U SB X *^ X
dz\ dx dZf dy
partant
\dz, ^ d
^^vi^-)^.
Le second membre de cette é<{uation , ëtant égale à zéro , domiera nécessairement les deux suivantes :
^. dTJ d.tfu . d.jy
puisque les variables x et y sont indépendantes*
Ainsi , au lieu d*une seule équation de condition , comme Lagrange Ta pratiqué , nous avons les deux dernières ^ que Ton doit considérer comme les véritables conditions du système j résultantes de Vinvariabilité de Faire totale de la surface.
Multiplions enfin Véquation (C) par >dxdy ; Féquation (D) par Itdxdy , et ajoutons , au premier membre de la formule (A} , Fintégrale totale des produits; nous aurons , pour l'équilibre de la surface ,
o as=;^(X cfcc + Xèy H- Z<fz) Mdxdy 'rfU tf*«r» __ d.^x
Cette équation ,- étant traitée d*après les méthodes: connues , conduira directement aux équations que M* Pomon « trouvées
78 comjÊHwovbMfciÊ.
le premier; et, si l'on suppose a^= A, on retombera surocileft de Lagrange , qui ne sont , comme on le voit , qu'un cas particulier des pre^^ëres«t '* ' s ^ "\ .. , 4
Louvain,Ie9 juin'(827; • ^
Mémoire, dont Tobjét principal est de développer cette idée de Cabnot, f^e m les propriétés ffiécàruques du centre de gravité , dowent être simplement déduites de celles qu'il est passible d^étàbUr^paf la seule géoïnétrie.'yi Pat" M, GébÔKo , professeur des pages du roi de FràncéJ "
Je commence par un jé^çp^^^ rapide dès propositions qui me seront utiles : le lecteur suppléera facileznent aux détails que je négligerai.
N*» I. Soient Pir Pi ^'' r^ vi^it des points au nombre de n^ donnés de position dàris U espace ; F' le centre des miennes distances de P't,P\ y • .. ^P'n.^etF',?^, Pi, • • P'n^les projections de JF!', j' P\ , P\f^^^'Pn sw un plafi quelconque : F* sera le centre des mojvennes distances de P'w» PL , • • • • Pn*
Car la distance de F' 9 à une droite quelconque OX, tracée dans le plan de projection , sqra moyenne entre les distances de Pî, Pa,: •• -Pi, à cette droite, puisque. les perpendiculaires abaissées de.F' , P', , Pi , — P» sur OX sont évidemment égales aux perpendiculaires abaissées de F, P,, P., •»•? P», sur un plan mené par OX, perpendiculairement aîu plan de projection*
Si les projections d'un point F sur deux plans non parallèles^ sont les centres- des -miennes distances ,i^ projections de Pt y P'9 9'"P'n sur les mêmes plans , F sera le centre des moyennes distances de p\^P\.* • '/^k'; car, d'aprës ce qui précède , les projections di F ' doîVeîit coïncider av^ celles du centre des .points P; , P'a,-«-Pi.
On voit de m^e que, si F", Pi', Pif, -Pi' représentent les projections de F * ^ P i , P i , • • • P k, sur' une droite quelconque OX ; F" sera le centre des moyennes distances de Pi' , Pi'--P;' : car les distances de F", PJ'- -Pi- à «n point quel- GObcpise O:, .pris ^^r, QX, sont égdes :anx distances deF,'P^ .,
MATHEMATIQUE Et* PHYSIQUE. 'jg
P, ,' • Pn àun pian mené par eép^iixt O , porpendicnlftirémeiit
à l'axe OX.
