MÉCANIQUE
&die du Mémoire de M* Gérono , professeur des pages du roi de France {voyez le numéro précédent).
N? ^. Soient pi 9 pa 9 ••• p» 9 les côtés successifs iun pO' fygoneplan : si d'un point F^ pris dans son intérieur (fi^. aa) , o/i mène les droites FPx , FP^ , .... FPn 9 proportionnelles aux côtés pK 9 p» 9 ••• pA 9 et faisant auec eux des angles droits , F sera le centré des moyennes distances de P^ ^ P^ ^ •„ P..
Car, si d'un autre point F', pris arbitrairement dans l'intérieur du polygone , on abaisse sur les directions FPj , FPa , ... FP» 9 les perpendiculaires FTî 9 ••.. FTi , on aura toujours :
Fp; X FP. H- Fp; X FP. ^ + Fp; x fp» » o....(i) ,
puisc[ue les segmens FP. 9 FP, 9 FP» 9 étant égaux aux diffé-
Tom. IIL .10
l38* GO&XJMFOirOAlICE
rencé* des perpendiculaires abaissées des points F', F , sur les côtés /7i » T'a 9 ••••/'» 9 le {Nremier membre de l'iéquatioQ (i), n'est autre chose que la di£fërence de deux expressions qui sont, l'une et l'autre, dans le même rapport avec la surface du polygone. Or, si l'équation (i) existe, F est le centre des moyennes distances des points Px , Fa ,»**P» (n^ 4* ^^)*
Il est facile de généraliser cette proposition , et de prouver qu'il suffit que les droites FP» , •••. FP» , soient proportionnelles aux côtés du polygone , et fassent avec eux des angles égaux , pour que F spit le centre des moyeou^ distances de
N® 8. Soient pi , p, 9 •••• p» 9 les côtés successifs d'un polygone quelconque jfermé : si , par un point quelconque de t espace ^ on mène les lignes droites FPi , F*P^ ^.^^FPn égales et parallèles , chacune à chacun des côtés de' ce polygone, et menées dans le sens du périmètre ^ le point F sera le centre des moyennes distances de Pi, Pî , •••PA«
En effet , en projetant FP, , FP» , FP» , sur un plan
quelconque , les projections de ces lignes , que Ton peut désigner par F'Pi, F'Pi...F'Pi, seront égales et parallèles aux projections des cQtéspiy pay^^pn sur le même plan.
Or , ces dernières projections déterminant un polygone fermé, il faut, d'après l'article précédent, que F' soit le centre des moyennes distances de Pi , P,%...Pn; et, par conséquent, F doit être le centre des points Pi, P,j,...P„ (n® i ).
N° 9. Si, d'un point F, situe' dans l'intérieur d'un polyèdre dont les faces ont pour expression px , /?» , ••* pm on conduit des droites FP^y FP^,...FPn , proportionnelles à pi, p***'Pn, et, faisant des angles droits auec les plans de ces faces. , le point F sfsra le centre des mqyennçs distances de PI ,
La démonstration de ce principe est entièrement semblable à celle du n® 7. ■
Gela posé, soient ^s, pn un polygone plan . et sa proj.ection orthogonale sur *un plan quelconque. En joignant les sommets homologues dès polygones /7| , /?» , on forme un polyèdre.
MATRiMATIQtnB ET FHYSIQVE. l3g
dont les faces latérales perpendiculaires kp» , pourront être désignées par /7a ,/»3 •••/'n-^i* Si , maintenant, d*un pointsitué dans l'intérieur de cepolyëdre,onconduitdesdroitesFP„FPa,,..FP^, perpendiculaires et proportionnelles à ^i , p^ •••• ^» , F sera le centre des moyenntes distancés de P» , P, ••• P» , par conséquent , la somme des projections de FP, , FPa ,..'.FP» sur FJPn, égalera zéro (n»4i 3°). Mais les droites FP,, FP3, ....FP»—!, étant perpendiculaires à FP», leurs projections sur FP» ^ont nulles d*elles-mémes ; il faut donc que la projection de FPi soit égale et directement opposée à FP». Ainsi , en se bornant à la recherche du rapport , qui existe entre la surface projetée pi et sa projection pn , si Fon représente la première par une droite FPi, perpendiculaire à son plan^ la projection de FP| , sur un axe perpendiculaire à pn 9 pourra représenter cette dernière surface *•
En général, si /7i , /?• , •••• pn sont des polygones plans demies dans respace; etOPt , OP9 , ..4. OP» des droites issues d*un point, de directions perpendiculaires aux plans des polygones, et dont les longueurs proportionnelles aux aires p% y pu 9 ••••pm 9 peuvent servir à les représenter^ la somme des projections des polygones p^ , p^ ••• pn sur un plan quelconque, pourra être désignée par la somme des projections de OP» , •.. OP» , sur un axe perpendiculaire à ce plan.
