LETTRE 52. II I
Soil G(x) un polynôme de degré iii — i au plus, d'ailleurs parfailement arbitraire. En divisant G(^) par N(a') on aura
(7) G(:r) = Q(^)N(ar) + R(:r),
le quotient Q(^) et le reste ^{x) étant tous les deux de degré n — i au plus.
Nous aurons donc, d'après (5),
(8) f f{x)G{x)dx= f f{x)Rix)dx.
Maintenant, R(^) étant du degré « — i, on a identiquement, d'après la formvde d'interpolation
^ ' {X — Xi)K{Xi)
{X — X.2)N'{X2) " {X — Xn)N'{Xa)
En ]30sant donc
A/s ne dépendant donc en aucune façon du poljnome G(^), l'équation (8) devient
f{x)Q{x) dx = AiR{>i) -H A2R(a-2)-i-. . .-t- A„R(a'„),
mais, d'après ( -),
R(ri) = G(x,), ...;
donc
(lo) / /(a7)G(a")û?^= A,G(^i,) + A2G(a72)-^...-+-A„G(a7„).
Je crois qu'après ces développements tirés du Traité des fonctions sphériques àeM. Heine, ma lettre précédente ne présentera plus d'obscurité. M. Heine ne nomme pas l'auteur de cette démonstration que N(.r)==o a toutes ses racines réelles, inégales, comprises entre a et b. Je crois me rappeler (un peu confusément) que Legendre est l'auteur de cette démonstration extrêmement ingénieuse dans le cas /(;») = i, N(.r) = X„. Mais j'aurai soin de m'en assurer (de m'assurer de cela).
J'ajoute encore la remarque suivante qui, certainement, n'est
pas nouvelle pour vous, seulement pour indiquer la liaison de ces recherches avec la Noie que vous avez bien voulu présenter à l'Académie en octobre i883.
Comme on a
''' fi^)
ty a '-Il
dx
—^ I xf{x)dx-\ / x-f{x)dx
les équations (2) expriment aussi que, dans le développement de
niz)f''J±^dx
suivant les puissances descendantes de z, les termes en -» __, ..., manquent ('). N(;) est donc le dénominateur de la réduite d'ordre n de la fraction continue
dx =
Ko —
et l'on a
N3=(^ — a2)N2— ÀoNi, L'équation
(a) Na-m =(z-a;,) N/, - X/, N/,,
donne, en multipliant par Na(^)/(^) c/:; et intégrant de a à b, à cause de (6),
f zN,(z)N,.(X)jX^)dz
(II) «/
/"na-(
z)N;,{z)/{z)dz
(') A'ote de l'auteur. — C'est ainsi que M. Heine a posé le problème, Tome I, page 28G, cL qu'il arriva à ces équations (2).
LETTRE 52. I l3
d'où l'on voit immédiatement que a^ est compris entre a et h. De même, en multipliant (a) par ^k-{{z)f{^)cl^ et intégrant de a à b, on trouvera, à cause de (6) et de
^N/,i(^) = N/i,.(\3) + polynôme du degré /i — i,
Donc \h est positif. J'avais démontré ces résultats d'une autre manière dans ma Note d'octobre i883. Du reste, la fonction y(^) étant donnée, ces équations (i i) et (12) donnent un moyen régulier pour déterminer de proche en proche toutes les constantes a, \ de la fraction continue
Xj
on a d'abord
>>o- Ç A^)dz, a„= f zf{z)dz= f f{z)dz.
Ayant trouvé ao, N, (j:;) est connu, et les équations (11), (12 donnent a,, X, qui font connaître N2(^), .... ,
La théorie de M. Heine n'étant peut-être pas connue généralement en France, il sera bon probablement d'en donner un aperçu comme celui plus haut, dans mon Travail, quoique ce qui me reste propre devienne (devient) de cette manière peu signifiant, en regard de ce que j'emprunte à M. Heine.
J'avais démontré, dans ma Note d'octobre i883, que la quadrature mécanique
AiG,(ari) + A2G2(^2) -1-. . .-H knQxn(Xn)
donne avec une approximation indéfinie
f{x)Q{x) dx,
G[x) étant continue et présentant un nombre fini de maxima et de minima. Et il est même facile de voir que cette dernière restriction est superflue et qu'il est suffisant que G{x) soit continue.
Il4 CORRESPONDANCE d'iIERMITE ET DE STIELTJES.
Pour cela, il suffil de remarquer que G(^) étant continue, et s une quantité donnée aussi petite que l'on veut, il existe toujours une fonction continue F(:r) cjui ne présente qu'un nombre fini de maxima et minima, et tel que Gfx) — F(a") reste inférieure à e. [Ce nombre fini de maxima ou minima de F (a') croît au delà de
toute limite avec - lorsque G(x) présente une infinité de maxima
ou minima, mais cela est indifférent pour la question.]
Ce résultat d'octobre i883, que la quadrature est applicable à toute fonction continue, a été pour moi la raison princi])ale qui m'a lait croire [avant c[ue j'eusse (j'avais) trouvé luie démonstration] à la vérité de la proposition fondamentale de ma lettre précédente, et qui m'a fait chercher avec un peu d'obstination à (d'en) en obtenir une démonstration.
Cette lettre. Monsieur, est devenue trop longue pour parler encore de mon premier Travail et des (sur les) racines de l'équation F(j') = o et des transcendantes de Bessel. . ..
Crojez-moi, avec les sentiments de profonde reconnaissance, votre très dévoué.
