I<PR

est donnée par les formules *(rt)=r -^"'^^ (;7zr7 ~ i) "^^ (o<PRrt<i.)

*«" = /'--' (?^-^*î-r^") (-3<PR„<-

^(a) = r*^«-' ( — î + ~cc^ |-^^M ^f^ (— 5<PRa< — :

Ces formules sont d'un caractère bien diflérent de celles que je vous ai d'abord communiquées.

Comme (une) autre application, j'ai considéré la fonction

définie d'abord pour o <^ Pila ■< i seulement. L'équation

/(«) -T{a) =J x-^ (^j^ - e— ) dx

LETTRE 77. l57

donne déjà la continuation de f{a) dans la bande trois fois plus

large

— 2 < PRa<+i,

et l'on voit que, dans cette bande, fi/i) a deux pôles, savoir « = o et rt ^ + I avec les résidus -j- i et — i . Or, nous avons vu que

Donc c'est-à-dire

r(rt) = / x^-He--'<-—\)dx (— i<PRa<o).

Cette relation, démontrée d'abord seulement pour les valeurs de a dont la partie réelle est comprise entre — i et o, peut s'étendre ensuite à tout le plan.

Ce raisonneuient bien simple, qui suppose toutefois la notion de la fonction r, a donné ainsi les propriétés les plus caractéristiques de la fonction y(/7) et l'on peut déjà conclure que

f{a)%ina- et f{n) . "

sont liolomorplies dans tout le plan. On sait bien que

'' ^ ' sui«-

J'espère, Monsieur, que vous voudrez bien recevoir avec votre bienveillance habituelle ces remarques qui sont, je le reconnais bien, d'une simplicité peut-être trop grande.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mon profond respect et de mes sentiments tout dévoués.