STIELTJES A HERMITE
Leyde, 7 mai 1884.
Monsieur,
Je suis bien fâché que mon travail vous ait causé tant d'ennui et je me hâte de vous donner les développements demandés.
Soity(jc) luie fonction donnée, qui ne devienne pas négative entre a et b. Il n'est pas exclus qu'elle devienne infinie ; seulement
/ fi-^) ^^-^ ào\l avoir un sens.
( ' ) Ce travail a efTectivement paru dans \es Annales de l'École NoF'nia/e supérieuie : « Quelques recherches sur les quadratures dites mécaniques », 3° série, t. I, p. 409-426; 1884.
Io8 CORUESPONDANCE d'heRMITE ET DE STIELTJES.
Problème. — Déterminer un polynôme
d'un degré donné n, tel que
(i) / f{x)'^{x)xf^dx = o
pour A' = o, 1 , 2, . . ., « — I .
Ces conditions donnent, pour déterminer les inconnues «(, «2, •••, ctrtj les équations linéaires suivantes :
1 / x'^ f{x)dx + ai I x"-'^ f{x) dx
pb h
l ' -i- «2 / x'^-^ f{x) dx -^ ...-{- a „ I f(x)dx = o,
/ a;«+i /(a7)</a;-)- «1 / .r" f(x)dx ■
■'Il ^ a
-i- a.2 I x"--'^ f{x) dx -{-. . .-\- a,i j xf{x)dx = o,
I x"-+'^ f{x)dx-\- ay I xn-^i f(x)dx
-)- «2 / *■" f{x)dx-\-...-^a,i I x^f{x)dx = o,
Jf x^'i-'^f(x)dx -+- ai I x'^-'i-"- f {x) dx
+ «2 / X^-n-^fl^x) dx -h. . .-h Un f X'^-^f{x) dx = O.
Le problème est donc déterminé en général et flri,«o. ...,a,t deviennent des fonctions rationnelles des in constantes
/ x'^ f{x) dx ( /i = o, 1,2, . . . , 2 n — i).
Mais, si, comme nous le supposons, la fonction /(x) ne change point de signe, on peut démontrer qu'aucune contradiction ou indétermination ne peut se présenter dans la solution du système (•^.),
le déterminant A étant, alors, certainement différent de zéro. En effet, écrivons, dans les intégrales de la première ligne, x^ au lieu de x, dans celles de la seconde ligne, ^o, etc., enfin dans celles de la dernière ligne, x,i au lieu de a: ; le déterminant A peut alors se mettre sous la forme d'une intégrale n-iiple, ainsi :
r ou \ ce \
ClX \ CtX^ . . • (XX f^
ou bien
(3) A=r f ... f f{x,)f{x,\..f{xn)x,xlxl.
.x% ^ n dx\ dxi. . .dx,ii
La notation des variables étant indifférente, on peut, dans l'expression (3), permuter de toutes les manières (en nombre i .•2.3...n) les indices 1,2, ..., n. Par ces permutations. Il ne change point, ou change seulement de signe et, faisant la somme de toutes les équations que l'on obtient par ces permutations, on aura
X^Xr,
donc
.■i.3...n\= I I ... I fixi)f{x,)...f{x,,){Uy-dxidx,...dx„,
ce qui fait bien voir que, dans notre supposition concernant la fonction f{x), A est positif et différent de zéro.
Conclusion. — Le problème posé conduit à un polynôme N(^) parfaitement déterminé pour toute valeur de n. Désignons ces polynômes pour /i= I, 2, 3, ... par N, (a^), N2(.r), N3(ji:), . . . . Les conditions (i) qui ont servi à déterminer N(^) font voir que
(5) f f{x)^{x)i:„,{x)dx = o,
T,,,(^) étant un polynôme de degré n — i au plus, d'ailleurs
IIO CORRESPON»ANCE U HEIIMITE ET DE STIELTJES.
loul à fait arbitraire. On a donc aussi
(6) f f(x)N/,{x)?i/{x)da;^o
lorsque les indices A" et / sont inégaux. Proposition. — Les racines de l'équation
sont j'éelles, inégales, comprises entre a et b.
En effet, désignons par ^,, x>, • . - , Xk toutes les racines réelles
de cette équation qui sont comprises entre a el b. Nécessairement k est au moins égal à i, parce que N(^) doit changer de signe entre a et b k cause de
/ f{x) N{x)dx = o ,
Posons
N ( rr ) = ( X — ^1 ) ( ^ — ^2 ) • • • ( ^ — -^"A- ) P ( ^ ) ;
P(^) ne change point de signe entre a et b. Or, si P(^) n'était pas simplement égal à l'unité, {x — Xi)(x — Xo) • • -{x — x^) serait au plus du degré n — i et, d'après (5), on aurait
I /{x)'N{x)(x — Xi){x — x-i). . .(x — x/,) dx = o,
ce qui est impossible, parce que la fonction sous le signe / ne change point de signe.
Toutes les racines sont donc comprises entre a et b. Mais aussi, il ne saurait y en avoir d'égales. En effet, supposons
N{x) = (x — xiY P(x), P(.r) sera du degré n — 2; ])ar conséquent
f{x)'N{x)P{x)dx = o,
ce qui est aussi impossible (de nouveau).
Application des résultats précédents à la quadrature mécanique. — Désignons par Xt, x-,, ■ • . , x,i les racines de IN (x) = o.