Maintenant, menons du point O une droite OF, au centre des moyennes distances des points Pt , P,., •••• P» , et concevons un nouveau polygone y dont le plan soit perpendiculaire à OF , et la surface représentée par OF, Les propositions des nP* 2 et 4» conduiront immédiatement aux propriété suivantes :
i^ La projection di^ polygone f sur un pian quelconque y est toujours moyenne entre les projections de pi , p a,.*.^», sur le même plan^
A A * On sait , d'ailleurs , que P» sr Px X <^of. pn pu ( pm pi dësignank l'an-
l4o COBBESPOJVDAAteE
a*" 'La somme des projections de pi ^ p^ ,*««/7» , sur tous les plans^ iqui font auec f des angles égaux, est constamment la même;
3® jÇitf somme des projections de pi , p^ , ••• pn ^ sur un plan parallèle à celui du polygone f , est égale à n jfbis la surface de ce polygone , et c'est la plus grande valeur que puisse acque'rir la somme des projections de pi , p^g , ••• y?» ;
4® La somme des projections de pi y p% ^ •••pnj sur un plan perpendiculaire à f, est nulle;
. 5® Enfin , si les droites OPi , OP, , OPn , çui représentent les polygones p^ , p^ y^pn , ont des directions et des longueurs telles, que le point O soit te centre des moyennes distances de P, , P^ ,,..P» , la somme des projections des polygones , px\ T'a y*/?» est toujours, nulle ^ quelle que soit la position du plan sur lequel on projeUt ces polygones*
De là résulte une solution fort simple de ce problème : des polygones plans étant donnés dans Veispace^ détemdnet la position d*ùn plan sur -lequel , projettant ces polygones , la somme de leurs projections soit égale à une surface donnée , et s'ilJaUait que la somme de ces projections Jut un maximum, la solution ne serait pas moins é\fidente.
N° 10. Si Ton mène dans le plan d'un polygone, des droites A^ Bi ,•... A» B» ëgales et parallèles à ses côtés, et que d*un point quelconque , pris dans le même plan , on abaisse des perpendiculaires MC, , MGa,...MC» sur les lignes Az Bi 9 Aa Ba ,....A»Bj» {Jig» aS )• La somme des lignes Ai Bi , Aa Ba,.**An B» , multipliécs respectivement parles perpendiculaires MG^ , MGa , ••• MGn sera constante, quelles que soient les positions des lignes Ai Bi , Aa Ba ,.«• AnB» et celle du point M.
En effet, par un point invariable F pris sur le plan des droites Ai Bi , Aa Ba , •••• A» Bn 9 menons les droites FP, , FPa,.-.FPn égales et parallèles à Ai Bi,....Ai» B„ , le point F sera le centre des moyennes distances des points Pi , Pa •••. Pu ( n^ 7); cela posé , la différence qui existe
MATR£MATIQVÊ ET PftTSIQV£« l4l
entre la somme des. produits Ai Bi X ^Gti A, Bâ X MG, , •»..»A» Ba X ^^1» 6^ ccH^ ^^^ produita dès métnes lignes A, B, ,...A» B» , multipliées respectivement parles perpendicu^ laires abaissées sur leurs directions dti point F, est évidemment égale à la somme des produits FP, X MP,,;... FPn X MP„; mais cette dernière somme est nulle , (n<» 4' ^)* ^onc, les deux premières sont égales , et par conséquent le principe est démontré.'
