OUVRAGES NOUVEAUX

Berliner astronomisches jahrbuch fur 1889, Annuaire astronomique de Berlin , publié par J.-F. Encke, Berlin , 1 vol. in-o°,

Jaerboekje over 1837, Annuaire de 1837, publié par Lobatto, 1 vol. in-12, à La Haye, imprimerie de l'État, 1837.

Annuaire de l'Observatoire de Bruxelles pour Tan 1838, in- 18, Bruxelles, chez Tircber, 1837.

La réputation de l'annuaire de Berlin est faite depuis longtemps; ce recueil , publié d'abord par l'astronome Bode, s'adresse aujourd'hui bien moins aux amateurs d'astronomie qu'aux véritables astronomes qui y trouvent des tables étendues des mouvemens des astres , calculées avec la précision qui caractérise le savant distingué qui préside à sa rédaction. On trouve à la fin de l'ouvrage un mémoire très - intéressant sur les constantes pour Berlin , ou sur les données physiques et astronomiques qui appartiennent à cette localité.

Les deux autres annuaires, rédigés à peu près sur le plan de l'annuaire de France, leur aîné, sont plus spécialement destinés aux gens du monde. M. Lobatto a enrichi son recueil d'une notice sur le magnétisme terrestre et sur les travaux de l'associa* tion magnétique de Gœttingue. L'auteur, dont le zèle pour l'avancement des sciences mathématiques ne se ralentit pas, vient de publier encore, à Amsterdam, sous format in-4° et chez Sulpke , un recueil de mémoires dont nous nous bornerons à donner les titres.

Mémoire sur la théorie des caractéristiques 9 employées dans V analyse mathématique.

Mémoire sur V intégration des équations linéaires aux différent tielles partielles et aux différences finies.

Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles à trois variables.

M. Lobatto avait déjà publié , en 1823 , un autre recueil de Mélanges mathématiques dont il a été parlé dans ce recueil.

Mémoires de l'Académie royale de Bruxelles , tom. X des . Mémoires des membres, et tom. XI et XII des Mémoires couronnés, in-4°, chez Hayez, 1837.

Bulletins de l'Académie royale de Bruxelles, tom. IV, in-8°, chez Hayez.

MATHÉMATIQUE 1T PBY81QCJB. 225

Annuaire de F Académie royale de Bruxelles, pour 1838, in- 18, chez Hayez , 1837.

L'académie royale de Bruxelles continue avec activité ses travaux et la publication de leurs résultats. Elle a été une des premières sociétés savantes à donner immédiatement après chacune de ses séances et sous forme de Bulletin, un aperçu des communications et des lectures qui y étaient faites. L'ensemble de ces bulletins forme annuellement un fort volume in-8°, avec planches. Les mémoires de quelqu'étendue sont plus particulièrement réservés aux Mémoires des membres, qui se publient sous le format in-4° ; il en paraît à peu près régulièrement un volume par an , depuis que l'académie peut disposer de plus de moyens pour ses impressions. Le 10' volume qui a été publié en 1837, contient les ouvrages suivans :

Classe des sciences. — Sur l'équilibre d'un corps solide suspendu à un cordon flexible , par M. Pagani. — Sur la latitude de l'observatoire de Bruxelles , par M. Quetelet. — Sur les variations de la température de la terre , par le même. — Sur la météorologie , par le même. — Sur le même sujet, par M. Crahay. — Sur les instans du maximum et du minimum de hauteur diurne du baromètre , par le même» — Sur la théorie électrochimique de l'affinité et la composition moléculaire des corps , par <M. Martens. — Sur les composés décolorans du chlore , par le même. — Monographie des braconides de Belgique, par M. TYesmaeL — Sur un poisson nouveau, par M. Càntraine, — Sur les évolutions de l'embryon dans les mollusques gastéropodes, par M. Dumortier.

Classe de» lettres. — Sur la ville et le port d'Ostende , par M» Belpaire. — Sur un manuscrit de Li Muisis, par M. De Gerlache. — Sur les deux premiers siècles de l'université de Louvain , par M. De Reiffenberg. — Sur Rubens , par le même.

Mémoires des correspondons de V académie. — Sur divers points obscurs de l'histoire de l'ancienne Rome , par M. Roulez. — Sur le mythe de Dédale, par le même. — Sur l'appareil costal des Batraciens , par M. Morren. — Sur trois intégrales définies, par M. Plana.

