HERMITE A STIELTJES

Paris, i5 mai 1884.

Monsieur,

Votre lettre est parfaitement claire et explicite; elle m'a rappelé bien des choses dont le souvenir, s'il n'avait pas été en grande partie effacé, aurait arrêté les demandes d'explications cfue je vous ai faites. Vous trouverez, dans les Exercices de Calcul intégral de Legendre et j'ai, moi-même, donné autrefois, dans le cours de seconde année de l'Ecole Polytechnique, la méthode si élégante et ingénieuse par laquelle vous démontrez que l'équation N(j;) = o a ses racines toutes réelles et inégales. J'ai aussi donné dans mes leçons la théorie de Heine et de M. Tchevicheff du développement

en traction continue de 1 intégrale / -7- — - dx et, si je ne me

trompe, ces choses sont assez généralement connues pour que vous puissiez vous bornera rappeler les résultats en renvoyant le lecteur

LETTRE 53. I l5

au fJandbuch deM. Heine. Je vous renouvelle l'expression de mon vif inlérêt pour la question que vous avez heureusement et habilement traitée de la quadrature mécanique, avec une approximation

indéfinie de l'intégrale / f{x)G{x)dx, loi^sque G(^) est con-

linue, même en admettant un nombre infini de maxima et de minima. Mais permettez-moi de vous demander de ne point laisser de côté les résultats si intéressants que vous avez découverts sur la valeur approchée des racines et des multiplicateurs dans la formule de Gauss. Je ne vois absolument pas par quelle voie vous êtes parvenu à établir une dépendance entre les racines de l'équation X„=o et celles de la transcendante de Bessel, ni surtout comment vous obtenez la valeur approchée des racines de cette transcendante qui ont été l'objet des recherches deM. Boussinesq. Toutes ces découvertes portent témoignage de la rare pénétration et de l'activité de votre esprit, et ce que vous voudrez bien en donner pour être publié dans les Annales de V Ecole Normale sera accueilli avec empressement. En attendant que vous reveniez à l'Arithmétique à laquelle, moi aussi, je ne puis consacrer le temps que je voudrais, à cause de mes devoirs, je prends la liberté de vous énoncer un petit résultat recueilli comme d'aventure. 11 concerne le nombre m des points dont les coordonnées sont des entiers et qui sont contenus à l'intérieur ou sur la circonférence de l'ellipse k.x- + ^y- = M. En posant

j'obtiens la formule

/n = I -i- ^pq -f- 4 S -f- 4Si,

et l on a :

M — Bk2

Il6 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

On est ramené, dans le cas de A = B, à un ihéorème de Gaiiss dont j'ai trouvé l'énoncé dans le Tome II de ses œuvres complètes.

Avec la plus haute assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.