STIELTJES A HERMITE

Leyde, i" mars 1884.

En rentrant en ville hier soir, j'ai trouvé votre lettre qui m'est bien précieuse.

J'avais réussi, de mon côté, à démontrer les formules trouvées par induction, mais ma démonstration arithmétique ne pouvait se résumer en peu de mots. Votre lettre m'a fait penser de nouveau sur ce sujet; voici comment je crois que l'on peut arriver à mes résultats assez simplement en partant de

F(w2) = 10 [o(«^) 4- 2 0(«2 22)-4- 2Cp(rt2— 42) -H. . ].

go CORRESPONDANCE D HERMITE ET DE STIELÏJES.

Soil d'abord n ^p un nombre premier : il s'agit d'évaluer

4^= Cp(p2) -i- rj,r^ ( p2 .2-) -\-. . .

OU bien, à cause de

■ii-hp = 9{p)0{p) -i- .2'^(;,-2 22) + '2Cp(/?2 42)+.. .

OU encore

Ce sont deux l'ormules elliptiques qui mènent au but; en ellel, on a (OEuv/'es de Jacobi, nouvelle édition, t. T, p. 162. 16-)

I — q- I — ^+ I — cp

= '6[x(i) ry ^ /.( 2.) 7-^ 7.(3) 5-3 ^. . .],

y(/i) représentant la somme des cubes de ceux des diviseurs de // dont les diviseurs sont impairs.

Or, en élevant au carré la formule (i), on voit aussitôt que le coefficient de qP devient

(i(i)<p(a/) — n -^ cp(3) 0(2/? — 3) -f-. . .-H cp(/?) cp(/>) ^. . .-H cpfayO — i)o([)

On peut traiter d'une manière analogue le cas où n est composé . Cela nécessite encore quelques considérations supplémentaires qui, toutefois, n'olïrent point de difficulté.

Voici comment j'avais auparavant traité le cas de la décomposition d'un carré en trois carrés.

Soit

pour un nombre quelconque n, d parcourant les diviseurs impairs

de n et t|/(o) = I; alors :

n étant un nombre de la forme 8A-+I, el¥{n) la fonction de M. Kronecker. Si l'on considère iiY{n) comme représentant le nombre des représentations de n par x'^+y--{-z-^ on peut obtenir celle expression à l'aide des considérations les plus élémentaires. Maintenant on a

Donc

^^^^^.W,)^^)KW^) J^^^^'^ (. = „3,S,...,

ou bien, en changeant q en — q^

En posant donc, pour un nombre ^ i (modS),

on aura, lorsque n n'est pas un carré,

et lorsque az esl un carré

Les formules (a) et (6) donnent maintenant

iF^n)-^^G{n) = /i'S\<!^{n-f^) (^=1,7, 9, '5,...),

( Fin) - '-G(n) = i^'i^{,i - ,r^) {a = 3, 5, u, i3, ...)•

Ce sonl ces formules (^d) qui donnent, par une discussion facile, la valeur de F(/i) lorsque n est un carré impair quelconque.

Soit, pour considérer seulement le cas le plus simple, n =ip-^, p étant un nombre premier ^ i (modS). Alors la seconde des

équations {d) donne, en faisant attention aux valeurs (c), F(^U)i^A-=42'}f/^2A-„2) („ = 3, 5, II, ...).

Considérons un terme quelconque

et supposons

u ^:= p''u' , ol /• < A:,

u' n'étant point divisible par/?; alors

Or, /)*~^ est ^£ I et ii! est ^ ± 3 (modS); donc un des nombres p^~^-±L u' est ^6 (modS), et par conséquent

^{p'^^—u'^) = o et F(/>2A) = |pA-. En supposant

/>,,/?25 ••• étant des nombres premiers ^ i (mod4), ^i, «72? ••• étant des nombres premiers ^ 3 (mod4), on trouve que le nombre des représentations de n- par x--\- y--\- z- est égal à

bpjp2...prX ~ X ^ X...X -^— ^

Çl — l Çi—l Çs—i

Probablement on pourra aussi arriver à ce résultat en suivant un chemin analogue à celui (celle) qui m'a conduit plus haut au nombre des décompositions en cinq carrés; mais le temps me manque en ce moment pour vérifier cela. Je suis très intéressé à voir la démonstration de M. Hurwitz, qui certainement ne m'est point (connu) inconnu, parce que, en voulant étudier les Mémoires de M. Gierster, j'ai dû recourir à un beau Mémoire de M. Hurwitz intitulé : Fondements d'une ihéorie indépendante de la théorie des fonctions modulaires.

Lorsque j'étais engagé dans ces recherches, j'ai aussi considéré la décomposition en sept carrés. On a, dans ce cas encore, des formules entièrement analogues; l'analogie est plus grande avec la décomposition en trois carrés qu'avec la décomposition en

cinq carrés. Mais je n'ai point mené à fin ces recherches, et aussi je n'avais point encore trouvé une méthode pour déduire mes formules de la théorie des fonctions elliptiques.

Peut-être vous trouverez intéressante cette remarque, que j'ai faite à l'occasion de cette relation

F(np'-^)= r/>A+^/,-i^...|.i^3jL*V^A--i + ..,^, Jf(«),

qu'on a des relations analogues pour la décomposition en 2, 4? 6, ... carrés. En effet, vous verrez aisément que l'on a, pour /■=2, 4, 6, ...,

la valeur du symbole de Legendre ( I étant it i ou o

lorsque n est divisible par/? (mais non par/?^^^

^^(/i) est le nombre des solutions de n = x'^ -\- x', -\- . . . -\- x^. De même, on a pour r = 3, 5, ^, . . .

A =/?('-2'/'-|-. ..-|-pr-2^,^

mais je n'ai démontré cela, dans les cas /'=3, 5, 'j, que dans quelques cas particuliers.

L'expression de 3'(/?) fournie par les fonctions elliptiques est

m — l r OT — 1"! rf — 1

d parcourant les diviseurs impairs de n ; il est facile, d'après cela, de vérifier la relation donnée plus haut.

Mais, dans ces derniers temps, j'ai abandonné ces recherches parce que je veux étudier d'abord les théories de M. Smith; or, les Mémoires que vous avez bien voulu m'indiquer manquent dans la

bibliothèque de l'Université, en sorte (|ue je dois attendre la publication de votre Académie.

J'aurais encore à vous dire bien des choses concernant votre lettre; mais le temps me manque et je dois finir cette lettre déjà longue.

Crojez-moi toujours, avec le plus profond respect, votre très dévoué.