Tom. X. 15

226 COERESrONBABC*

La collection des Mémoires couronnée, commencée depuis la réorganisation de l'académie en 1816 , se compose actuellement de 1S volâmes. Les deux derniers ont paru pendant le courant de 1837 ; le 11e contient le beau travail de M. Chastes $ur l'origine et le développement des méthodes géométrique*; on peut voir ce qui en a été dit au commencement de cette livraison de la Correspondance Mathématique. Le 12° volume renferme les ouvrages dont les titres suivent :

Mémoire sur l'épuisement des eaux dans les mines , par M. De* vaux 9 ingénieur des mines à Liège, 1835»

Recherches anatomiques et physiologiques sur la garance , par M. J. Decaisne , aide naturaliste au Muséum de Paris , 1836.

Mémoire sur la constitution géognostique de la province du Brabant, par M. H. Goleotti, 1835.

Mémoire sur les documens du moyen âge relatifs à la Belgique avant et pendant la domination romaine, par A.-G.-B* Schayes,

Depuis l'année 1834 , l'académie fait aussi paraître régulière* ment un Annuaire, Cet opuscule contient , outre le règlement organique et tous les documens qui se rapportent à la composition de l'académie , des notices nécrologiques sur les savans qui ont appartenu à ce corps , soit comme membres , soit comme correspondans»

Traité de météorologie ou physique du globe, par J. Garnie*, 1 vol. in-8°. Société belge de librairie, 1837.

La météorologie est une des branches des sciences qui ont toujours le plus vivement excité la curiosité du vulgaire ; et il est assez facile de saisir la cause de cette prédilection , qni n'est paa tout-à-fait désintéressée. Nous sommes en effet constamment sous l'influence des phénomènes qui modifient l'état de l'atmosphère dans laquelle nous sommes plongés. S'il survient quelqu'anomalie dans les températures , dans la pression de l'air ou, dans son état hygrométrique, on voit le vulgaire s'alarmer, chercher à apprécier les conséquences qui doivent en résulter pour lui, soit immédiatement, soit d'une manière indirecte; il

SATHZXATIQSB IT FlTSlQUfc. 227

semble même qu'aux connaissances en météorologie se rattache quelque chose de mystérieux et de surnature).

Avec une pareille tendance de la part du publie, il estasses remarquable que les écrivains qui épient ses goûts et exploitent sa curiosité , n'aient pas multiplié les traités de météorologie; car la science a aussi ses romans et ses modes* En attendant que les faiseurs viennent 9 avec leur imagination féconde, explorer cette mine pour ainsi dire vierge, peu de savans se sont occupés d'énumérer les matériaux qu'elle renferme et dont on peut déjà faire usage. Les physiciens français ont en général classé la roé» téorologie , en forme d'appendice , à la suite des traités de physique; il n'en est guère qui se soient occupés spécialement de cette branche des connaissances humaines, excepté dans, les collections des résumés et des manuels qui, dans ces derniers temps , ont fait une invasion véritablement épidémique, invasion assez fatale aux vrais intérêts de la science.

Ce reproche pris d'une manière générale serait cependant injuste, car il existe, surtout chez nos voisins, de bons traités de météorologie , et nous citerons en particulier celui du professeur Kœmtz l , qui est précieux par le grand nombre de renseignemens utiles qu'il renferme. Nous regrettons que M. Garnier, en composant son ouvrage , n'en ait pas eu connaissance , sans doute à cause de sa publication récente; il aurait pu y puiser avec beaucoup d'avantages.

Le traité de météorologie ou physique du globe , publié par le savant auteur de l'ouvrage des réciproques de la géométrie, remplit on peut dire une lacune qui se trouvait dans l'ensemble des ouvrages français écrits sur les sciences. M. Garnier a présenté avec beaucoup d'impartialité les documens épars qu'il a recueillis sur la météorologie. Il les a classés avec une sage réserve et sans s'engager dans des discussions systématiques. II produit en quelque sorte un inventaire de l'état actuel de la science , et met

!) Lehrbùch der météorologie von L F. Kœmtz , 3 vol in-8«, Halle, 1831-32 et 36.

228 COttRESPOKDAHCE

en ordre les matériaux de l'édifice , en laissant à d'autres mains le soin de le construire. Son ouvrage est divisé en 18 chapitres dont nous nous bornerons à indiquer sommairement le contenu.

