AC — B

~ 2(Ah-C)'

et l'éqaation de la courbe devient alors :

OQ

*"**y 4AC-B" r * ' * • C13>

II est bien facile de la construire, en inclinant les ordonnées du cercle dont le rayon estr, parallèlement aux nouveaux axes. Ayant construit G = a,^~*? , on s'en servira : 1° pour con-

struire r = » / — — , qui ne sera réel que quand

w „ CDa-+-AEa — BDE

F' = Fh

Ba— 4AC

sera négatif, c'est-à-dire de signe contraire à A et à C; 2° pour

trouver tang. *' et tang. *, en construisant les deux racines de

l'équation '

Il est bon de remarquer que dans l'ellipse représentée par l'équation (13) comme dans l'hyperbole représentée par l'équation (10) ,

tang, (*+*)ma— £^£î

mais dans la seconde ,

±|/B'-*AC Ung. (a -ce) 1-^

COS. («'—«)

Ton. X.

C0RBB8P0NDAHCE

et dans la première

tang. (a'- a) = db Aj^EEl

cos. (a' — a) =

A— ç -t-Ba

valeur inverse de celle qui convient à l'hyperbole.

Quand B' — -4AC = o, les termes en y' et x' ne peuvent plus s'évanouir à la fois, non plus que les termes en a/2 et y'% parce que l'on aurait tang. a! = tang. a, ce qui ne se peut ; voyons dans quel cas on pourrait les rendre symétriques par le simple changement des axes. Reprenons l'équation (1)

et faisons

hy % -f- B# y -*- C #* H- Dy -+- Ex -4- F =0 ;

y = y' sin. a' -4- a?' sin. « , x s= y' cos. «' -+- a?' cos. a ;

cette équation devient alors :

A «in* a' -f-Bsin ft'cos. a' -f-Ccos.3^

y/a-f-2A8in.a8in.a/ -+- Bsin.aco8.«' -h Bsin.o'cos.a -4-2Gco8.a/cos. a

«y-t-Asin.sa -t-Bsin.acos a +Cco8.aa

*'a-l-D sin. a' -I- E cos. a!

y'-+-Dsin.a +£cos. «

et il faut que l'on ait à la fois

Àsîn.VH-Bsîn.a'cos.a-f-Ccos.V==Asin.aa-f.Bsin.acos.a-+-Gcos.2a D sin . a! -*- E cos . «'== D sin . a. h- E cos. a. ;

ou bien , puisque B* — A AC = 0 ,

B A sin. a! H--— cos

Dsin. a! -+- Ecos

..«' = ±(A«n.« + |co...);| (lg) . a =s D sin. a -+- E cos. a. J

MATHÉMATIQCK ET PHYSIQUE. 90

Mais les formules connues de trigonométrie

cos. a — cos. a. == 2 sin. — — gm

sin. a' — sin. a = $ sin.

cos.

, . «.*'-*-* «' — « sin. a -t- 6in. a — 2 sin. cos. .

, « a- -\- a. *' — a cos. a -4- cos. a s= 2 cos. — cos. ,

donnent les relations suivantes :

cos. a — cos. a' «' -+. a

sin. a' — sin. et °" 2 *

et J . . . . (10)

sin. a,' -+- sin. a a' -*- *

; = tang. — - — ;

cos. a -+- cos. a 2

En vertu de ces équations , la première des équations (15) donne , en prenant le signe -+- ,

"B ang* 2

et en prenant te signe — ,

il - - <ang- — *

la seconde des équations (1S) donne

-«tang.-—

De là , on tire les deux équations de condition : 2AE— BD = o,