M« II. Considérons maintenant des droites Ai fii ,•••• A» B»- [fig. 2^y) àiTiQêes d'une manière quelconque dans Tespace*
Soient OÇ» , OP» ,...OP» des lignes égales et parallèles à A| Bx ^ Aa Ba , ••• A« B» , menées par un point quelconque 0, et F le centre des moyennes distances de Pc' , P» , ....Pn*
La somme des plus courtes distances des droites AiBi , A^B» , ... jénBn 9 à- un axe XY parallèle h OF, multipliées par leurs projections sur un plan perpendiculaire àXY'y est une quantité constante^ quelle que soit la position de cet axe dans • l'espace.
Car, si l'on désigne par O', F', P;,....P;, A',,,... Ai, Br,..,B» les projections de O, F, P, ,...Pi, , Aiy^^A», Bi,...,Bi»; sur le plan dont' il s'agit; les points O' , F' coïncideront, puisque OF est perpendiculaire à ce plan. Par conséquent O' est le centre des moyennes distances de P;,...Pi, et les droites AJ Bi, A» Bî,....A; B» étant égales et parallèles à O' P,',....0' Pi, il en résulte (n« lo) (pie la somme de ces lignes multipliées par leurs distances à un point quelconque de leur plan, ou par leS' distances des lignes Ai Bx , A,. Bj ,....A» B» à un axe quelconque, perpendiculaire au plan de projection est constante.
Les lignes A^ B^ , A» Bi multipliées parleurs distances
à nn point quelconque O' de leur plan, donnent des produits proportionnels aux surfaces des triangles O' Aï BJ,
O'Aa Ba, Q^ A» B» qui sont les projections des triangles
0A|. Bj,...«OAi» Bn ; donc, si Von projette y sur un pian perpendiculaire à la direction OF^ les triangles OAt B^ , •••• OAh Bn ', formés en unissant les extrémités des droites
GOR&ESPOITDAMCS
Al Bî y*..jé„ Bn, à un, point ifuelconque O, la somme de cçs projections est constante y çuette. ^ue soit, la position du point O.
Cela posé, soient QQi,»«.«OQ» des droites perpendiculaires aUx plans. OAs !Çt 9.«****OAjk B» et proportionBelles. anz surfaces de ces triangles; et G le c^dtre des inoyennes distances de Qi , Q, ,*..Qif
On sait (n« 9), que la somme des projections des triangles OAi Bi 9 •••OA^Bji.sur un plan perpendiculaire à OF/ est représentée par n fois la projection de OG sur OF; donc , la projection de OG sur OF est une quantité constante.
Si on désigne parX,YjZ» les projections de OF sur trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, et par/, m, n,les projections de OG sur les mêmes axes, il sera facile de voir que la somme
/XX + mXY + nXZ est constante.
Car, en projetant OF sur les- trois axes OX, OY, OZ, on détermine un parallélipipëde. Le centre des moyennes distances des extrémités de ces projections, est situé sur là diagonale OF, au tiers de sa longueur (n^ 5) : la somme des quantités /X X, /w X Y, n X Z, est donc égale au produit de OF par là projection de OG sur OF, c'est-kdire, au produit de deux quantités invariables.
Remarque^ La diagonale OF étant égale à ^X* -♦- Y* -*-ZS . la projection de OG sur OF , a pour expression :
/XX^-mX Y^-nXZ 1^ X« + Y» -I- Z«.
Lorsque le point O est le centre des moyennes distances de , , Pa y..JPn, la somme des projections des triangles OAi Bt , .OAnBn est constante pour chaque plan\ quelle que soit la
Pt 9 Pa 9*»*Pn, la somme des projections des triangles UAi tSt , ...OAnBn est constante pour chaque plan\ quelle que soit la position du point O.