Dans son premier chapitre , l'auteur expose l'état des connaissances actuelles sur les températures de la terre , de l'air et des espaces planétaires. Les deux chapitres qui suivent concernent le baromètre et ses usages , soit pour apprécier les variations des pressions atmosphériques , soit pour mesurer les hauteurs. La mer, sa phosphorescence, sa température, etc., font le sujet du •4° chapitre. Les cinq chapitres suivans contiennent ce qui se rapporte aux vents , à l'électricité atmosphérique , à la rosée , à la nature des nuages, et à l'état hygrométrique de l'air. Les chapitres X , XI et XII traitent des trombes de terre et de mer, des météores solides , mous ou ignés et des étoiles filantes» Dans le reste de l'ouvrage , l'auteur examine successivement les phénomènes lumineux tels que les parhélies , les parasélènes , les halos , les arcs-en-ciel , le mirage , l'aurore boréale , la lumière zodiacale , etc.

L'ouvrage de M. Garnier sera particulièrement utile aux gens du monde , qui pourront y acquérir des notions claires et nettement développées sur les divers phénomènes météorologiques qui occupent habituellement le plus leur attention.

Recherches sur les lois du magnétisme terrestre, par G.- A. Morlet. Paris, chez Anselin , in-4° , 85 pages , 1837.

M. Morlet , connu depuis long-temps par ses savantes recherches sur le magnétisme du globe, a eu pour objet, dans ce nouveau travail, de déduire des résultats obtenus dans les deux mémoires qu'il a publiés précédemment , des lois générales et des formules qui puissent représenter numériquement les observations magnétiques.

HATHftHATIQOS KT PHYSIQUE. 229

Essai analytique et géométrique, par Mtchel Rbiss, docteur en philosophie de l'université de Gœttingue.

Parmi les différentes espèces de fonctions symétriques formées avec un certain nombre de quantités quelconques , il en existe une qui me paraît présenter de grands avantages , soit pour la théorie des équations, soit pour la géométrie analytique. J'ai déjà publié ailleurs (Corresp. Mathèm^ publiée par M. Quetelet, tom. V, pag. 201), la formation de ces fonctions , et j'ai donné dans le même endroit plusieurs théorèmes qui les concernent et qui ne formaient que la base d'un travail de plus longue portée. Mais je m'aperçus bientôt, et plusieurs savans me l'ont fait remarquer, que ces recherches , fussent-elles très-fécondes en résultats élégan s, étaient trop abstraites pour intéresser le public qui n'apprécie les théories que selon le degré de leur utilité. J'ai donc tâché de montrer, par un exemple , de quelle manière on peut se servir de ces fonctions dans la géométrie analytique; et j'ai choisi le tétraèdre qui, par le concours de plusieurs circonstances qu'on aura occasion de reconnaître plus tard, permettait une application très-facile et presque immédiate des premières conséquences auxquelles j'étais parvenu.

L'essai que j'offre ici au lecteur contiendra par conséquent deux parties bien différentes. Dans le premier paragraphe , on trouvera à côté de l'explication des fonctions mentionnées et de trois théorèmes fondamentaux empruntés au Mémoire cité, l'énoncé de plusieurs propriétés qui dérivent de ces théorèmes, et dont la connaissance est indispensable pour l'entendement de la partie géométrique de ce Mémoire. Je dois ajouter que ce paragraphe n'est rien moins que complet ; il y a beaucoup de propositions qui trouveraient naturellement leur place à côté de celles qu'il renferme , et ces dernières elles-mêmes sont bien loin d être exprimées sous leur forme la plus générale. Mais on voudra bien remarquer que je n'y avais en vue que de préparer les paragraphes suivans; et mon but serait complètement atteint si ces Toi. X. 16

recherches plus ou moins aphoristiques pouvaient faire désirer une théorie complète de ce genre de calcul.

Quant à la seconde partie de ce Mémoire , il n'est pas nécessaire d'insister sur l'utilité de la recherche du tétraèdre qui est , pour la géométrie des solides , de la même importance que le triangle plan pour la planimétrie. Les questions que j'ai traitées au troisième paragraphe pourraient bien être neuves ; du moins elles n'ont rien de commun avec les travaux sur le tétraèdre qui sont parvenus à ma connaissance , et dont les plus importans sont : le Mémoire de Carnot (Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans V espace y etc.), et celui de Lagrange (Mémoires de V Académie de Berlin, 1773, pag. 149). Je citerai encore les Propositions neuves, et non moins utiles que curieuses, etc. , de l'abbé De Gua (Mémoires de l'Académie des Sciences, 1786, pag. 363), et les Mémoires de MM. Poinsot et Cauchy (Journal de V École Polytechnique , dixième cahier du tom. IV, et sixième cahier du tom. IX).

