XI -, XI

( Voyez plus loiu une autre solution du même problème^)

126 CORIUBS^NDANGS

MATHÉMATIQUES TRANSCENDANTES

' GEOMETRIE

Mémoire sur les propriétés des courbes dû, second degr^j considérées demis V espace; par M, T. Olivier , ancien élève de l'École Polytechnique. n • . . .

I* Soient a! et a," des cQurbes planes qui sentent de bases h deux cônes O et C du second degré ^ ayant leurs sommets respectifs aux points c' et c" ; soit de pl^us un cône C, ayant son sommet c à une distance ^nie ou infinie et passant par les deux sections af et a"; les trois points c, c', c", étant sur une même ligne droite D arbitraire ., les deux cônes C et (?" ^e couperont toujours suii^ant une courbe Jbrmée de deux branches planjes*

En effet , si par la droite D l'on fait passer un plan sdcant quelconque , l'on obtiendra pour sections : dans le cône C , les deux génératrices gr et G; dans le cône C, les deux génératrices g^ et G'; dans le côneG'^ les deut génératrices gr" et G'\ Les quatre droites gf', G', gr", G", se couperont deux à deux en quatre points qui appartiendront à la courbe d'intersection de C et C"; la génératrice g rencontrera la courbe a' en a' et a" en a"; G rencontrera la courbe a! en A' et a" en A" : supposons que la droite gr' passepar a\ et g-" para"; que G' passe par A' , et G" par A'': que g' soit coupée par g" en w , par G" en M ; que G' soit coupé par g^' en N , par G" en «• '

MATaÉMATIQUE ET PHYSIQUE. iOl'X

- Si l'oû cohstniit la tangente à la ^oorbe d'interaection au point m onn, elle passera par la droite L intersectioti des plans / et af\ En effet , cette tang^xte t pour le point m , par exemple 9 sera Tiptersection des deux plans tangens ; l'un T' à C\ sui« Faut la génératrice g^'^YsLUtre T" àC", suivant la génératrice g".

Or, le plan T' passe par la tangente t' à a' au point a'; T" passe par la tangente t' h d' au point a^\

Mais ces deux tangentes t! et t!* sont contenues dans le plan tangent T à G , suivant la génératrice g; elles se coupent donc au point où la.droite L est rencontrée par T; par conséquent la série des tangentes passe toujours par la droite L.

n est facile de voir que la tangente au point M ou N , ne passe pas par la droite lu

Âîzisi la courbe d'intersection est comj^osée de deux branches distinctes, {>our l'une desquelles toutes les tangentes forment une surface développable , qui ne peut être autre qu'un plan , puisque ces tangentes s'appuient toutes sur la droite L.

Si donc le cône G est du 2^ ordre , G' et C seront du même ordre , et leur intersection devant être du 4*, sera formée dèslors de deux courbes planes du 2* degré« ' Si le cône G était du n* ordre , G' et G'' seraient du même or^ dre; la courbe d'intersection serait du an" , et formée de deux branches , l'une plane du n* , l'autre aussi du n« et qui évidemment devrait être aussi plane.

Si l'on donne sur un plan deux coiu-bes a' et d\ chacune du degré n , et tellement placées l'une par rapport à l'autre , que l'on puisse construire n tangentes communes , se coupant en un même point, le plan jouera, par rapport à ces deux courbes, le rôle d'une surface conique , et toutes les propriétés polaires existantes pour deux courbe» planes du degré n, situées sur une surface conique , se reproduiront.

Par une courbe plane a du a" degré et i points a', a", a"', si' tués arbitrairement dans V espace , et déterminant un plan autre que celui de la courbe a , Poh peut toujours faire passer deux surfaces coniques , et Von rien peut faire passer que deux*

Je suppose que a' soit le sommet d'un cône C',. ayant a, pour

2Si8 CORI^ESPONDAlfC£

base ; qae a" soit le sommet d'uB cône C; a"' celui d^un c6&e C" : C et C", ayant même base a, se couperont suivant une courbe du 2« degré /9j, ; et C"' se coupera avec C% suivant )9j"; et avec C", suivant &%y les trois courbes 3,% /3'^',, /S',,,, ne pourront évidemment se couper qu'en deux points m et n , qni seront les sommets des deux cônes cherchés , puisque la solution du problème doit être donnée pour les pointsi d'intersection de j8^, et /ô^,, tout aussi bien que pour ceux de Çf,, et /3^„ ou de &';„ et /3;„ , etc.

