STIELTJES A IIERMITE

Leyde, n mars i885.

^lo^SIEL'n,

Je me permets de vous communiquer le théorème suivant auquel je suis arrivé par un chemin bien détourné. Si je ne me trompe, il est de nature à vous intéresser. Je le crois susceptible d'une grande généralisation.

Soient z et :;'deux variables complexes

\ §,{z, z') = z'-b-k'b{z,z')' Pour des modules suffisamment petits de A et k, les écjuations

(2) rJ{Z, Z')^0, riiiZ, Z') = O,

admettent une solution z = u, z' = i', voisine de z =: a, z' = b. Cela posé, je considère l'intégrale double

(|'( :;, z' ) dzclz'

(A) rrjj^^^u!^

le chemin d'intégration relatif à z étant un contour fermé enveloppant ^ = «, parcouru dans le sens direct; de même celui relatif à z' un contour fermé enveloppant z'=^b. Alors la valeur de l'intégrale est

(B) i-i-cr-

dz dz' dz' dz

Il me semble extrémeuient |)robal)le qu'il existe un théorème analogue pour une forme moins parlicub'ère des fonctions S' et 5i et comprenant le cas oiV(que) les chemins d'intégration renferment plusieurs solutions du système (2); mais, pour le moment, je ne me hasarderai point à cette généralisation c[ui devra présenter encore des circonstances singulières dont je me contente de signaler l'origine. En effet, l'expression (A) ne change pas en permutant les deux fonctions rT et J^i tandis (pic rcxj)ression (B) change de signe.

Mais M. Kronecker, clans son jMémoirc Ueber Système von Funclionen niehrer Variabeln [Monalsbericlite de r Ko nigl . A kad . d . Wissensch. 1869), a déjà introduit des considérations qui s'appliqueront probablement avec certaines modifications dans le cas actuel.

Voici, n)aintenant, comment je suis arrivé à ce théorème.

On a

ou bien, d'après les formules de Cauchj,

. ^"V ''"' ^"^ d"'+"Ç(a, b)'f'"(a, b)'lff"(a, ù)

.m \ .1. . .11 da'" db'^

or, la série

j-n d"'+''Ç(a, b)(f'>'(a, b)'y'(n. b) \. ■>.... Il da"'db"

est égale à

d'après une généralisation de la série de Lagrange donnée par M. Darboux (Co/»/>^<?5 rendus, t. LXVIII). J'ai envoyé dernièrement une démonstration de cette formule à JVI. Tisserand ('), en la généralisant en même temps pour un nombre cjuelconque de variables. Aussi, le théorème énoncé peut être énoncé de cette manière.

L'intérêt qui me semble s'attachera cette généralisation du théorème de Cauchj m'a déterminé à vous la communiquer. Certainement, si je ne me suis pas trompé, le théorème en question doit être démontré d'une manière plus directe et moins particulière, quant à la forme des fonctions § et §\ . Mais je suis, en ce moment, trop occupé pour songer sur cela. Je ne nie pas, cependant, que j'aurais bien volontiers votre opinion et celle de M. Picard (sur

(■) Cette généralisation de la série de Lagrange a été publiée dans Iq^ Annales de l'École Normale supérieure, Z" série, t. II, p. gS-rjS ; i885.

l44 CORRESPONDANCE d'hERMFTE ET DE STIELTJES.

cela) à ce sujet. Ya-t-il, après tout, une erreur, dans le raisonnement? je ne vois pas (').

Votre bien dévoué.