Académie de Saint-Pétersbourg, afin de ré[)ondre à une bienveillante demande de M. Bouniakowskj, la démonstration des théorèmes (A), (B), (C) de M. Kronecker, avec quelques remarques auxquelles ils donnent lieu. Ainsi le théorème (A) contenu dans l'égalité

conduit à exprimer la somme

F(2) + F(6) -t- F(io) -+-. . .-+- F(/i« + 2) par la formule suivante.

Considérez tous les entiers positifs impairs, a et a', qui satisfont

à la condition

et soit

on a

Que de choses j'aurais à vous dire, Monsieur, sur cette question ; mais il me tarde que cette lettre parte et vous porte le motif du retard qvie j'ai mis à vous répondre, en même temps que mon vif désir de recevoir bientôt de vos nouvelles. La liste des candidats à la place vacante, dans la Section de Géométrie, a été arrêtée comme il suit : i" M. Darboux; 2° M. Laguerre; 3° M. Halphen; 4° 6Xœquo et par ordre alphabétique : MM. Appell, Picard, Poincaré ; l'âge et l'ancienneté des services rendus à la Science ont été pris en considération, comme le mérite scientifique; mais, sans doute, à une autre occasion et quand je céderai, à mon tour la place que j'occupe, cette liste pourra être bien changée. Je suis toujours, avec les sentiments de la plus haute estime, votre bien sincèrement dévoué.