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FG f^,

l. ''i'. /. •■i.îJ *:■>. .' îl, ' -jfJj) M'

donc F&s«:FJ^^, etj2^.doit.aeoQBfowk&av«€jA, etc

mj. 'j'. o' -J.

-ittfre sohuion et extension du problème précédent , par A, Q.

Si, du sommet A d*un triangle (fig. ii) , on mené une droite AA, et des transversales, telles que FD et GB, qui se coupent deux à deux sur AA; il est prouvé que les transver-

68 CÔAR£SP09DAirC£ •

sales DB 9 etc.) en iioiiyt>re 4]ûéIcGinqtte,' vont 'toules' ooncoùrir en un même point k (i)*

Gela posé, mettons la figure en perspective dans un plan passant par kVhG^ et îl dévient' évident que, selon la position de l'œil, chaque point de ce plan peut devenir le sommet A' du triangle pei^pective du triangle proposé; mais, les points ^ et ^ ne variant pas, les transversales, telles que FD' et GB', eontinueront ^ se couper sur la droite qui joint le point h- ail'soçiinet Af, la réciproque a également lieu.

Ainsi le théorème n'a pas lieu seulement pour deux triangles et pour deux transversales , ' mais ppur un nombre infini dé triangles , * pourvu qu'ils aient juné . Base commune ; et pour un nombre infini <Jè transversales FD et BD , pourvu qye les points de croisement se .troùyenf sur . les . droites qui joignent lé poini A i^ux diâ'é'ren^ soînipetsj ou jpour un nombre infini de transversales AD ,' pourvu qu'elles passent toutes par un .méme'pôipt k.

Nous " avons donné aeux solutions' dé chacun' des problèmes précédens; elles pourront faire voir la manière de procéder d'après h^ théorie des tmnsi^ersale^ et celle des projections*

(1) En effet f qa*on mette la figure en perspective, dans un plan parallèle aux deux 'di>oite8 ifiii vont de Fœil ad som^'eft A da. triangle et au point A, où Tune des transversales coupe. la' Irâse^'ylir flgure'FBDG devient alors un parallélogramme, et, par la position que prend la droite A&, il sera facile de voir que tontes les transversales BD formeront un système de droites pai'alèlis à F6 e^ seranl ieons'ëqaenuiMtht coneounntos.

HATBàflTIIQVB BT :MITtflQVE.K 69

ALGÈBRE

Soit, réqaation : .

■■(•)■> • . mmmm

On denkinde if exprimer la valeur itune des ^fuantitA qui composent la fraction continue, en fonction de toutes les autres quantitufs* (x) . . •

On écrira successivement :

d'où cPoîi

d'oh

x as ■— -.

rf-f-e

S'il s'agissait de déterminer ' la valeur de h, dernier terme

{\) C^tte question ayait ëtë proposée dam le i*' cahier da 2n« yolame ^ li Correspondance. Comme il ne noas est paryenn aucune rëponce , et qne d*ai]leuT8 le sujet est intéressant, nous en ayons propose une. On tromre dans les AnnàUê math, tome i , page 264 , un beau mëmoire de ^ Kramp sur les fractions continues périodiques. A. Q.

70 CORBBSfOlTDÂIIOE . '

de la fraction .^ntinue ; on déduirait des ëcpations précédentes : ^

A sas s: v .?fe î«. ' ^ > ; = 7 •

S'il fallait déterminer une autre quantité quelconque d, on obtiendrait de la même manière :

Enfin, en généralisant ces résultats, on trouvera :faf<ô{IëÉttent que, pour une fraction continue quelconque de la forme ^

a ^ S xsssY ; on aurait yass — - , — ^ :

e ce

<2-f-e' — b -^ a ic-f- etc.

t -♦- etc.* *■ ■*.-"- î- -^

L'inspection de c^s formules, suffit pour faire connaître la loi de leur formation-; - • '• ; ' . ^ > î- ^^

On pourrait s'exercer sur les questions suivantes dont la ^luticm/se ]>r^^n1^,;:pq[^]* çjiisi dire, ^'eUe;m4me^

I** Résolvez V équation x sa= ,

hx -^a

hx. ri-, etc.