L'excellent opuscule de Lagrange contient des recherches sur le volume du tétraèdre, les aires des faces, les rayons des sphères circonscrites et inscrites, sur la position des centres de ces sphères , du centre de gravité , etc. Les sommets du tétraèdre y sont rapportés à trois axes rectangulaires entre eux, et se coupant dans un des sommets , de sorte qu'on n'a à considérer que les neuf coordonnées de trois points. Cette circonstance a amené l'auteur à établir les relations qui existent entre certaines fonctions formées avec neuf quantités quelconques. On peut remarquer l'analogie de ces recherches avec celles du premier paragraphe de cet essai. En effet, mon but étant d'établir les relations d'un nombre quelconque de quantités combinées sous certaines formes, on comprend aisément que les relations de neu/quantités doivent y être comprises comme des cas particuliers. C'est aussi ce qu'on pourra constater par les notes, où j'ai soigneusement indiqué toutes les formules qui ont déjà été établies par Lagrange , quoique sous une forme bien différente.

5 L Définition et propriétés d'une certaine classe de fonctions» I. Soient

a a a abc.

0 J3 fi abc.

fi . . r

abc.

J if * abc.

« groupes dont chacun contienne n quantités ou élémens quelconques. Distinguons les signes a, b, c,*.. r, et a1 fi, y,... /?, par les noms de fases et d'exposans, et désignons par les échelles

^a b c . . . r\ fa fi y . . , p\ K 1 2 3 . . . n) f V. 1 2 3 ... ny

Tordre suivant lequel ces signes sont rangés dans les colonnes horizontales et verticales. Les fonctions dont nous avons à nous occuper dans ce paragraphe , concernent l'assemblage des produits à n facteurs formés avec les élémens des n groupes , mais de telle sorte que chaque produit contienne toutes les bases et tous les exposans. Le premier de ces produits sera donc

a fi y p

Pour parvenir à tous les produits semblables possibles, on peut suivre deux chemins différons :

1<> On peut faire, suivant la règle ordinaire, toutes les/wmutations des n exposans , et les substituer successivement dans le produit a* tfi c?i.. r9f au lieu de a , fi , y ,... p ; savoir le premier exposant de chaque coroplexion à a , le second à fi , etc.

2° On peut faire toutes les permutations des » bases , et les substituer successivement dans le produit a* b& c'y.... rP , au lieu de a , à, c,... r, d'une manière analogue à celle qui a Heu pour les exposans.

Dans le premier cas ce sont les bases , et dans le second les exposans qui occupent le même rang dans tous les produits. Quoique l'ordre dans lequel les produits se suivent soit différent (à partir des quatrièmes produits), selon qu'on emploie la première ou la seconde méthode de formation , il est évident que tous les produits possibles résultent aussi bien de l'une que de l'autre, et qu'en général le m™ produit qu'on obtient en se servant de la première méthode sera égal au p™ que nous fournit la seconde. Du reste le nombre des produits est égal au nombre des permutations de » élémens = 1. 2. 3... ».

Supposons donc qu'on ait suivi la première méthode; donnons au produit aa b@ c*Y . . . rP , le signe (-h), et déterminons le signe du M™f produit (soit M) de la manière suivante. Le nombre M sera renfermé entre les produits 1. 2. 3. . . / et 1. 2. 3. . . /(/ -4- 1); soit M = m -+- X X 1.2.3.../, de sorte que A. < / -+- 1 ; m > o et < 1 + 1. 2. 3. . . /. Gela étant, faisons M = m ( — 1 )*. Or, le signe du t»™J produit , ou m , se déterminera d'une manière semblable; mais, puisque m < M, on voit facilement qu'on remontera de cette manière au signe du premier produit qui est (-+-) ; partant, les signes de tous les produits seront déterminés. Désignons la somme algébrique de tous ces produits par

(abc. . . . r , afry. . . . p) ;

en écrivant les bases à gauche , et en les séparant des exposans par une virgule. Le tiret sur a , 0 , ?,... p , indique que ce sont les exposans dont il faut faire les permutations. Si l'on fait , au contraire, les permutations des bases, c'est-à-dire, si l'on suit la marche de la seconde méthode , on parviendra à une expression que je désignerai par

{abc. . . r, a&y. . • p).

Soit , par exemple n = 3,«=l,/3c=2, r= 3 ; nous trouverons (abc , 123) =

a\&V a«£3c* __ a^'cS + a^3c« + 0Sfc«c« a3$v. (i

2. Ces fonctions possèdent des propriétés qui méritent d'être sérieusement étudiées. Il y en a quatre que j'ai nommées fondamentales , parce qu'en effet elles sont la clef de toutes les autres. Je n'en considérerai ici que trois qui suffiront pour les recherches suivantes.

