SM

— t sin. A cos. (? h- A) sin. (A — jt) -4- a sin, A sin. (y-*- A) sin. (A — p.).

Changeant respectivement dans ces formules le signe de Ay nous aurons pour le passage inférieur direct

sin.2 i (A — fi.) .

— «sin, A cos. (? — a) sin, (A — ^,)

— a sin. A sin. (f — a) sin. (A — p,).

Et pour le passage inférieur par réflexion

sin.a i(h — ll,)

-h «sin. A cos. (? — A) sin. (A — p,) — a sin. A sin. (? — a) sic. (A — ^,).

Quand les observations de la polaire se font à une demi-heure de distance du méridien , les termes en i ou en a n'excèdent pas 0",8 entre les latitudes de 30° et 60°, en supposant « ou a = 100". Il est donc démontré que si le cercle est placé avec des erreurs qui n'excèdent pas 2" ou 3", ce qui est facile à obtenir, on peut négliger avec toute assurance les termes dépendant de l'azimut et de l'inclinaison.

Le triangle dont j'ai fait usage , a été employé , par Bessel, pour réduire les observations lunaires; et il me donna l'idée en 1830^ de me préparer pour observer à San-Fernando différentes séries de distances polaires de a de la petite ourse, et toujours directement et par réflexion , à un même passage

supérieur ou inférieur, pour obtenir, dans un intervalle de 13 heures, la latitude, indépendamment de la déclinaison donnée par les catalogues. Comme le cercle mural de Londres n'arrivait pas, je me livrai à ces recherches pour assurer le succès de mes observations, quand arriverait l'instant d'en faire usage* Depuis qu'on a placé le cercle, en 1835, on a commencé et continué les observations dont il vient d'être parlé ; et je vous assure avec la plus grande sincérité que j'ai éprouvé une vive satisfaction de voir par votre Mémoire de 1835 (sur la latitude de Bruxelles), qu'un procédé de l'exactitude duquel j'aurais pu me défier, vous était aussi venu à la pensée (1.

Il reste à chercher la correction que l'on doit appliquer a la lecture du cercle pour le manque d'horizontalité du fil ; et pour cela , je suppose, comme toujours , que toutes les autres erreurs sont nulles.

Soient donc , fig. 4 , P le pôle nord , G le lieu de l'étoile avant d'arriver au méridien PN , NC la position du fil s'il était parfaitement horizontal , NB la position fautive du même fil ; par conséquent BNG s= I a l'inclinaison (positive quand le fil s'éloigne du pôle dans sa partie orientale).

Il est clair que l'observateur devra mouvoir le cercle jusqu'à ce que le fil rencontre l'étoile en C; cependant le fil prendra la position MC parallèle à NB; la lecture sera PM, et pour obtenir ce qu'elle devrait être PN , il faudra ajouter l'arc MN.

Pour calculer MN , on a

sin. NC =s sin. PC sin. P= sin. A sin. (p — h) Œ — sin. A sin. (h — p.)

tan&* MN tang. correction

sin. NC = — — = •

tang. MCN tang. I

l) Voyez pour les détails de ce procédé et des résultats qu'il a présentés le tom. X des Nouveaux Mémoires de V Académie Royale de Bruxelles , et la 2« partie du tom. Ier des Annales do l'Observatoire. A. Q.

200 CORBRSPOirDANCI

On voit facilement 1° que cette correction conserve le même signe pour toutes les observations faites d'un même côté du méridien , soit directement , soit par réflexion , d'un passage supérieur ou inférieur; parce que son effet est le même que si on élevait ou si l'on abaissait à chaque observation un fil qui serait parfaitement horizontal , et que l'altération fût la même pour un même angle horaire ; 2* que la correction change de signe avec l'angle horaire ; 3° qu'à 30' d'angle horaire pour la polaire , la correction sera de 1 " en distance polaire , si I = 0°4' environ ; 4° que la correction est presque proportionnelle à l'angle horaire.

Ces dernières considérations ne doivent pas porter à resserrer l'intervalle des observations , parce qu'il est clair que si on les fait en même nombre et avec de mêmes angles horaires avant et après le passage , l'erreur disparaîtra sur la moyenne. Mais quoi* qu'il soit moralement impossible de conserver la seconde de ces deux conditions, si on a égard à la première, le résultat sera à peu près exempt d'erreur.