Étant données , sur une surface du !• ordre S , deux courbes planes a' et «"•, l'on pourra toujours em^elopper ces deu,ac courbes par deux surfaces coniques*

En effet , je prends sur a!' trois points arbitraires et , par la construction précédente ^ j'obtiens Içs sommets de deux cônes C et C", ayant «' pour base et passant par les trois points arbitraires*

Ces deux cônes G' et G'% ayant même base a% se coupent suivant une courbe plane a'^'^ située dans le plan des trois points arbitraires.; mais «"^ ne peut être autre que a", puisque 9 lorsque deux surfaces du 2« ordre se coupent suivant une courbe plane , il existe toujours une 2* courbe plane qui complette Fintersection; donc, etc.

2. Si donc Von a deux courbes planes du a* degré oi et «", situées sur un cône C^ ayant pour sommet un point c , // existe toujours un second cône S, qui a pour sommet un point s^ et qui enveloppe à la Jbis ces deux courbes.

Si l'on prend les sommets & et c" des deux cônes C et C" ( art. I. ), sur la droite es , il est facile de se convaincre par la construction géométrique des tangentes , que ce qui arrivait pour les points m ou /i , se reproduira dans ce cas pour les points M ou N ; et que, par* conséquent , alors les, plans des deux courbes d^intersection des cônes C et C"^ passeront à la fois par la droite L.

L'on peut donc tirer cette conséquence .: que deux cônes qui ont deux plans tangents communs , se coupent toujours suivant deux courbes planes ; mais que deux cônes qui se coupent sui-

MATHJblATIQUE £T PHYSIQUE. l^g

vant deux courbes planes , rCont pai toujours deux plans tan- ^nts communs.

Par deux courbes du 2* degré ^ situées arbitrairement dans^ t espace > Von ne peut pas toujours Jaire passer deux surfaces coniques; mais cela est toujours possible 3 si ces deux courbes^ se coupant en deux points , ont une corde commune ; et it n'existe qu^un cône, si les deux courbes ont un seul point com* mun et une même tangente en ce point.

En effet , je suppose deux courbes p^ et a" , ayant deux points communs m et n* Je puis prendre sur V, par exemple^ trois points arbitraires , et déterminer les deux cônes qui passent par a' et ces trois points. Ces deux cônes se couperont suivant une courbe plane , située dans le plan de a^\ et qui ne pourra évidemment être autre que celle passant par les trois points arbitraires et les deux points m et n , puisque cinq points déterminent une section conique.

Supposons maintenant que les deux courbes a' et a" ont un point commun m , et en ce point une tangente conmiune t.

Si, sur la courbe a'\ l'on prend trois points arbitraires pour sommets respectifs de trois cônes , ayant a' pour base commune, et que l'on cherche les points qui sont communs à ces trois cônes , l'on voit de suite que le point m en sera un , puisque chacun de ces trois cônes aura une génératrice dans le plan de «"; par conséquent, le point m représente dans ce cas l'un des sommets des deux cônes qui doivent envelopper a' et «"•

n n'existera donc dans ce cas qu'un seul cône enveloppe , et la génératrice de ce cône , passant au point m , jouera , avec la tangente t en ce point, le même rôle, sous le rapport despropriétés polaires , que la droite L et la ligne es (art. i. ).

Lorsque trois courbes du second degré «', a", «'" ont, deux à deux, une corde commune; elles peui^ent être en- ^^eloppées par une surface du second ordre*

En effet , l'on sait que si ,• par neuf points , l'on peut faire passer une surface du \ second ordre, l'on n'en peut faire passer qu'une , puisque l'on a autant d'équations que d'inconnues. Je suppose donc cinq points arbitraires sur âc%

;23p COBRESPÔNDÀirCE

troi$ sur a^* 9 et un sur cl^' , par ces ueuf points . passerez toujours une surface du a* degré qui enveloppera^ évidemment les trois courbes V, a" et «'"•

Par deux courbes a' et «" du 2« degré, situées sur uq cône, passent une infinité de surfaces du a* ordre* En effet, je prends cinq points sur âc', et trois sur <*"; si je coupe ces deux courbes par un plan arbitraire , j'aurai quatre points qui détermineront une troisième courbe du 2* degrë qui variera de nature et de position dans ce plan avec les cinq points que j'jr choisirai.

L'on peut encore de ce qxii précède, déduire cette con* séquence, savoir : que Von peut toujours Juire passer une, surface du a* ordre, par trois courbes du 2« degré ^ enveloppées - deux à deux par une surface- conique.

L'on sait que si , par chacun des points d'une droite F , tracée arbitrairement dans le plan d'une courbe du 2^ degré, l'on mjène deux tangentes à cette courbe , toutes les cordes de contact se coupent en un point ,p , le point p est nommé pole^ et la droite P, polaire de la courbe.

Je nomme la droite L , intersection des plans de deux courbes planes a\ et af^ , situées sur un cône du 2® degré , la polaire commune de ces deux courbes. La droite es, qui unit les sommets c et 5 , des deux cônes G et S qui enveloppent af et «", formera avec L un système que je désigne par le nom de polaires réciproques.

