STIELTJES A HERMITE

Leyde, 28 juin 188:^.

Monsieur,

Permettez-moi de compléter encore l'étude de l'équation différentielle de ma lettre d'hier.

En posant

$ = §{oi, p, Y' ^).

^=: p(a — Y)^i-T(t — ^)ï-='-P^ki — a, I— j3, 2 — y, x),

■^1 = T(i - Y) -y-TC' - ^)ï-«-Pi(i - a, - [3, I - Y, X),

l'équation différentielle

admet l'intégrale générale

$ et ^ sont deux intégrales particulières de

tandis que (E*( et ^1 satisfont à

Les valeurs de ^ et ^, peuvent se mettre sous la forme

Posons maintenant

a:'(l — .r) dw r 1 " ^

Z := — — OU W = e'' -l^U— "<)•

Y «^ cix L'équation (i) se change dans l'équation linéaire

(2) x{i — xy--^ ^(i a7)[i — Y + (a — p-2)^]^ - (3(a — y)«^ = o

et nous arrivons à cette conclusion :

L'intégrale générale de l'équation linéaire (a) est :

(3) ty =Ge^ r(i-.r)y,, ^^^^

et cette intégrale peut se mettre toujours sous la forme

(3') n.=.Orte^"^^^ Aa\ + B^,,

Supposons la forme (3), c'est-à-dire 3 et (D connus et tâchons d'en déduire le rapport -r^ •

Soit

— Ç^.pJ ■«•(1— •ïl'J'i o — ri>^^ ■'•(! — -«■•) ^1

En égalant le second membre de (3') à ii -\- v^ différentiant et combinant avec (3'), on trouve sans peine

La fonction (qui figure) dans le second membre doit donc être une constante, ce qui exprime une propriété des deux solutions particulières u et v facile à vérifier.

La différentielle logarithmicjue de (4) donne, en effet,

Y l^l l\ ff', ^'i

x{\-x)\t^^ ^i/ ^îx Ij

$, et ^, étant des solutions particulières d'une même équation linéaire du second ordre, on trouve

\^OEuK'res de Gauss, t. III, p. 222, formule (94)]- On devra donc avoir (avoir donc) :

ce qui revient à

xS'i X, j3 -f- 1, Y + i, ^) 3^(i ~ oc I, — P, 2 — Y, ^) = !■

C'est une relation qu'on ne trouve point explicitement dans le Mémoire de Gauss; mais la formule (99) (p. 228)

— *^XllllllZlU^3?(a, S, Y + i, x)§{i — oi, 1—3, 2 — y, ^) =1 Y(i — Y) ^ ' r' 1 î / V ) 1 ) . |) /

donne, en transformant les quatre fonctions ^ à l'aide de

^(a, p, Y, :r) = (i-^)-aJ(a, y - p, Y, 7)> ^ = - 7:^ ' I = #(a, Y — ?, Y> r) '^'(i -=«,? — T, I — Y, JK)

En changeant [3 en y — P? JK en :r, on trouve la relation (5).

Nous avons vérifié ainsi l'équivalence de ces deux formes (3) et (3') de l'intégrale générale. Cette réduction dépend de la propriété (4) [équivalente à (5)] des deux solutions particulières m et V. Je ne sais point si celte intégration de l'équation ( 2 ) est connue ; j'ai vu seulement, dans le livre de M. Cajlej sur les fonctions elliptiques (édition italienne de Brioschi, p. 228) que cet auteur a considéré les équations

' dk

kr).

dz 'dk'

' dk'-

'■ dz dk

Mais, aulanl que je puis le voir, il ne semble pas avoir rencontré la forme analytique que je viens de trouver pour l'intégrale générale. Je dois ajouter que le Messenger of Mathematics n'est pas à ma disposition.

Veuillez bien accepter de nouveau l'assurance de mes sentiments dévoués.