Ai

y' + Bi

tf'+Ài'

-f-Ba

-+-2Ca

-*-Bab

-+-Ca' -4-Ea

Pour faire disparaître les termes asymétriques qui renferment y' et x' à la première puissance , il faut poser

d'où

Bb •+- 2Ca ■+• E = o ; 2ÀE — BD

Ba — 4AC ' 2CD— BE

Ba — 4AC ' Cette transformation sera impossible si B3 — 4AC=o ; dans tout

autre cas, la courbe se troure ramenée à la forme Ay'a -4- B*y -^ Ca?/a -4- F' e= o .

L'on peut calculer facilement F' : en effet , si nous multiplions la première des équations (3) par h et la seconde par a , et que nous les ajoutions, nous aurons

D6+ Ea A&a-4-Bafc-*-Caa= —

Afca -♦- hab -^ Caa -♦- Db -4- Eo =

les deux équations (4) donnent

D& -+- Ea CDa -+- AEa — BED

donc enfin

CDa

B'— 4AC AEa — BDE

Ba— 4AC

Changeons maintenant la direction des axes au moyen des formules connues,

y' = y" sin. a! -\- %" sin. a ,

rf ss y" cos. a' -4- a?" cos. a ;

l'équation (5) devient alors :

Asin.a«' +Bsin. af cos. a' +Ccos.a «'

y"a-f-2Asin.a sin. a' -4- B sin. a cos. a!

-4- B sin. a' cos. a -4-2Ccos.a'cos.a

-4- B sin. a cos. * -4-Ccos.a a

Bo.(8)

Pour faire disparaître y"a et a?"% il faut poser

À sin.a «' •+• B sin. a' cos. a' -4- C cos.a a' == o ,

ou bien

À tang.a a' -4- B tang. «' -4- C = o , A tang.a * -4- B tang. a -4- C = 0;

i)4 CORRESPONDANCE

de sorte que a et a' sont les deux racines de l'équation

mr -+- —m -+- 7 = 0; A A

d'où

tang. a -+- tang. a = — -- , tang. a. tang. a =— ; B A

de plus, comme les deux racines de cette équation

— Brfcl/B3— |4AC

ne seront réelles qu'autant que Ba — 4AC sera positif et plus grand que zéro , ce n'est que dans ce dernier cas que la transformation dont nous parlons , pourra s'effectuer et que l'on réduira l'équation (1) à la forme

Wxy -*- F' = 0 - . (8)

On peut déterminer graphiquement la position des nouveaux axes. En effet , soit A' la nouvelle origine. Prenons sur l'horizontale passant par A' , une longueur A'K. = 2A et sur la verticale passant par K une autre longueur KH = B , et sur cette même verticale prenons à partir de H deux parties HG, HG' égales toutes deux à J/Ba — 4AC; en menant les droites A'G, A'G', ce seront les nouveaux axes des x et des y cherchés. Car on a

, r.,¥ KHh-H'G -Bq=t/B»-4AC tang. « = ~ tang. GAK = — ^ — = —

tang. J = — -

G'K — BzhV^B2 — 4AC.

Nous venons de voir que l'équation de la courbe est alors

B'sy + F' = o, tfy = — -;

mais

B'=cos. a! cos. «[21 A tang. a tang. a'-*- 6(tang. ol -+- tang. *') -*-2C]

= cos. a cos. a