Observoiu de fdnft> que les distances an point O aux points F", Pi', •••Pi' ne sont autre chose que les projections de OF, OPi , • • • OP» , sur OX, Nous en conclurons que ,
N^2. Sîton projette sur un axe rectiOgne ^ les droites menées iunpoint de r espace aux différons poiMs é^ un système et à ieur centre de moyennes distances , laprofection de la droite , menée, eu amire^ est toi^urs moyenne entre les projections desdroi* tes menées à tous les autres points du système (i). ■
Enfin , d'un autre - point ^M , - pris (encore arbitrairement dansPespace , abaissons sur les droites OF, Ol^x > OPa , • - >OP», les perpendiculaires AfF^, MPÎ • • -MP!, ; en multipliant respec* tivement les lignés OF, OP|--'OP„, parles segmeus OF', 0Pi,««*OPA, déterminés sur leurs directions , on obtient des prodqits dont telle -est la dépendance^ que celu,i forme sur OF^ sem moyen entre toui les autres*
Car lès prëdùitsOF X OF' , OP, X ÔPi , OP. X OPi , elc, , jont égaux aux projections de OF-, ÔPi , OP» ,' efc^surOM'^ multipliées chacune' par la distance OM , et 1'^ sait que la projection de OF est moyenne entre celle de OPi , OP» ^ «Jtc*
Lùnquè les lignes OF, OP^', PPt r"OPn' , sont situées dans un m.ême phnn^ en abaissant 'sur leurs directions les perpendiculaires MF^, OPU -' ' OPi , d^Un point M, pris dans leur plan ; le produit OFx MF est moy^néMte tes produits OP^ XMP{, OPsX MP':,i etc.
£n effet , ces dtférens produits sont proportionnels aux grurfaces triangulaires MOF , MOP» ,MOPa, • • -MOÏ»;,; ces triangles sont entr'eux comme lespérpendiéulaîres abaissées de léufs sommets F ' , Pt , Pa , • • 'P» sur leur basé coinmune'MO , etr là perpendiculaire abaissée du ceiltré F* est moyenne entre les per-
(\) On doit prendre en signe contraire , les projections qai tombent de diff<^rens eàtéê du point Q ; en sign? posHif-, ce^ de tnème sens cpie la projection de OF.
8o OQBBESPOHBIKCE
pendietdàires abaissées des points P, , Pt 9* * 'P» sur la même droite*
De là on peut conclure cette proposition géa^sie :
N^ 3. Si itunpoint 4jfueic0nçue O ^ on mène des lignes droites à différens points JPi***P» , situés dans reàpace, et à leur centre de moyennes distances F\ si Von multiplié ensuite les plus courtes distances de ces lignes à un axe quelcorufue YY ^ par leurs projections sUr un plan perpendiculaire à cet axe , le produit correspondant à la ligne OF^menée au centre, est encore moyen entre les autres produits»
Car les projecticHis O'F', O'Pi , O'P; -O'P; de OF, OPt > OPa, * * * OPn donnent sur un plan des lignes menées d*un point quelconque O' auxdiiférens points Pz P»* * -Pm d'un système et à leur centre F' de moyennes distances {n? i);d*un autre cote, les plus courtes distences de OF , OP, , • • • OP. , à l'axe YY', sont égales aux perpendiculaires , menées à ces projections du point auquel l'axe YY', rencontre le plan qui les renferme (i), Donc la propQsitîon n'est qu'un corollaire de la dernière proposition du numéro précédent.
N<> 4* ^s théorèmes des n^ a et 3 conduisent aux propriétés suivantes: ,
Soient F le centre des moyennes distances de P i , P ; , • • -ÎP; ; O un point quelconque : i® La somme des projections de OPt , OP9 , • • • OP» j sur tous les axes , qui font avec OF des angles égaux y est constante*
n^ Cette somme déifient un maximum lorstpie Vaxe^e projection est parallèle à OF; elle est nulle lorsque cet axe est perpendiculaire à OF* .
3® La somme des projections de FPg , • • • FPn , sur un axe quelconque , est toujours nulle.
Gela résulte immédiatement de la relation qui existe entre les projections de OP» , • • -OP» et celle de OF (n<» 2 ).
(\^ On ne doit pas oublier qae l'axe Xï' est suppoU perpendiculaire an plan des projecUons.
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