TA»LE DES MATTERËS

Mathématiques élémen taire s •

Geométar. -^ Théorème sur les transversales ; M* Nerenbtirger Autre démonstration du même théorème; M. Manderlier. . Théorème sur ]es triangles qui ont une base commune ; )e même Autre démonstration et extension du théorème précédent ; A. Q. ALcàBRB. — Problème sur les fractions continuer; A. Q. • « . Démonstration d*un théorème de Wilson ; M. Verhulst. * * *

Mathématiqueè transcendantes.

GioMÉTBiB. — Constructions des sections coniques; A. Q. . « \ ' * 7^ MÉc;AHtQiTBAHALTTiQnB.~«Surune application du principe des vitesses

virtuelles à la mécanique ; M* Pagani. • ^ -. • 7$

Mémoire sur les propriétés mécanique^ du centre de gravité; M.Gérono. nS

Sur les vitesses des billes élastiques ; M. Tandel. • 84

Mathématiques appliquées.

AsTROiroMiE.-*-Deseriptions des abservatoires principaux d'Allemagne;

M. Lohrmanni 85

A'ote sur Tobservatoire de Bruxelles ; A. Qi . i . • • • • * • go

Sur une nouvelle nébuleuse. ..••.•...••.« • 91

Sur les taches du soleil .«*...*.«•.. 1»

Phtsiqce. — Lettre à M. Hachette, sur une nouvelle ezpér. ; A. Q. . 9a

Lettre sur une expérience de M. Clémente . . • • ,• • - • • 9^

MÉTéonoLOGiE. — Grêle extraordinaire tohabée à Maestricht. • . . i» M£cA.KiQi7E iiTDiTST. — Sur la transformation du mouv* circulaire contina.

en rectiligne alternatif; M. Verdara 97

Statistique. — Sur Pétat de Tinstruction dans les Pays-Bas ; A. Q. . 100

Table de mortalité poui* Amsterdam; M. Verhulst io5

Reims scientifique.

Suite de Tanalyse dé la théorie des transversales ; M. Gamier. -^ An* . sales de TUniversitédeLouvain. — Dissertation cour..deM. Kickx. — Dissertation de M. De Gelder. — <• Élémens de Physique de M* Pouillet. — Principes de géométrie par Mi Vanderjagt , de 106 à 116

Séances deTAcadémie Royale de Bruxelles. — Ouvrage nouveau de M. Huguenin. — Découverte d*une comète nouvelle. — Q4]estion8 proposées par rUniversité de Gand ii6à iif)

Questions. ................••••• lao

MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

GEOMETRIE

' Si, sur les trois côtés itun triangle , pris tour à tour comme diagonales^ on construit des parallélogrammes , dont les cotés contigus soient parallèles à deux lignes données , les trois autres diagonales concourront en un même point» Question proposée à la page 64 du III* volume^ et résolue par M.- A. liEscBEYÀUx , de Toumaj.

Soit ABC le triangle , H le point de concours de deux diagonales bm^ an (fig. i8); joignons m et /i; puis, menons dK prolongée jusqu'en A; démontrons que les triangles c'Arf , dmk sont semblables , comme ayant un angle égal c'Ad = dmk et

» mk Ad

deux côtés proportionnels ^T === -T-7 et, par suite, que fiîH est

h prolongement de c'd. En elSet : trois droites dB.^ nSL , mH,

partant des sommets du triangle m^n, on a . -.^•^.

on dp tfn

Les triangles don ,< mok donnent -s — • donc

on dn

VMi pm d^

^ =5 --J-* '"^. Les triangles semblables apm , dpn , et

pm dq ani dm î&i, qbn, donnent "^^ "^ = •^' ï^ Remplaçant>a

mk (fjn dm mk Ad

(^68 dAdy dmk, étant semblables, les angles Ac'd ^ mdk sont égaux; donc dk ou dEl est le prolongement de la troi- Tom. IIL 9

122 COHBESPOITDANCE

sième diagonale d d^ qui passe ainsi par le point de concours des deux autres.