Portons notre attention d'abord , seulement sur la fonction (abc.,, r, <x/3y... p). Si l'on se représente la manière dont on fait les permutations des n élémens a, 0, y,... />, on verra qu'à partir de la première, il y aura 1. 2. 3... (n — 1) complexions qui commencent par a, et que, si Ton sépare cet élément par un trait vertical des autres, on aura à droite toutes les permutations des élémens /3, y,,., p. Les 1. 2. 3... (n — 1) premiers termes de (abc... r, <x/3y... p) commencent donc tous par a*, et puisque les signes de ces termes sont déterminés d'après la manière exposée plus haut , on trouvera leur somme = aa Qbc... r , /3y,.« p).

Or, les 1. 2. 3... (n — 1) complexions suivantes des permutations de a , /3, y,... p commenceront toutes par /3 , et contiendront successivement à gauche de cet élément toutes les permutations de «, y,... p. Ainsi donc, les 1. 2. 3... (n — 1) termes de (abc... r , afry... p) qui en suivent les 1. 2. 3... (n — 1) premiers commenceront tous par a&. De plus, pour ce qui est des signes

i) Le mémoire de Lagrange contient de» relation* entre le* coordonnée* s, ys z, s', y', *'; x", y", z" de trois points. Si Ton remplace ces signes respectivement par a1, o1, o1 ; a3, ô2, c3; a5, 63, c3, il est visible que la quantité que Lagrange a nommée -^ n'est autre chose que (abc, 123) j on se persuadera de même que les quantités £, £', £ ', y , if', ... reviennent à H- (&c,23), — (ftc,"Ï3) , -f- (bc ,12) , — (ac,23)*, -+- (oejÏÏT) , etc.

des termes de ce second groupe , ou aura ici/=n — 1,A=1 (voyez \es dénominations précédentes); par conséquent le signe de chaque terme sera contraire à celui du terme correspondant du premier groupe , et Ton trouvera la somme des termes du second groupe = — a$ (&c... r , «y.., p). Si l'on poursuit ces raisonnemens , on parvient sans peine au théorème suivant : Théorème I. — Soient les échelles

(abcd. . . 'kkk'. . ,r\ fa&y*. . .'xxx'.. . p\ 1234... 'kkk'... #J Ct (,1234... 'kkk'... #J 5

on aura généralement

(abc.r, a$y. . . p) =2

a (bc...r, fry<r...p) — ol(6c...r, ay#...p) -+- a?(bc...r, a(&...p) =F ... -»- (— l)k4*! a*(bc...r, afiyJ...,xx\..p)=p...

Il est visible qu'on parviendra d'une manière analogue à

(abc...r9 afiy...p) =

aa (bcd...r, fry...p) — ba {acd...r, fry*»p) -*-* c* (abd...ri 0y...p)

=F...-*-(— l)**"1 ka(abcd...'kk'...r. 0y.../>) =F*.

3. Envisageons maintenant la fonction (abc... r , afry... p) et le développement que nous venons d'en trouver. Les fonctions (bcd... r, fryf... p), (bcd... r, aryê... />),... peuvent être développées de leur côté de la manière suivante :

(fccd...r, Pryê...p)=\P(cd.,.r, y+.„p) — W (cd...r , &<?... p) :£...

bod..,r, ayj.„p)= ba (cd..tr, yf...p) — i^(crf...r, af...p) ±.

Si nous substituons ces valeurs dans le premier développement de (abc... r , affy... p) , les deux bases a et b se trouveront isolées , et si nous rangeons les termes suivant ÏP , b& ,... nous trouverons (abc... r9afiy... p) =

ba [— a& (cd...r, y<fc../>) h- a> (crf...r, 0f...p) q=...]

-4- £0 [-f- aa (cd...r, <yà...p) — a* (cd...r, af...p) d=...]

-4- &rl— «* (cd...r, fte...p) — o^ (c<*...r, ^7!7) qF-] etc., etc.

= — lP(acd...rf /3y«fc../») -+- bP(acd...r,ay<?...p)

— br(acd...r, a^.,/j) d= (a)

Mais cette dernière expression est , en vertu du théorème I , -- (bacd... r,«/3y... p); c'est-à-dire qu'on aura

(abc.r, afiy...p) = — (bac.r, <x/^.../>). On aura donc aussi , par analogie

(acd. . .r, fryf. ../>) = — (cad. . .r, fryf. ..p)- (acd. . . r, «y <J*. . .p) = — (corf. . .r, «y cf. . ./>) 5

et ainsi de suite. L'expression (a) ou' le second développement de (abc... r , a0y... f) , se change donc en

(abc.r 9 afry...p) = -*- ba (cad...r, &y<?...p)

— br(cad...r9 <x?"<J.../>) -*- W(cad...r9 afi<f...p) zp... sas -f- (bcad.. .r,afiy...p) cas — (c6aci. . .r9afry. • ./?)