UATBÉMlTIQVt ET PHYSIQUE* l43^
Car la projection de O , sur un plan quelconque , est toujours le centre des moyennes distances de Pi , •••?)!•
Il suit encore delà que, dans cette supposition, la projection de OG , sur un axe quelconque , reste toujours la même , quel que soit le point 0«
Peu* conséquent , lorsque le point O est le centrcdes moyennes distances de Pi , Pà 9«*«Pik » la grandeup et la direction de OG sont invariables.
Si , le point O n'étant pas le centre de Pi ,*«.P» , Fangle FOG est droit, la somme des triangles OAx Bi , ..«OA» B» , sur un plan perpendiculaire à OF, sera nulle.
Car 9 la projection de OG sur OF , est alors nulle.
Enfin, supposons que, ^^\\& une position déterminée, le point O soit à la fois le' centre deis moyennes distances de Pi ,...P» et de Qi , •.•Q» > je dis que \^ somme des projections des triangles OAt Bx.,«..OA» Bu, sur un plan quelconque, sera toujours nulle, quelle que soit la position que le point O prenne ensuite dans Fespace.
En effet, la somme des projections des triangles OAi Bi , ••••OA» B» est constante pour chaque plan , puisque le point O est le centre de P, , P, ••• P» (pag. i5).
n suffit donc de démontrer que ^ dans une position particulière du point O , cette somme de projections est nulle ; or, elle est nulle lorsque, conformément .à la supposition faite , le point O est le centre des moyennes distances de
i44 cojtHESPaxrPAircE
MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
PHYiSIQUE.
Extrait (Tune lettre sur un principe d'optique et sur une expérience concernant l'écoulement des fluides* Par M» ELa£HETTI, de la Faculté des Sciences de Paris*
J'ai vérifié ce que vous dites (*} sur les courbes du second degré par le petit calcul suivant :
Coordonnées du point lumineux j? s=ï a , ^ sa o ; équation da cercle ••• x'^ -f. y^ s=: r* ... (i) ; équation de la tangente à la section conique
Relation entre les coordonnées x%j^ du point d'incidence d'un rayon lumineux :
ya:^ — ( j: + a) ^ =: o..«,(3).
Eliminant x\y Centre les équations (i)^ (t2), (3), on a, pour la section conique :
(r» + axy == r» [^» ^ (a: ^ a)*],...(4).
(*) Voyez page 73 du iiumëro prëcëdent.
MATHJBMATIQVE ET PHYSIQUE. l45
Développant cette équation (4) , le terme 2 ar' x , linéaire par rapport a x disparait , ce qui confirme les propriétés de votre caustique. Je ne vous présente ce petit calcul que pour vbus Élire voir que j'ai lu les pages 78 à 76 du cahier qui m'est parvenu hier.
Si vous avez encore l'occasion de vous occuper de la combinaison du choc des fluides et de l'air atmosphérique 9 vous pour-, rez vérifier facilement ce que j'ai avancé siu* l'identité des effets de Tair et de l'eau , en ajoutant le petit tuyau de fer-blanc qui sert pour le mouvement de l'air, à l'extrémité d'un autt*e tuyau en verre, plus long et d'un plus grand diamètre, ainsi que Tindique la figure aS. Soufilant en A, Teau du tube AB s'écoule entre les deux plaques DD', qui sont retenues à une très-petite distance l'une de Fautre, tant que Fécoulement a lieu. Au lieu du tube de verre , on pourrait se servir d'un matras à deux tubulures , qui contiendrait plus d'eau ; alors l'expérience durerait plus longtemps.
Paru, le 23 jaiUet 4827.
Explication mathématique du pJiénomènc acoustique, connu sous le nom de Résonnance; par M. Pag^ni, professeur extraordinaire à l'Université de Louvain..