I I < 1 1 1 I i**iÉ»*»w^ \' y

On trouvera x « , . . , .

HATHiaf 4TEQVB B.T VAYSIQUE, 'j I

a a*> Construisez la courbe y = -, — ^ —

. va: '^ a. ■ ,

bx -^^a

bx -f- etc.

On trouvera que la courbe est une section conique.

Th^rème de Wilsoh. . *$ï p désigne un nombre premier^ . Ip produit j j[ X ? X 3* . • .p,,-: — i ^ çuigrtjtentié de f unité , seraMyisible par p. Démonstration de M. Veuhulst , .docteur en> soienoesi.

Euler a no^Duné^rocme^ primitis>es , lies nombres , tels qu'aucune de leurs . puissances moindre €^é "^p *^'i, étant divisée par p 9 ne donne pour reste l'unité ou un reste déjà obtenu, Non-seulement, il a démontré l'existence de ces racines n mais il en a encore fait connaître plusieurs propriétés remarquables , dont M« Qiuiss 9i s\i tirer le parti le plus avantageux, en les employant à la résolution des équations à deux termes. Il nous sufiGu:*a , pour l'objet dont nous allons nous occuper , de partir de la relation principale qui existe entre le nombre p et une quelconque n de ses racines primitives :

n»sa=o/i ^- 71,»' ==rM;i -*-r'%n*aE=]X^p -i-r''%...... ?/''''== Mjbt H- I.

Les lettres n , r"^ r'" , désignant des nombres <^ essentiellement différents éntr^éux et autres que l'unité , elles repré* sentent tous les nombres depuis a jusqu'à p — ^ i. Multipliant respectivement entr^eux les premiers, et les seconds membres de ces équations , il < viendra

Le terme » X '^' X '^" X ••• X i sera le produit commun de tous les nombres , depuis i jusqu'à p — i • Quant au premier membre ,

est facue de voir que le terme n équivaut

72 cobeespoudaiice . ^

B, n a «En ajoutant , de part et d'autre , Funitë , Féqua-

tiou précédente sera transformée en celle-ci :

La divisibilité du second membre de cette dernière équation , sera prouvée , si Ton peut démontrer que le premier membre est de la forme 'Mp : or ,

De plus , puisque n^ — i admet p pour diviseur , il faut

bien que n ^ ^ — i l'admette également , c'est-à-dire ,

que n — iss=M/?,ce qui se prouve immédiatement

en élevant à la puissance p les deux membres de Féquation

n'^ = 'Mp -f- !• Nous conclurons de ce qui précède , que Vit 3 + \J\n a — iJ sstSp.

Le premier membre, étant composé de deux facteurs, il faut que l'un des .deux au moins soit divisible par y?. D'après la définition même des racines primitives , ce caractère ne peut ap«

partenir kn 2 — i , puisque * 2 ne saurait jamais égaler p — i ou un multiple exact de ce nombre, en exceptant le cas où ^ ss: a ; le premier facteur satisfera donc seul à la condition exigée.

MATHÂlIATIQtTE Wt HrrSIQVB. ^3

MATHÉMATIQUES TRANSCENDANTES

GÉOMÉTRIE, MOhodes faciles pour construire les sections coniques , par A. Q»

On emploie dans les arts du dessin plusieurs constructions facâes de Tellipse au moyen du' compas, qui rentrent dans le principe suivant , applicable à toutes les section^ coniques : Qu'on trace une série de cercles qui aient leurs centres en ligne droite et leurs rayons proportionnels aux dislances de ces centres à un point fixe i la ligne ens^eloppe de ces cercles sera une sections conique. Par exemple , on mène , par le pointy, plusieurs droites Oo , Aa , BA , e^c. , et l'on construit des parallèles OB , cb, o'h' (jfig, 12 ) ; puis , Pou dëcrit des circonférences qui ont leurs centres sur OA , et qui ont pour rayons les distances interceptées entre les parallèles O A et oa, ou bien entre OA et o'a'; ces circonférences , par leurs intersections successives , déterminent alors assez bien le contour d'une ellipse ou d'une hyperbole. Quand on veut avoir une parabole , il faut observer que nos circonférences se convertissent en droites perpendiculaires aux rayons vecteurs , menés par y, puisque les centres sont k des distances infinies. C'est la construction connue de la parabole décrite au moyen d'une équerre , dont un côté passe par le foyer , tandis que le sommet décrit une ligne droite.