= — ca(bad...r9fiy...p) -+- c^ (bad...r, œy<t...p)

— cV\bad...ry a$£...p) ±...

= -*- (^(flW. . .r,fry...p) — c# (aM. , .r, âyZTT) -f- cy(aW„.f, ctfry...p) =p...

= -4- (caiM...r, a0y...^).

Si Ton continue ces développemens , on parviendra à l'équation plus générale , que voici :

(abc.r, afry...o) — (— l)k+! (kabc.'kk'...r, aPy..-.p). Nous établirons aussi d'une manière analogue

(abc.r. a&y...p) = (— 1 j*+l (abc.r, xx$...'Kx\..p). 4. Théorème II. — On a généralement

(abc.r, a(2<y...p) = (abc.r, a&y...p).

D'abord nous avons

(ab , 1$) = a* bQ — a/3 b* ; et (aT, *0) = aabP — b*a&; par conséquent

(ab, !£) == (al, *&).

Pour démontrer notre théorème , il suffira donc de faire voir que, supposant qu'il soit vrai pour (n — 1) bases, et (n — 1) exposans , il le sera aussi pour n bases et n exposans. Or, si nous isolons dans (abc. r , <%/3>... p) d'après l'article précédent successivement toutes les bases, nous trouverons (abc. r , a&y... p)

= oflC(6c...r,/3y.../3)=p...-H(--l)k+l a* (ic...r,43...'x*'...f)=F-

= — J&*(ac...r,j3y.../?)zb...-- (—l^bK(ac,r,a0...,KK...p)ài.

«=(— l)k-M ** (ai... W...r, £>.../>) =f ...

Nous parvenons de cette manière à n différentes expressions. Si nous en faisons la somme et que nous nous rappelions que d'après la supposition

(bc.r,P<y...p) = (bc.r,0%..p);

(ac. .r, /3y.../>) = (oc.r, /3y.../>) ; et ainsi de suite , il est visible que la somme des termes contenu»

dans chaque colonne verticale = {abc... r, a/3 y.., p). Mais puisqu'il y a évidemment n colonnes verticales, et que chaque colonne horizontale est séparément = (abc... r, a&y... p)9 nous tomberons sur

n X (abc...r,et&y...p)ss=.n X (abc...f, ct(Sy...p) , ou

(abc...rla&y...p) = (abc.r, aPy...p).

On peut donc sans inconvénient supprimer le tiret.

B. Théorème III. — S'il y a dans la fonction (abc. . . r , «0y. . . p) deux bases ou exposans identiques y de telle sorte qu'on ait , par exemple a* = &*, a# = j£, <*r os fer, etc., ou a* *= a& , b*s=:bl*, c* = cP, etc. On aura

Supposons que ce soient deux bases qui sont identiques ; si ce ne sont pas les deux premières (a et b), on pourra toujours établir une fonction semblable à (abc... r, afiy... p) qui possède les deux bases identiques en tète , et les autres bases dans l'ordre indiqué par les échelles. Or , d'après l'art* 3 , une telle fonction doit être égale à (abc... r, afiy... />), au signe près. Il suffira donc de démontrer que , a et b étant identiques , on a (abc...r, ctfiy... p) = o*

D'abord nous avons

(abc... r9 a&y... p) as — (bac... r9 afiy... />);

mais puisque a et b sont identiques , on pourra remplacer l'un de ces signes par l'autre , ce qui nous donne

(aac... r , afry... p) = — (aac... r, afry... p) 5

d'où l'on conclut immédiatement

(aac... r, afiy... p) = 0.

Un raisonnement semblable nous donnerait

(abc.»» r, oLay... p) = 0.

Cette propriété est de la plus grande importance dans ces sortes de recherches; il est bon de se familiariser arec toutes les formes sons lesquelles elle peut se présenter. Nous trouverons , par exemple ,

o = (aab , 123) = a1 (ai, 23) — aa (ab, 13) + a3 ( ai, 12) ; o = (abc, 112)=: a1 (fcc, 12) — bl (ac, 12) -f- c1 (ab, 12),

La fonction o1 (ab, 23) — a3 (ab, 13) pourra donc être remplacée par — a3 (ab , 12) ; la fonction a1 (bc , 12) — bl (ac , 12) par — cl (ab , 12), et ainsi de suite. Des substitutions de cette nature se présenteront très-souvent dans la suite , sans qu'on revienne toujours sur le développement qui autorise à les admettre (*.

