STIELTJES A HERMITE
Leyde, 20 février i885.
Monsieur,
La Note ci-jointe (-) formera peut-être une suite naturelle à celle (|ue vous avez présentée dernièrement. J'avais calculé, il J a déjà quelqvie temps, le discriminant de X == o, ce qui m'avait montré (pie cette équation ne peut avoir d'autres racines multiples que o et I . Mais c'est seulement après votre flernière lettre cpie je me suis aperçu que le calcul des fonctions de Sturm peut s'effectuer sans difficulté.
Je trouve :
o(n,rt,c) — x':^{n — l,r^c) = — Ao(p(« — i,« — i,c — 1)
vi{n — i,«,c) — cp(rt — i,« — r,c — i)= — Bicp(« — 1, a — i,c — a)
(f ( « — 1 , rt — I , c — I ) — x<d{ii — •>. , a — I , c — 2 ) = — A I o ( /j — 2. a — •>., c — 3 ) <f (n — 2, « — I , c — 2) — œ(/i — 2, a — 2, c — 3) = — Bj ci>(« — 3, a — 2, c — 4 ) cp(rt — 2, a — 2,c— 3) — xc^{n — 3,rt — 2,c — 4)= — ^i'fin — 3, « — j,c — 5) œ( rt — 3, a — 2, c — 4) — o(n — 3, a — 3, c — 5) = — B3<p(rt — 4- « " 3, c — 6) o{n — 3, a — 3,c — 5) — a^'f(/i — 4,« — 3,c — 6)= — k^oi^n — ^, a — \, c — 7) 'f(rt — 4,« — 3,c — G) — cpfn — '|,a — 4,c — 7)= — K4«p(« — 5)« — i^c — 8)
(') C'est effectivement le titre delà Note de Stieltjes imprimée dans le Tome C des Comptes rendus^ p. 439-44^; 16 février i885.
C) Cette Note, qui est la suite de la Note indiquée dans la dernière lettre, a paru dans le Tome C, p. 620-622, 2 mars iS85, des Comptes rendus avec le litre : Sur les polynômes de Jacobi.
LETTRE 67. l4l
OU
d'où
cp(/2, a, c) — (37— Ao) cp(n — I, a, c) = — An'Bio(n — -2, a — i, c — 2), o{/i — I, a, c) — (.r — Bi — Ai)o(/i — 2, a — i, c — 2)
= — AiB2cp(Ai — 3, a — 2, c— D, (f{n — 2, a — I, c — 2) — (x — B2 — Ao) cp(/i — 3, a — 2, c — 4)
= — A2B3<p(« — 4) Ci — 3, c — G);
or donc
X == (f (/t, «, c), Xi—no(n — \,a,c),
X2 = AoBio( rt — 2, a — I, c — 2), X3= /i Al BoçC/i — 3, a — 2, c — 4)) X;= AqBi A2B3cp(rt — 4> a. — 3, c — 6), X5= /iAiB2A3B4cp(rt — 5, a — 4, c — 8),
elles fonctions de M. Sjlvester
/i2AoBiCf(/i — 2, a — I, c — 2), «3(AoBi)2AiB2'f(« — 3, « — 2, c — 4),
nHAoBi)3(AiB2)2A2B3cs(/i —4, a — 3, c -6), ft5(AoBi)''(AiB,)''(A2B3)2A3BiCp(/i — 5, a — 4, c — 8),
C'est le résultat que j'ai indiqué.
J'espère ne pas vous importuner avec ces remarques bien simples. Veuillez Lien me croire votre très dévoué.
\^2 CORRESPONDANCE DlIFRMITr. ET DE STIELTJES.