On peut construire toutes les sections coniques avec l'équerre , d'après le principe suivant : Si Von assujettit un côté dune equerre à passer par un point fi^e, tandis que son sommet par-

^4 eORBlSFOUSAKCB

court une circottférence^ les intersections successives du second noté ^ dans ses différentes positions ^ détermineront le çQniour d^une section conique , qui a mente centre que la circonférence , et dont un des foyers est le point fixe» La section coniqtie sera une eJlipse^ une hyperbole , un point pu^ lu^e parabole' 9' selon que ïe point rayonnant sera dans le cerclé , au dehors \ ou bien sur la circonférence , considérée comme ayant un rayon de grandeur finie ou infinie. Cette construction est fort expéditive ; on en voit un exemple dans la figure 1 3 ; on en déduit aussi une construction facile des tangentes aux sections coniques.

On déduit de ce qui précède, que la ligne env^eloppe de toutes les circonférences qui passent par le foyer d'une section Conique 9 et qui ont leurs centres sur la mém>e bourbe , eàt une circonférence de cercle, qui a pour centre l'autre foyer de la section* :»•..,

LesrésuJ^tatsprécédens rassortent de la théorie des caustiques dont il a déjà été souvent parlé dans ce recueil. En effet , MM. Gergonne e\ De la Ri(>e avaient démontré que les répons, partis iTun point rayonnant ^ deviennent, perpendiculaires à une section conique , après . ai^oir été r^racfés à içt rencontre d'une ligne droite. Or^ ^ aa trouYe ^ par la théorie des caus^ tiques secondaires , que ce$ ,mémes. rayons doivent être perpendiculaires à la ligne; enveloppe de tous les cercles qui ont leurs centres sur la ligne dirimantc^ , e% leurs rayons proportionnels aux distances des centres au point rayonnadt. On est donc en droit de conclure l'identité de cette enveloppe et des sections coniques , sans autre démonstration. Il en est de même du second théorème : on sait que les rayons^ partis d'un foyer y se réfléchissent dans les sections coniques à l'autre foyer. Ainsi les caustiques secondaires , pour ces courbes, sont des circonférences ; car il nj a. que la^ circonférence qui jouisse de la propriété d'avoir pour développée u^ point. Or 5 en construisant la courbe au moyen de. sa caustique second,aire et du point rayonnant , on parvient au dernier principe , énoncé plus haut.

Les physiciens démontrent, d'une mcmière curieuse, la

MATHillJ:TI^E ET PHYSIQUE. ^5

l»iiipreiflioBljde'lW 5 enintrodussàst un peu/de mere«r6 dtans un tube dont on ferme une extrénàitrf en j appliquant le doigt ^ n l'on fidt touruOT alors autour dé ce point conùne centre , le 4ube;dqns TiA plaii ifeitioal, on observe que la colonne d'àitvintërcéptëeiéiitreléidbigt>etle -inerciÉ^et, "s'allonge ou sie oonfcEaète' sdoh la* position du iiibe , ' et ie cerarv de gfktuùé de la petite colonie de mercure décrit une ellipse dont le, foyer est au centre de rotation, et dont le grand axe est vertical. On i]4daJt ce rësulti^ ^ ^v^ i^nsîdértot' que l'air intérieur du tidie est pressé par Fair extérieur , dont la force élastique peut ^e conriF^^e co^W^ PQ^ oçaai8t0iBMte » et pfrJa petite colonne de merpur^ qui repose ^urune'surfâlce.inclinéeyet exei^ce Geforce .qui ddi^ étr0 pfi$e.po9itiv«X9ei^ou>négaitiTemebt9 seka Tincltnaison du tube, et qui devient nulle quand le tube est liorîr zontal. Otk' ]^ut ; rainger 'cette génération des. sections coniques parmi toutes celles que nous présente l'observation des phénomènes de la nature;