6. L'application la plus immédiate de ces propriétés fondamentales , ou plutôt , si l'on peut s'exprimer ainsi , leur élément le plus familier, c'est l'élimination de v quantités renfermées en v équations. Laissant de côté tout ce qui a rapport aux équations supérieures , je me bornerai ici à résoudre la question la plus générale relativement aux équations du premier degré; savoir: de trouver les v quantités A., B, C,... N, données par les équations

o = o'A + blB h- c'C -+- ... -f- n'N h- ps , o sa aaÀ + £aB + caC -*- ... -*- naN -h f, o « a8A -h fc'B h- c*C -h ... -♦- n3N -*- p3,

!) Si nous isolons en [abc, 123) successivement toutes les bases, et en (aab, 123), [aa*, 123), («M , 123), (bbc, 123), (ace, 123), (foc, 123) les bases identiques, et que nous fassions les substitutions indiquées dans la première note, nous trouverons les neuf premières équations de l'art. 7 du mémoire de La grange (p. 163). Les neuf autres équations résulteraient de Tisolement successif de tous les exposans en (abc, 123), et de l'isolement des exposans identiques en (abc , 112), {abc, 113), (abc, 122), (abc, 223), (afle, 133), (abc, 233).

a1, blj c1,... p\ etc., désignant des quantité» connues. Si nous multiplions la première de ces équations par (fcc... «, 23... e); la seconde par — (bc... n , 13... t?) ; la troisième par -*- (te... «, 124... t?)9 et ainsi de suite, et que nous fassions la somme de toutes les équations ainsi multipliées , nous trouverons le coefficient de A =

a>(&c...«y23...e) — a* (fcc...n, 13.. .v) + a3 (&o...n, 124... t?) 7 ... 5=a(afcc...n, 123... 9).

De plus nous trouverons le coefficient de B =

b> (bc...n, 23... v) — Z>5(fcc... n, 13... t?) -4. fc3(/bc... n, 124 ...9) =p ... 8= (bbc... n, 123... e) = o*

Si Ton continue de cette manière , on verra que les coefficiens de C, D,... N s'évanouissent également; mais la constante deviendra

/>I(6c...n,23...i?) — j>a (bc.„nf 13.. . v) -+-p3 (bc...n9 124... t?)qp... = (j>Z>c...n, 123... v).

Nous aboutirons donc à

o = (a£c...n, 123... t?) A h- (/>Ac...fi, 123.. .©);

d'où nous tirons

(pbc...n, 123... f? ) (aàc.n, 123... v)

Il n'y a pas de doute que de cette expression on tirera la valeur de B , en y échangeant b contre a , ce qui nous donne

(/Mic...n,123...0) (pac.n, 123... v )

|J SES — — ■" ' ■ " ' ■ ■ ■ BS -|- <■■ ■ 1 1 ' •

(bac.n, 123... v) (abc... n,123...v)

D'une manière semblable on établirait des équations pour chacune des autres inconnues, C , D... N. Les équations du premier degré se trouvent donc résolues de la manière la plus générale.

11 est vrai que, s'il s'agissait d'une évaluation numérique, cette marche entraînerait des développemens qui , bien que très-réguliers , ne seraient pas moins longs que ceux dont on se sert ordinairement. (Cependant on verra aux dernières pages de cet essai un exemple d'un tel développement qui prouvera, j'espère, que dans ce cas non moins qu'en bien d'autres, on peut employer avec succès les fonctions de la forme [abc* r, a/3y... />]). Mais toutes les fois qu'il importe seulement de connaître des rapports généraux des v inconnues , soit entre elles, soit avec d'autres quantités, ces formes générales seront d'une importance majeure.

7. Si une des bases , par exemple a , est telle que la quantité qu'elle représente soit la même quel que soit l'exposant dont elle est affectée, c'est-à-dire, si aa = a&*= ay= ..., on aura (afcc.r, «0y... p) =

aal(bc.*.r, $y.„ p) — (fcc.r, a<y...p) -h (bc...r,a&<f...p) =p ...].

La quantité qui se trouve sous la parenthèse, peut donc être représentée de la manière suivante :

en admettant une fois pour toutes que le chiffre romain I soit tel que 1 = F= 10= Iy=: ... Il va sans dire que toutes les propriétés qui ont lieu pour (abc... r, a/îy... p) se rapportent également à (H>c. r, «/3y... p). Introduisons encore la forme

(abc.r, I/3y.../>) ;

dans laquelle 1 = ai = £>* =cI = ... Cette fonction reviendra donc à

Ac.r, /3y.../>) — (ac.r, /3y.../>) -+- a6rf...r,/3y...<o) zp ...

