STIELTJES A HERMITE

Leyde, i6 mai 1884.

Monsieur,

Je suis complètement enfoncé, en ce moment, dans des calculs numériques : déterminations du temps, azimuts du soleil, réductions d'observations j)our déterminer la déclinaison magnéticpie... et, pour quelqvies mois, il m'est défendu de m'arracher à (de) ces calculs, et je vais répondre seulement à un point nommé dans Notre lettre. J'ai déjà envoyé à M. Tisserand un Mémoire sur les quadratures mécaniques; mais il m'aurait été bien difficile de donner là mes premières recherches sur les valeurs approchées des A/jetc, dans la quadrature de Gauss.

Voici le chemin bien simple que j'avais suivi pour obtenir les racines des transcendantes de Bessel,

, £ £^ , JJ zi ^ ^ r/V f) .

^^^^~'2 '22.4 "^ -22.4^6 2-2.42.62.8 "^■■' dz '

Hansen a donné les séries semi-convergentes

Jo(-s)= y -~z^^^

sin I ^ ^

iG "

Soit t=(k — y ) TT une valeur approchée d'une racine de

LETTRE 5i. * I 17

J„(3) z=z o; alors j'ai supposé cette racine développée ainsi :

La substitution de cette expression dans celle de Jo(2) écrite plus haut donnera, en développant suivant les puissances de <~', le moyen de déterminer X,, ).3, . . .; je trouve

I , 3i , i52Qi7

L'expression de M. Boussinesq

8^/,= (4A- — i)Tr -H- \/(4A- — 1)2 712-1-8 devient, par l'introduction de

ou bi

k-V)-, ^ic=-t-\-

elle donne donc des valeurs trop fortes, comme l'a remarqué aussi M. Boussinesq.

On peut suivre la même méthode pour les racines de J, (:;) = o

(calculées par M. de Saint-Venant) en posant t =:■ ilc A- -;\ r.\ je trouve •

je n'ai pas calculé le terme en (avec) t~^. L'expression de M. Boussinesq

8 :;A' = (4 -^^ + i) - + v/(4A--M)2-n:2— 24 devient, par l'introduction de l^

OU bien

elle donne donc des valeurs trop faibles.

Mais voici qu'un ami, qui s'intéresse beaucoup (de) à la Physique mathématique, vient de ra'informer, un de ces derniers jours, que ma méthode n'est pas nouvelle.

Et, en effet, dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin du 26 avril i883 (p. Saa), M. Kirchhoff fait usage de l'expression suivante (dans ma notation) :

,1 o,i5iq82 o,oi53f)q o, "245835

( 2 ) Zk : TT = A- 4- -j h —r-, '—. -Ti + • • • ,

ce qui n'est autre chose que la formule (2) mise en nombres et complétée par le terme en t~'^ . M. Kirchhoff dit que c'est une formule due à M. Stokes, qu'il a empruntée au Theory of sound de M. Rayleigh, vol. I, p. 2'^3. Peut-être M. Stokes ne Ta pas publiée ailleurs...; je n'ai point vu le livre de M. Rayleigh.

Je vous remercie beaucoup, Monsieur, pour votre jolie formule arithmétique; mais, pour le moment, il m'est interdit de faire de l'Arithmétique.

C'est avec une profonde reconnaissance que je suis toujours votre bien dévoué.

P. S. — Dans le Tome LVI du Journal de BorcJiardl, M. Lipschitz a donné une démonstration rigoureuse des développements semi-convergents de Hansen.