STIELTJES A HERMITE

Leyde, i3 mars 188^.

Monsieur,

Je verrai avec le plus grand plaisir que vous fassiez (ferez) imprimer dans les Comptes re ni us ma dernière lettre; seulement je

LETTHE k7. 97

ne sais pas si ce que je dis sur cette relation

F(«/>2/.) =, [pK^p/c-y^__,.^ , (^j (/>/■-! + .. ■ /' ^- 0 F(n)

sera intelligible. Aussi, j'espère avoir (que j'ai) exprimé assez clairement ma satisfaction sur la méthode de M. Hurwitz, qui est beaucoup préférable à celle que j'avais suivie auparavant dans le cas de la décomposition en trois carrés.

Enfin, il faut supprimer cette relation

(q^'-i-cf- ^.,.)(l — 9, cf^'^ ...) = cj^'-— cf ^ q-' ( , — 2 ^S-''^ ) — . . .

parce que je me suis aperçu que le théorème arithmétique qu'elle exprime a été donné par M. Smith sous une auti^e forme, et il serait nécessaire d'j ajouter plusieurs remarques. Cette découverte m'a intéressé beaucoup parce que la démonstration indiquée par M. Smith est tout à fait différente de la mienne. Ces relations appartiennent à ime classe dont on a vu le premier exemple dans le premier Mémoire de Gauss sur la théorie des résidus biquadratiques : p étant un nombre premier ^ i (modS) et

alors si

ar ^ ± I ( inod 8 ). u est pair

et si

a7^±3(mod8), a est impair,

{OE livres de Jacobi^ nouv. édit., t. II, p. 218).

M. Smith, en parlant de ces théorèmes, remarque qu'il existe des théorèmes analogues pour la représentation d'un nombre par deux formes quadratiques, l'un des déterminants étant positif, l'autre négatif. Et, comme un exemple, il donne un théorème qui ne diffère pas essentiellement de celui donné plus haut.

Je sens bien. Monsieur, qu'il vaudrait mieux que je publie (si je publiais) in extenso les recherches auxquelles je me suis (m'ai) livré d'après vos indications et encouragements; mais je n'en vois pas encore la possibilité prochaine.

La Faculté de Groningue m'avait bien présenté en première ligne pour la place vacante, mais M. le Ministre a nommé un des autres. Probablement la raison aura été que n'ayant point eu l'occasion de suivre le chemin ordinaire, je n'ai point obtenu un grade à l'Université. Je suis très sensible à votre proposition honorable à la fin

gS CORRESPONDANCE D'hERMITE Eï DE STIELTJES.

de voire lettre; mais dans mes circonstances un peu précaires, je dois vous demander d'en ajourner quelque temps l'exécution.

Dans le commencement de la semaine suivante je serai à Paris pour quelques jours; peut-être aurai-je alors le bonheur de vous voir. Je suis toujours votre serviteur bien dévoué.