Nonobstant il convient de se prémunir contre la petite erreur qui pourrait rester, parce que ces petites quantités sont de celles qui , selon l'expression de Delambre , font le tourment des astro- . nomes. Pour cela , à chaque lecture après la réduction au méridien par la formule

^ Bin.'i(A — *)

sin. 1'

sin. 2a ,

on ajoutera une indéterminée =p p" 1 , dans laquelle p" est une quantité connue de secondes du cercle = 1",64 X sin. (h — fc) quand il s'agit de l'étoile polaire, en supposant l'inconnue I comptée en minutes d'arcs et en se servant du

supérieur avant ) .

signe infëricur a rès } la culmmation. En un quart d'heure , on peut former une table pour ainsi dire perpétuelle qui donne la valeur de p" pour chaque minute de temps de la valeur h — p depuis 1 minute jusqu'à 30', et cette table affranchit de tout calcul.

■ATHtlATIQUK ET WTSfQOK. KM

De plus il convient , pour détruire convenablement l'effet de l'inclinaison de I :

1° De faire un même nombre d observations directes et par réflexion , à chaque passage , et de chaque côté du méridien ;

2* De faire que les observations directes de chaque côté soient approchant à égale distance du méridien, et de même pour les observations par réflexion ;

3° Si au passage supérieur on commence à observer directement , de commencer au passage inférieur à observer par ré* flexion; et vice versa;

4° De conserver, dans tous les cas et dans toutes les expressions des distances polaires qui ont pour objet des déterminations de hauteurs et de latitudes , la partie indéterminée dépendante de 1, telle que Ta donnée le calcul , ce qui formera en latitude un coefficient très-petit.

Gomme on ne peut corriger l'inclinaison de Taxe de rotation du cercle mural au moyen du niveau , ni la collimation en azimut au moyen du retournement; je me suis servi, dans mon observatoire , de méthodes purement astronomiques pour déterminer les trois quantités i\ c,a, et pour les réduire à une valeur tout-à-fait négligeable. Si vous désirez savoir comment j'ai procédé , vous pourrez vous assurer de l'exactitude qu'offre la méthode, etc.

Autre note sur la réduction au méridien, en faisant usage du cercle mural, par M. Cebquero(].

La distance polaire observée hors du méridien par un cercle

') La réduction au méridien, en se servant du cercle mural, ne se fait pas de la même manière que quand on fait usage du cercle répétiteur dont le limbe se déplace des deux côtés du méridien. Dans ce dernier cas , le fil horizontal de la lunette est perpendiculaire au vertical de l'étoile et non au méridien. Cependant quand les observations ne sont faites' qu'à de petites distances du méridien , les erreurs calculées selon les deux méthodes diffèrent très-peu et Ton peut substituer sans danger Tune a l'autre.

902 COMKSPOItDAltCK

mural, est le coté d'an triangle sphérique rectangle dont Fhypothénuse est la distance polaire que Ton eût observée dans le méridien. Si nous appelons a' là première et a la seconde, et que nous désignons par h l'angle horaire , nous aurons

tang. A cos. A = tang. a'

tang. A — tang. A' = 2 tang. A sin. a i A

Prenant les différences comme différentielles , on a

dA" 2 tang. A

cos.a A sin. r

sin.9 i h

et par conséquent la correction en secondes que l'on devra faire à a' pour obtenir A , est

sin.3 i h d&" = 2 tang. A cos.3 A — — — sin. 1

ou bien;

sin.7 £ h correction = sin. 2a.

sin,

Cela suppose l'instrument vertical et placé dans le méridien; ou au moins avec une inclinaison ou un azimut qui n'aillent pas au delà d'une minute en arc.

Extrait d'une 2e lettre de M. José Sawchez Cebqubro, sur une démonstration nouvelle du développement du binôme.

Paris , le 8 décembre 1887.

Si l'on indique en général par S(n) la somme de n termes d'une

progression par quotiens qui commence par l'unité , et dont la

raison = tf , on sait que

■ATHtMATIQUB BT FBYSIQIJB. 203

partant