8. L'analyse qui fait le sujet des articles précédens et les nombreuses conséquences qu'on en peut tirer , peuvent devenir d'un grand avantage pour la géométrie analytique. Je me suis attaché à le prouver dans les paragraphes suivans , mais on s'en

persuadera dès à présent , en considérant que , a1 , bl , c' ; a% ;&% ca; etc., désignant les coordonnées rectangulaires d'un certain nombre de points, les fonctions (abc... r , a£y... p) pourront nous aider à trouver les relations de ces points soit entre eux 9 soit avec d'autres quantités. Il est remarquable que dans ce cas il n'y aura que trois bases (o, b9 c). Mais s'il était question des relations d'un nombre quelconque de lignes droites données par les équations

y = a' -+- b'x ; y =■ a* -*- b*x , etc. ; s = c' -h d'x ; z = ca -+- daa? , etc. ;

nous en aurions quatre (a, à, c, <*),• et il n'est pas nécessaire d'ajouter que ce nombre peut encore augmenter dans d'autres recherches géométriques. Je crois ne pas aller trop loin en disant que la théorie générale de cette classe de fonctions porterait des fruits pour toute la géométrie analytique , et que leur utilité deviendrait plus grande à mesure que les questions seraient plus compliquées. Mais je dépasserais le cadre d'un mémoire , si j'entrais ici dans des développeraens ultérieurs. Signalons donc seulement quelques propriétés particulières qui trouveront leur application dans les recherches suivantes , et qui ne concernent que trois bases et quatre exposans , ou si l'on veut , les coordonnées de quatre points (!.

Note. Pour ne pas confondre les signes à1 , a3 , b* ,••• avec la seconde et la troisième puissance de a , de b , etc., je remplacerai les exposans 1 , 2,3,4 quand ils se présentent sous la forme à'accens par les signes ' , " , '" , ,v. J'écrirai donc a" au lieu de aa , et ainsi de suite.

0. Considérons d'abord la fonction (lahc, 1234) ; on y pourra isoler d'après le premier théorème ou une quelconque des bases,

') Toutes les recherches qui concernent trois bases et quatre exposans sont étrangères au mémoire de La grange , qui place l'origine des coordonnées, ainsi que nous l'avons déjà dit, a un des sommets du tétraèdre.

ou un quelconque des exposa ns. I! y aura donc huit développemens différons; mais ces développemens ne se présenteront que sous trois formes hétérogènes , dont la première résulte de l'isolement de la base I , la seconde de l'isolement d'une quelconque des trois autres bases, et la troisième de l'isolement d'un quelconque des exposans. En effet , on trouve

(Ioi&c,1234)=(afcc,234— (afcc,134)H-(afcc,124)-(ate,123)...(à).

(labc, 1234 = — (albc, 1234) =

— a'(lbc&A)+a"(lbc,m)— a",(Ifec,124)^(aiv(li&c,123)...(B),

et semblablement pour les deux autres bases.

(IaZ>c,1234) =

(a&c,234)— a'(I^234) + £'(Iac,234)-- c'(Iai,234) • • • (C)

et semblablement pour les trois autres exposans.

Si nous substituons 1 au lieu de 4 dans l'équation (C) , nous trouverons

(labc , 1231 ) = o ( Théor. III.)

=(abc, 231) — a' (Uw>,231) -+- V (lac, 231 ) — c' ( la*, 231 )

équation qui nous fournit

(afcc,123) = a'(Ii&c,123) — &'(Iac,123) + c'(IaM23). • • (!>)•

D'une manière analogue nous trouverons

(afcc,123) = a" (U>c,123) — h" (lac, 123) h- c" (Ia&,123); (afc,123):=:a"' (I&c,123)-i&"'(Iac, 123) -*- c"/(Iafc,123); nous aurons donc aussi o={a'— a")(U>c,123)— (fc'— V')Qac, 123)n- {c'—c")(lab, 123) ; (E).

et ainsi de suite. Pour montrer la manière dont on doit employer ces formules , supposons la fonction

(acd, 124) - a3 (Icd, 124) + c3(Iarf, 124) — d3 (lac, 124).

On voit de suite que cette expression est de la forme (G) , et qu'on devra remplacer

1 par 1 , 2 par 1 ,

a par a, 3 par 2,

b par c, 4 par 4,

c par d, 1 par 3.

Nous trouverons donc pour résultat

(lacd, 3124) = (lacd, 1234).