Si l'on fait résonner un corps sonore , on entend , outre le son principal et son octave , deux autres sons très-aigus 3 dont l'un est la douzième au-dessus du son principal, c'est-à-dire, l'octave de la quinte de ce son; et l'autre est la dix-septième majeure au-dessus de ce même son, c*est-à-dire , la double octave de sa tierce majeure. Ce fait, qui est le fondement sur lequel Rameau a élevé tout le système musical , a reçu le nom de Résonnance du corps sonore ; et la théorie des cordes vibrantes n'a pu fournir à Lagrange une explication suffisante de ce phénomène. Voici comment cet illustre géomètre s'est exprimé à la page 4^^ $ ^^ I*' volume de la Mécanique analytique.
l46 COBRESPOKDAlrCË
« Si ces sons harmoniques sont en effet produits par la n même corde ^ en même temps que le son principal , il faut I» supposer que la corde fait à la fois des vibrations entières n et des vibrations partielles , et que seâ vibrations effectives » sont composées de ces différentes vibrations, comme tout » mouvement peut être composé ou regardé comme composé » de plusieurs autres mouvemens. » Ensuite il ajoute 'que: <c les se'ries qui pourraient donner ces diffërenis. sofas disparais- » sent de la formule (dans le cas particulier d'une corde vi- » brantc;); et qu'ainsi : oh ne peut s'expliquer d'une manière » plausible la coexistence des sons harmoniques , par la forn mule de Daniel BemouillL »
Nous conviendrons , avec l'auteur de la Mécanique analytique , que la formule générale, qui exprime la nature du mouvement d'une corde mise en vibration d'une manière quelconque , ne donne point l'explication dé la Resonnance , lorsque l'état initial de la corde est arbitraire ; mais nous ferons observer que, l'existence de ce phénomène n'ayant été prouvée par l'expérience que dans quelques cas particuliers , il suffit que la formule générale soit d'accord avec l'expérience dans ceâ mêmes cas. C'est ce que nous allons entreprendre de prouver.
Il y a deux moyens fort simples de faire résonner une corde , et que l'on emploie presque toujours ; c'est de frapper la corde avec un petit marteau , ou de la pincer. Nous commencerons par le premier de ces deux cas , les seuls qu'il soit nécessaire d'examiner dans le but que nous nous sommes proposé.
Soit AB une corde d'instrument, tendue horizontalement par un poids P , et mise en vibration par un petit coup de marteau , à 14nstar de celles d'un piano; il est clair que cela revient k supposer que la figure initiale dé la corde est une ligne droite , et que tous les points de la petite portion mn , prise sur sa longueur , ont reçu une vitesse initiale V , par l'action du petit marteau.
Après un temps quelconque t; prenons la droite AB pour axe des jc^ et la perpendiculaire à cette droite , menée par
Forîgîne A dans le plan de la corde, pour axe des^; dénotODS en outre par
/ la longeur de la corde AB,
M sa masse.
a la distance Am,,
la distance An^
g la vitesse acc[uise par un corps libre aprës une seconde,
T la longueur de la demi-circonfërence dont le rayon est i ,
a la quantité gl^*
£elaposë, Féquation du mouvement de la corde nous donnera
(i) rs= -—£-. sm. Kjrf — ;- Jsin. vxX r- Ism. yr^sm. yT-~r-
Dans cette formule , le signe S se rapporte seulement aux valeurs entières de y, qui varient depuis i jusqu'à Too. La démonstration de ce résultat se trouve dans mon Mémoire sur le mouvement d'un fil flexible, que l'Académie Royale des sciences de Bruxelles a fait imprimer dans le volume des prix pour l'année iSaS. Nous allons expliquer, au moyen de la formule ci-dessus, le phénomène de la résonnance des corps sonores*
n nous faut, pour cela, développer le second membre de l'équation (i) ; et nous rendrons ce développement très-simple en posant : »
ce qui changera. d*abord la formula (i) dans celle-ci
J^ = e 2""^ *!**• V *'T sm, y jr— sm^ y >r-r sin. vx
l48 CORRESPOIfOANCE
Maintenant y si nous donnons à (^ successivement toutes les valeurs qu'elle peut avoir, nous aurons ;
9rX , rot , rx , ict\^a
s ^ y . îTA . im , rx , riy
(2; — zsss sin. -7- ^m. --- sm. — r- sin. —7
-♦- "j- sin« — j- sin* — s— sin* ■ sm. -
I , 3rA . 3rx . Sjto: . 3rt\/ a
-♦- 2r sm. — -— sm. — r- sm. — =— sm. - —
