HE B MITE A STIELTJES

Paris, 27 novembre 1884.

MONSIKLR,

Je viens vous remercier de la Communication extrêmement intéressante que vous m'avez faite de l'article que vous destinez aux Acta mathematica, et qui concerne la généralisation des poly-

( ') Sur certains polynômes qui vérijient une équation différentielle linéaire du second ordre et sur la théorie des fonctions de Lamé {Acta mathematica, t. VI, p. 321-326; i885).

nomes de Lamé, imaginée par M. Heine. Votre analyse qui est si originale est, en même temps, parfaitement claire et je ne crois pas que jamais personne ait eu l'idée de rattacher, comme vous l'avez fait, à une considéi-ation d'équilibre la démonstration de la réalité et des propriétés des racines d'équations algébriques. Permettezmoi, Monsieur, de vous engagera insister tout particulièrement sur le cas le plus simple et qui est aussi, jusqu'à présent, le plus important, celui des polynômes même de Lamé. Si mes souvenirs sont fidèles, il me semble que M. Klein serait déjà parvenu aux résultats que vous avez découverts, dans un article remontant à cinq ou six ans, que contiennent les MaUiematische Annalen. Mais, M. Klein n'aurait considéré que le seul cas des polynômes de Lamé, et sa méthode n'a rien de commun avec la vôtre. Je ne me suis point mis sous le même point de vue en m'occu])ant de ces quantités; en prenant l'équalion du second ordre sous la forme

— [(H- A-2):p — ik"' x'^Y-j^ -j-[n(n -t-i) /i2^2-4- Z]7 = o,

j'ai surtout considéré les quatre polynômes en /, P, Q, R, S qui déterminent, lorsqu'on les égale à zéro, les valeurs de cette constante auxquelles correspondent des solutions de l'équation différentielle qui sont des polynômes entiers ou bien des produits de polynômes entiers multipliés par \/i — x- ^ \i \ — k'-x'-^ y/(i — x'-) (i — k-x'-). En laissant indéterminée la constante /, ces diverses expressions sont des solutions de l'équation différentielle, avec un second membre de la forme

ou ces mêmes quantités multipliées par^, suivant les cas.

En second lieu, et considérant toujours / comme un paramètre arbitraire, on a cette circonstance analytique bien remarquable qu'en développant j' suivant les puissances descendantes de x, on a pour n pair cette expression

l38 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

puis, pour n impair,

où V[x) el F, [x) sont des polynômes de degré n et dans lesquels les coefficients a, a', . . ., |i, [3', . . . des séries infinies sont fonctions entières de degrés croissants o, 1,2, ... de /. Et de même

En résumé, c'est moins aux solutions algébriques de l'équation qu'à ces polynômes en /, P, Q, R, S que je me suis attaché jusqu'ici.

Mais vous avez embrassé, dans vos dernières recherches, bien d'autres belles questions, la loi de la variation de la densité de l'écorce terrestre ('), et, en dernier lieu, une généralisation profonde de la théorie des quadratures mécaniques (-), dont je me fais un plaisir de vous apprendre que mon cher confrère M. Tisserand m'a parlé avec les plus grands éloges. En vous exprimant, Monsieur, le désir et l'espérance qu'à votre prochain voyage vous voudrez bien venir chez nous, diner en fanulle, pour que nous ayons ainsi l'occasion de causer de tout ce qui nous intéresse, je vous renouvelle, avec l'expression de ma plus haute esliuie, celle de mes sentiments de bien sincère afl'ection.

( ') Les travaux de Slielljes sur la loi de la variation de la densité de la Terre ont été publiés dans trois iNotes :

1° Note sur la densité de la Terre {Bulletin astrononi., t. I, p. "jlJS; 188^);

2" Quelques remarques sur la variation delà densité dans l'intérieur de la Terre {Arch. néerland., t. XIX, p. 435-''|6o; 1884);

3° Réimpression du travail précédent dans le Tome I, 3" série, p. 272-297; i885, des Verslagen en Medeelingen der koninklijke Akadeniie van Wetensc happe n te Amsterdam.

(-) Le travail auquel M. Herniilc fait allusion a paru dans le Tome XCIX des Comptes rendus, p. 85o, 17 nov. i88'|, sous le titre : Sur une généralisation de la théorie des quadratures mécaniques.

Paris, i3 février i885.

La Note manuscrite jointe à l'exemplaire publié dans les Acla m'intéresse extrêmement. Les résultats auxquels vous êtes parvenu ajoutent, s'il est possible, à mon admiration ])our votre beau talent en Analyse, et je viens vous prier de m'autoriser à les publier dans les Comptes rendus avec la modification suivante qui est chose bien légère et de pure forme, mais que je dois vous soumettre. Je vous propose donc de dire que les racines x^^ x-^, . . ., x,i de X„ = o font acquérir une valeur minimum à l'expression

en faisant

Et, de même, pour le théorème analogue concernant le polj-

nome l],i = x" — x"~--\-. . . qui ne m'est pas inconnu,

mais auquel je n'ai plus songé depuis longtemps. TNlais comment avez-vous découvert ces propositions sur les minima ; comment avez-vous obtenu les discriminants de X„, U,i et V« ?

Pendant que vous vous livrez avec un si grand succès à vo^ recherches de haute Analyse, je fais, par suite des circonstances, des leçons à la Sorbonne, et je dois même dire que je suis redevenu écolier. Mon cher collègue et ami, M. Bouc[uet, qui fait le cours de calcul différentiel et de calcul intégral aux candidats à la licence, a eu une attaque de goutte, et je l'ai remplacé pendant qu'il était malade, en croyant cjue ce ne serait que pour une semaine ou deux. Mais son médecin lui ayant ordonné le repos, il a renoncé entièrement à son cours; on m'a demandé de continuer à le remplacer jusqu'au i5 mars, c'est-à-dire jusqu'à l'époque où je commence mes leçons pour mon propre compte. A ce moment, ce sera, sans doute, M. Picard que la Faculté nommera suppléant de M. Boucjuet, et M. Poincaré qui fera, à sa place, le cours de Mécanique expérimentale. Il m'a ainsi fallu rapprendre des choses, comme les lignes de courbure des surfaces, les lignes asymptotiques et bien d'autres du même genre, dont je n'avais plus aucun souci, et qui m'étaient presque complètement sorties de l'esprit. M. Picard m'aide beau-

t4o correspondance d'hermite et de stieltjes.

(^ou]i à me remémorer ces ihcories de calcul différentiel. Mais j'ai lin effort sérieux à faire pour apprendre au jour le jour ce que je dois enseigner, et plusieurs recherches que j'avais commencées, entre autres sur la transfoi-niation des fonctions elliptiques, sont forcément interrompues.

En vous priant, Monsieur, d'avoir la bonté de m'envojer un mot sur une carte postale, pour m'informer si vous consentez à la [)ublication de votre Note dans les Comptes rendus, je saisis cette occasion pour vous renouveler l'expression de ma plus haute estime et celle de ma bien sincère affection.

Vous convient-il de donner à votre Note, jiour titre : Sur quelques théorèmes d'Algèbre {^)?