HERMITE A STIELTJES

Paris, 12 mars i884- Monsieur,

Vos théorèmes sur la décomposition des nombres en sept carrés, contenus dans les équations

F7(4Am)=/(A-)F,(m),

sont entièrement nouveaux et extrêmement beaux et je viens vous demander l'autorisation de les communiquer à l'Académie en pu- Idiant votre lettre du 8 dans les Comptes rendus ('). Peut-être en prendrai-je occasion pour j ajouter quelques remarques concernant votre expression de la fonction F(/2) de M. Rronecker par la formule

que vous tirez sans doute du développement

9,/iK il\x !\Jq?,\nx 4v'7^sin3.r

su = ■ 1 1- . . . ,

Ti; - I — q { — q-^

en supposant ^ =z y Le premier nombre devient, en effet,

T "nS fi

"7= n , 1 X J et le développement de la quantité x-Q, conduit pi'éci-

sèment à F(/\n -+- -i). 11 ne me semble pas inutile de i-emarquer que votre résidtat est d'une autre nature que ceux qu'on tire immédia-

(') La lettre du 8 mars manque. Elle constitue, sans doute, la Communication insérée aux Compter rendus : Sur quelques applications aritlunétiques de la théorie des fonctions elliptiques {Comptes rendus, t. XCVIII, p. 663; 17 mars i884).

temenl des théorèmes A, B, C de M. Kronecker et qui dépendent de la fonction plus élémentaire /(/«) donnant le nombre des solutions de l'équation a:--\-y-^= ni.

On trouve aisément

6 = o, ± I, d= 2, . . .; puis encore

C = 0,±I,lt2, ±3, ...,

mais ces formules ne sont point les seules à s'offrir. Désignez par g{n) la fonction ainsi définie :

en désignant par d tous les diviseurs de Ai, moindres que \/n et supposant /i ^ 3 (mod4); vous aurez

Soit ensuite gt (n) une fonction relative à un nombre pair, à savoir : 1 r 'i'—i

où d représente tous les diviseurs impairs de n, moindres que i/n et d' tous les diviseurs impairs, plus grands que \^n, on a :

Q 1 = 0 + 4^] ^' '^ "-«')'?" ^ ^2 *"■' ('^ — c') (- ^)" avec la condition de prendre c ^ n (moda).

La difficulté est de reconnaître de quelle manière se ramènent les unes aux autres des expressions si diverses; n'ayant aucun espoir de la surmonter, je me résigne, Monsieur, à interroger les formules elliptiques de diverses catégories, en demandant à chacune son secret arithmétique, et à recueillir les réponses utiles ou inutiles avec patience et persévérance ; plus laboris quani artis. Mais voici mes leçons qui arrivent, avec les examens de la Sorbonne, et, comme vous, il me faut faire la part aux devoirs et aux obligations de l'enseignement. Non sans regret, je m'arracherai aux formules suivantes qui m'ont coûté bien des efforts et dont je ne désespère point d'obtenir quelques résultats. Soit toujours « :^ i, 3, 5, . . .; on a

puis, en faisant c = i,2,3, . . .,

Permettez-moi, Monsieur, de vous demander s'il vous conviendrait d'appartenir à la Société mathématique de France ; le règlement de la Société, qui impose aux membres étrangers la même cotisation annuelle de ao*^"" qu'aux Membres nationaux, et un droit de lo^'" pour délivrance du diplôme, ne me permet point, sans avoir obtenu votre consentement, de vous proposer au choix de mes confrères qui, j'en suis assuré, vous accueilleront avec la plus grande sympathie.

Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.