La droite es perce les plans de a^ et a!^ en deux points, r et Z" qui sont les pôles de ces courbes, et dont L sera la polaire eommune. En effet, si par un point arbitraire pris sur la droite L, je -mène deux tangentes à a^ et deux tangentes à ^e'' ; et si je nomme p- et q' les points de contact sur «' , et /?" et q'^ les points de contact sur a" , et / le point pris sur L, il est évident que les points />', 9', /?" , y" , formeront un quadrilatère (^g-. 20 ) f dont les côtés opposés /?'^" et ^'y" seront des génératrices du cône C, et dont les diagonales p'q'^ et p'^q' seront des générati*ices du cône S.

MATHEHiTIQUE ET PHYSIQUE. t 23 1

TPuisqpe par la droite c/ L'on, .pourra meu^lç .46t|x plans tMpigents au cône G,, et par la droite si y deux au oône S'; les quatre points p\ p" f.<f t q" » seront donc dans un plan passant par la droite c;,. (jui unit les 4®ux sommets des cônes G et S.

Les cotés p^/f^ et pf'q*' du quadrilatère^ qui sont les cordés de contact par rapport aux courbes a! et a'% pa^senmt donc toujours , le premier par le point V iirterseetion de es et du plan a^ ^ le second pat le point l'^ intersection de es et du plan «e'^ donc etc.

Maintenant , il est évident que si » par la ârinteX, l'on fait passer vue série de plans coupants^ l'on obtiendra , pour siecfions dans le cône G. oi). S , une série de courbes planes /3, ^9% i9'% etc. 9 qui pourront être unies deux à deux par des cônes dcmt les sommets seront fous distribués sur la droite es.

L'on a vu plus haivt que si les deux cônes G' et G" , ayant pour bases les courbes a! et a'% situées sur les deux cônes G et S , ayant pour sommets c et s , avaient leurs sommets d et c'' sur une droite D^ passant par G ou S, ils se coupaient suivant deux courbes planes fi et y, . Le plan de l'une de ces courbe^ passait toujours par la droite L , intersection des plans de a! et ci' , et celui de l'autre ne passait aussi par cette droite , que dans le cas oîi D se confondait avec la droite es. Donc 9 en général, le plan de la seconde courbe coupe le plan de af suivant L' , et. le plan de a!' suivant L". Les trois droites L^ L% L" se couperont' en un point /, qui sera celui par lequel passe la droite , intersection des deux plans de /3 et % Le point / et les droites L'^ L" varient ^vec la position de la droite D.

Si , par le point/, l'on mène deux plans tangents aux eônesi Q et G'', les quatre génératrices de cpntact seront dans un plaaB. , passant par la droite D et par es ; alors , le ppint / sera pôle commun y et le plan B. sera, plan polaire eommUn du système des deux cônes G' et G".

Il est évident que si, sur la droite L , l'on prend un point a arbitraire ; et que , par ce point , l'on mène deux tangentes à cl

iSa , Correspondance

et à a!* , les deux coi'des se couperont en un point situ^ surL,

Si , maintenant , nous supposons que les deux coiu*bes sont situées sur un plan , au lieu d'être sur un côrife , toutes les propriétés qui existaient dans l'espace vont apparaître, mais avec des modifications.

Nous devons donc supposer que les deux courbes ne sont point intérieures l'une par rapport à Tautre , c'est-à-dire , que l'on peut leur mener deux où trois ou quatre tangentes communes ; qu'elles ne se coupent qu'en deux points , ou ne se touchent qu'en un; en un mot, qu'elles n'ont au plus que deux points communs , ou aucun.

Je ne puis, de ce qui précède, déduire les propriétés des courbes intérieures, ou qui auraient quatre points communs. Ces cas ne peuvent être déduits que de l'examen des propriétés polaires de deux surfaces générales du 2" degré, en considérant les courbes situées dans un plan , comme l'intersection de ce plan et de deux surfaces symétriques par rapport \ lui.

Supposons que l'on ait deux courbes ei et a" sur un plan , et telles que l'on puisse leur mener quatre tangentes communes, savoir :

/- et ^, tangentes intérieures, qui se coupent en c, de manière que t touche a! et a!' aux points m! et m", et que € touche les mêmes courbes aux points n' et n";

T et T' , tangentes extérieures , qui se coupent en S , de manière que T touche a! et a" aux points M' et M", et que T touche les mêmes courbes aux points N' et N".

Si l'on suppose que a! est la base d'un cône C; et a", d'un côqe C"; et de plus , que c* sommet de C, et d* sommet de Ça' sont sur une droite passant par s ou c , ces deux cônes se couperont suivant deux courbes planes /3, r? puisqu'ils auront deux plans tangents i^ommuns.

