STIELTJES A HERMITE

Le} de, i3 mars i8&5.

Monsieur,

Quoique pressé par des calculs numériques, je n'ai pu résister au

aies

Ç){z^ z' ) dz dz'

désir de songer sur les intégrales

excité surtout j)ar le paradoxe apparent dont j'ai parlé dans ma dernière lettre. Pour en savoir la cause, j'ai envisagé directement des contours infiniment petits autour d'un système ii^ t'

Soit :.^zu-\-t, z'=^^v-\-t', et négligeant des quantités d'ordres supérieurs,

^ {u-h t, V -+- t') = at + bt\ §i{a ^ t, i> -^ f') = et -+- dt' .

Dans les intégrations, les modules infiniment petits de / et /' i-estent

constants. Il faut distinguer quatre cas :

U«H> ! è^'l ,,. , , , , . , . „ ^ff". <^^

iW \ . ' 1 intégrale est esrale a (.jr f )^ -'S ; — '

^ > ( |c^ l<If//'l ad — bc

l\\\ { 1 intégrale est égale a zéro,

\\at\>\bt'\ ^,. , , , , . ,

<\\\\ ' 1 intégrale est égale a zéro,

{\<-i(\<\bl'\ ^„ , , , , . . „ Qdi-^v)

(IVi < 1 intégrale est égale a (27ïi)2^£ ■•

^ \ \cl\>\ dl' I '' ° ^ ' bc-ad

(') M. Poincaré, clans son Mémoire sur les résidus des intégrales doubles {Acta inalhematica, t. IX), a montré (§5, p. 307) l'origine de la contradiction du résultat de Slielljcs.

Il faudra certainement trouver une interprétation naturelle de la différence qui existe entre I et IV. Je n'ai qu'une idée imparfaite de la méthode qu'il faudrait suivre pour arriver à une théorie complète de ces intégrales.

Naturellement, pour que l'intégrale ait un sens, les chemins d'intégration ne peuvent être choisis tout à fait arbitraires, comme dans le cas d'une seule variable.

Je remarque c[ue, lorsque la théorie de ces intégrales sera complète, on en déduira la formule de iM. Darboux :

^ — a — ho{z, z') = o, z' — b — k '\i(z^ z') = o,

A^^ \..-i. . .m \ .1. . .n da"^ db"^

précisément comme vous avez déduit la formule de Lagrange du théorème de Cauchj. Et de même pour un plus grand nombre de variables. Comme vous vojez, j'ai suivi un chemin inverse, en adoptant la formule de M. Darboux. J'ai été amené, grâce à votre méthode de démonstration de la série de Lagrange, à la considération de ces intégrales :

q{z,z'Ulzdz

Aussi, si je n'avais eu connaissance de cette démonstration si simple exposée dans votre Covirs professé à la Sorbonne, sans aucun doute je n'aurais jamais été conduit à la considération de ces intégrales. Mais je dois borner ici mes recherches. Initié à la théorie de Cauchj principalement par votre Cours, j'en suis un admirateur plutôt qu'un cultivateur, et (je- dois) restreindre mes efforts aux applications des mathématiques aux phénomènes naturels.

Comme vous le voyez, la remarque accidentelle que j'ai faite l'aurait pu être depuis bien longtemps.

Votre élève bien dévoué.

l46 CORRESPONDANCi: o'ilERMlTE ET DE STIELTJES.