M. Manàerlier nous a fait ^ parvenir deux solutions de la même question : il a obtenu Tune par l'analyse , et il a déduit l'autre comme corollaire d'un théorème que donne Camot dans sdL géométrie de position , tn. 5i , page 457. M. Manderlier observe que si , par le point H , on mène deux parallèles aux droites données j «et qu'on rapporte une hyperbole à ces droites prises pour asymptotes, les trois sommets Â, B, G seront sur la même courbe. On sait qu'un point détermine en général Thyperfoole dont on connaît le centré et les directions dés asymp* totes; l'observation précédente pourra donc devenir utile dans bien des cas.

• Noi^s avons encore^ reçu de M. Leschei^ain une solution d'un problème qui seirouve résolu de deux manières différentes aux pages 66 et 67 du numér<> précédent; elle nous est parvenue trop tard^ pour que nous pussions en faire mention alors.

Soient AB , A'ff , A*B"' ^ trois droites parallèles 9 tracées sw un même planj soit. R h concours des extrémités A' A" et BB" ; soit K le concours de A'' A et B''B ; soit enfin R" le concours die A' A et B'É ; les trois points R^ R' et R" sont en ligne droite* Question proposée h. la page 120 di| III* vol. , et résolue par M. Nerbnburger.

Soient A et A' , B et B' , C et; C Jles points extrêmes des trois droites parallèles {fig, 19). Formons les triangles ABC, A'B'C. Nous pourrons les considérer comme étant les projections des bases d'un prisme tronqué. Les plans de ces bases n'étant point parallèles, se renc,ontreront suivant une droite; et les côtés, qui ont pour projections AB et A'B' , étant situés dans un même plan, se rencontreront en un point de la droite d'intersection des bases. On peut en dire autant des côtés , qui ont pour projeetions GB et CB' , CA. et CA\ ïl suit donc de ce que les côtés des triangles de base se rencontrent suivant une

tfATHilCÂTIQrE ET PHYSIQUE. 123

4lp6ite , que les points d'intersection de leurs projections doivent se trouver sur une ligne droite : ce qui démontre Tënoncë.

Autre démonstration et extension du théorème précédent ; par M. T. Olivier , ancien élève de l'École Polytechnique.

Le théorème dont on demande la démonstration n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général qu'on peut énoncer ainsi : Étant données trois droites a , b , c , concourant en un point d ; si ton prend à volonté deusc points sur chacune d'elles , a' et ?i" sur a; b' et b" sur b\ c' et c'* sur c, et qu'on les unisse deux ià deux par des droites ^ l'on obtiendra six points^ de concours f situés sur une droite unique*

On peut s'en convaincre , en faisant la figure de sorte que de quelque manière que Ton combine 9 trois' à trois ^ les six, points donnés ^ l'on obtienne toujours pour lieu géométrique la même droite* ■ '

Si , par cinq des six points donnés , l'on fait passer une section conique 9 elle déterminera par son intersection avec la droite sur laquelle l'on n'aura pris qu'un point , un autre sixième point tel que la droite , lieu géométrique, sera la polaire de la courbe par rappbrt aux points de concours des trois droites données*

L'on peut encore énoncer ce théorème :

Étant donnés deux cônes. C, C'> se coupant suivant deux courbes planes , désignant par P et Q les plans de ces courbes , et par L la ligne des. sommets , si l'on coupe tout le système par un plan R , l'on aura pour section :

Le point / sur L ; c dans SI ; c^ dans Ç ; p sur P; q sur Q. Si, par le point /, l'on mène une série arbitraire de sécantes , D , D',D'% elles couperont chacune c' et c en quatre points, ainsi,

D coupe c en m, n; et c' en m', n'; D' — m,y n^y — m'^n'^i

Etc. — — • — — .

Si l'on prend quatre points m, n, m^, n,^ unis deux à deux l