De là résultent les propriétés suivantes :

i«» Si , par le point 5 ou c, l'on mène une sécante quelconque, l'on obtient quatre points^', y' sur «', et;?", y" sur a", tels que les tangentes à «', aux points /?', y', sont coupées par les tangentes à a" en /)", q" en quatre points, qui, deux àdeux ,

MiiTHEMATIQVC ET PHYSIQUE. i33

déterminent deux droites înyariables , qui sont dans le plan ce quêtaient dans l'espace les droites L , L% L"; c'est-à-dire , les traces des plans des courbes /3 et y, intersections des cônes G et C".

20 La droite, es coupera les deux courbes a' et a" en deux points chacune , et les quatre tangentes en ces points se croiseront en un seul point, qui sera l'analogue du point / de Tespace où se croisaient les trois droites L, L', L". Ce point sera le pôle commun , et es sera la polaire commune de a! et a".: es contiendra les deux pôles de la droite qui correspond à L de l'espace, e est-à-dire , le pôle par rapport à a', et celui par rapport

3° Si 5 sur la droite qui correspond à L , l'on prend un point arbitraire , et que de ce point Ton mène deux tangentes à a.\ et deux à a"; la corde de contapt de a', viendra couper celle de a" en un point situé sur cette même droite , analogue ide L.

4* Enfin l'on pourra évidemment déduire toutes les propriétés des points de concours connus jusqu'à présent :

Ainsi, les droites mV, m"n", M'N', M"N" se croisent au point analogue de /•

Ainsi , quand par c ou ^ , l'on mène une droite arbitraire x , coupant a' aux point z', j^', et ex," aux points z'',-^"; si,' par le point analogue de/, l'on mène des droites^ passant par ces quatre points z% y'^ z" j^"^ elles couperont respectivement a! et a," en quatre points z^, j^^, z'/, y^', qui seront sur une ligne droite passant par c ou ^, .

Si Von fait glisser une droite AB entre deux axes rectangulaires ^ la courbe à laquelle cette droite restera tangente^ u pour équation x "/^ -+-^ '/^ =sz D ^1^, D étant cette droite. Le milieu de la droite décrira un cercle et tout autre point une ellipse. Question proposée à la page 64 du III* vol., et résolue par M. A. Lesghevaik.

• Oéiùontrons d'abord Ik demiëre partie de la proposition.

Soit n un point de la droite; nm ss^, cm = x^ (fig. 21 );.

134 r- ■ coiBiiPûoiiiiftirefi

faisons AuxaJ^, nl^iasak^ le triangle rectangle /tmB'âdiffiê

mB nB

mais on a -x — =V'

Q» An

kx .

d'où mBœi—-»

Remplaçons mB par cette valeur, il viendra

ou bien A* ^» «5=^» À» ^ h* x*

équation d'une ellipse qui a son centre au point C. Si le point n est pris sur le milieu de la droite AB,

An = nB , A = ^ = — >

réquation précédente devient

c'est l'équation d'un cercle qui a son centre à l'origine C des coordonnées, et dont le rayon est — la moitié de la

droite donnée.

Gherehons maintenant l'équation de là courbe à laqudle la droite AB reste tangente.

Soitn le poftit 'de tangence, tang. rîBc'sszy

Ac .

on a >■'*== =r

^ Bc"

MATBÈMXnÇfUZ ET PHYSIQUE. l3$

et comme Ac = D» — Bc

D — Bc

il vient ' r'« = — — a *

Bc

Le triangle nniB donne mB = , ^

d'où BC sa a? — -, ,"

et remplaçant r » =;= •

Simplifiant, il vient

Il faut intégrer cette équation : à cet effet mettons -la sous laforme. ^ = oy ' — ^.==== .

Différentions :

Gomme 4k =J^ ^ $

a faut que dyL- (, ^°.jB/J = o-

On satisfait à cette équation en égalant à zéro chacun de

scsfacteurs, donc dy =.0. et a: — r- — — . , ,, ■ = o.

mais dy = o donne y == conista^te•

1 36 CORRKSPOKDANCE

Cette valeur ne peut répondre à notre question , puisque Tinclinaison de la tangente ÂB sur Taxe des x varie : prenons

donc

d'olirontire .J^m—^i')

Remplaçons y par cette valeur dans Tëquation que nous de- ' vions intégrer, il viendra j^»/' = D*/' — «r»/'. C'est Féquation de la courbe cherchëe. Si l'on y fait x 8= o, il vient ^ = D ; si Ton y fait j^ = o , il vient x = D : donc la courbe coupe les axes des coordonnées en deux points dont la distance à l'origine est D.