AC--B

et par conséquent, l'équation de la courbe devient

*y ~ cos. a' cos. * (B*— 4AC) ••••() Quant à l'angle des nouveaux axes , on a , en nommant cet an-

, , N tang. «'—tang. a. db \/W^TÂC

tang. 0 = tang. (a — a) = - = .

0 ° v ' 1 + tang. «tang.*' A-4-C

Cette transformation n'est possible , comme nous l'avons déjà vu, qu'autant que B3 — 4AC est plus grand que zéro; en outre, d'après la construction ci-dessus , cos. a et cos. ex! étant de même signe , le produit cos. a cos. a sera toujours positif; A est positif par hypothèse : par conséquent , dans l'équation (9) de la courbe, le produit des deux coordonnées sera toujours de même signe que F' , de sorte que si F' est positif, x , y devront être tous deux de même signe , et la courbe sera composée de deu* branches parfaitement égales et symétriques situées dans les angles Y'A'X', Y"A'X". Si au contraire F' était négatif, a? et y devraient être de signes contraires et la courbe serait située symétriquement dans les angles Y'A'X", Y"A'X'.

Dans l'angle Y'A'X', on devra prendre les deux cosinus positifs, ce qui donnera

cw.acos.<x=

l^l-Hang.V |/l-+-tang.?a Kl+tang.V4-tang.2a+tang.a<xtang.V 1 A

|/(tang.a'tang.a— l)a -+- (tang.a'-Mang.a)* ^(C— A)'-*-Ba

ce qui changera l'équation (9) en

•» kzk • • • • (,0)

valeur absolue , raais dont le signe serait incertain sans le raisonnement précédent. Cette équation se construit aisément, parce que #= ± r, y=:±r r, donnent deux points de la courbe, les deux sommets , et qu'on en trouve alors tant d'autres qu'on veut par le procédé connu.

Quand Ba — 4AC <o, ce qui suppose À et G de même signe, il faut recourir à une autre transformation qui consiste à rendre l'équation symétrique , en égalant les coefficiens des carrés x* et ya, et à faire disparaître le terme a?y. Pour cela, il faut poser dans l'équation (6),

2A sin. a sin. a'+B sin. a cos. a'+B sin. a. cos. <x'-t-2Ccos. a! cos.£=o ,

ce qui revient à faire

SA tang. a tang. a' -t- B(tang. a-i- tang. «') h-2C=o; (11)

et de plus , il faut que

A sin.a «'-4-B sin. «' cos. a! 4-Ccos.a a! =: G=G sin. Vh-G cos. V, Asin.a* -+-B sin.a cos. a H-Ccos.a* == G = G sin.V-f-Gcos.as •

d'où l'on tire

(A— G) tang.2 a! -♦- B tang. a! -*- C — G = o9

(A— G)tang.a* -*-Btang. *' + C — G=o; S * ' ^ Ainsi tang. a' et tang. a, sont les deux racines de l'équation B C— G

A— G A— G d'où

g rj r»

tang. a' -*- tang. a = .— - — - f tang. J tang. a = ;

MATHfaUTIQin BT MYSIQOE. 97

ces valeur» étant substituées dans l'équation (l 1), donnent