STIELTJES A H ERMITE

Monsieur,

En continuant à creuser dans la nature de la fonction ^(j), je vois enfin la route ouverte pour arriver à tous les résultats annoncés par Riemann. Cependant j'ai dû prendre un chemin bien différent que lui n'a indiqué, et le passage où il dit avoir obtenu le nombre

l58 CORRESPONDANCE u'uER.MITE ET DE STIELTJES.

a[)|)ro(lié des racines de ç(^) = o à l'aide de rinlégrale / <:/log-^(/) me reste absolument incompréhensible; je ne vois aucun moyen pour évaluer cette intégrale. J'ai été pourtant assez heureux (à) j)()ur éviter cet écueil en démontrant cette propriété annoncée (•omme très probable par Riemann, que toutes les racines de ^(^) = o sont réelles. Par là, la question est ramenée à la discussion d'une l'onction réelle pour des valeurs réelles de la variable et cela est faisable, du moins, et j'ai fait assez dans cette direction pour être sûr d'atteindre mon but.

Mais toutes ces recherches demanderont encore beaucoup de temps; je dois, en outre, vérifier mes calculs des constantes d, C-2, . . ., G5 et je me propose d'y joindre les valeurs des coefficients D, D,, Do, ..., D5 :

Uz) = — -^ D — Di3

D/. = (log2y^- + (log3)/^--l-...4-[log(/i-i)]/--+ (log«)/.- / (log»/'-

(A- = i, 2, 3, ...; D,= --log('2-) — I

Comme je ne puis pas pousser, en ce moment, activement ce travail à cause d'autres devoirs, je me propose de prendre un peu haleine et de laisser tout cela pendant quelques mois. Mais il n'y aura pas d'inconvénient, je l'espère, à publier dans les Comptes rendus la Note ci-jointe qui, ce me semble, doit intéresser les géomètres qui ont étudié le Mémoire de Riemann. La fonction s (^) est intimement liée à bien des recherches arithmétiques sur certaines lois asymptotiques relatives à la suite des nombres premiers, etc. Par exemple, quoique je ne l'aie pas démontrée encore d'une manière rigoureuse, je n'ai aucun doute sur l'exactitude de cette proposition que (J)(|^^ — loglog.2; converge pour x = oo vers une limite finie dont l'expression est un peu compliquée, $(:r) indiquant la somme

1-1 h - H — • • • ielati\ e à tous les nombres premiers infé-

rieurs à .« . M. Halphen, du reste, dans les Comptes rendus du

5 mars i883, a iiidl(pié l'inlerNention de la fonction Ç(:;) dans ces (juestions.

•Je m'estiiue heureux qu'en vous demandant de me rendre le ser-

LETTIU-: 78. iSq

vice de faire insérer dans les Comptes rendus la Note ci-jointe ( ' ), je pourrai maintenant moi-même corriger les épreuves, quoique naturellement, j'accepterai avec reconnaissance les corrections dans le langage qui [jourraient vous sembler nécessaires dans le cas que vous parcourrez ma ]Note.

Je suis avec un profond respect, Monsieur, votre bien dévoué.