IT
En effet f on tirera la valeur de 5r de celle de ^ , en y échan-
géant l'un contre l'autre les exposans 1 et 2 ; ce qui nous donne
p" ~ ± (I«5c,2I34) — ^ (Ia£c,1234)'
De cette expression on tirera la valeur de ^77- , en y échangeant l'un contre l'autre les exposans 2 et 3 ; d'où il résulte
a^ (otof1M) (o5c,12-4)
p'" ~ ^ (Io£c,1324) * (lo£c,1234)#
Enfin , on tirera de là semblablement
a-™ (ahc, 123) (ahc, 123)
^~± (labc,m3) ~ ^ (Iai6c,1234) '
En réunissant ces quatre expressions , nous tomberons sur
(o5c,234) — (abc, 134) h- (flfo,124) — (afo,123) "^ (Ia5c,1234)
==± 1.... (§1, art. 9,éq. A).
Si le point 0, origine des coordonnées se trouve dans le té-
traèdre, les quantités x' , x", *■"', x™ seront toutes négatives, partant le premier membre de la dernière équation le sera également , et ne pourra , pan conséquent , équivaloir qu'à — 1 • Mais rien ne nous empêche d'admettre les perpendiculaires **', *•",.•• comme positives quand elles se trouvent du même côté des faces respectives que les perpendiculaires p', /»",... et comme négatives dans le cas contraire. Le premier membre de la dernière équation deviendra alors = -+- 1 , et nous serons autorisés à établir le théorème suivant :
Théorème I. — Si des quatre sommets et d'un point quelconque on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces d'un tétraèdre , et qu'on admette les perpendiculaires abaissées du point arbitraire comme positives ou négatives , selon qu'elles se trouvent ou ne se trouvent pas du même côté des faces respectives que les perpendiculaires abaissées des sommets ; la somme algébrique des perpendiculaires abaissées du point arbitraire } divisées chacune par la perpendiculaire abaissée sur la même face du sommet opposé, sera égale à l'unité.
Corollaire. — 4SÏ par un point quelconque et les quatre sommets d'un tétraèdre on fait passer des lignes droites 7 et qu'on en admette les parties comprises entre le point arbitraire et les faces respectives comme positives ou négatives , selon qu elles sont dirigées en sens contraire ou dans le même sens que les parties d'elles-mêmes comprises entre le point arbitraire et les sommets respectifs; la somme algébrique des parties de ces droites comprises entre le point arbitraire et les faces respectives, divisées chacune par la partie d'elle-même comprise entre le sommet respectif et la face opposée, sera égale à l'unité.
4. On sait qu'outre la sphère inscrite dans un tétraèdre, il y en a encore quatre dont chacune touche les quatre faces ; mais de telle sorte qu'une face est toujours touchée extérieurement. Les perpendiculaires abaissées du centre d'une quelconque de ces sphères sur les faces seront toutes égales au rayon de la même sphère. Quant à la sphère inscrite, ces perpendiculaires se trouveront toutes du même côté des faces du tétraèdre que les perpendiculaires abaissées sur celles-ci des sommets opposés.
258 COlBISPOltDAWCK
Quant aux quatre autres sphères, trois des perpendiculaires abaissées du centre de chacune sur les faces, se trouveront du même côté de celles-ci que les perpendiculaires abaissées des sommets , tandis que la perpendiculaire abaissée sur la quatrième face se trouve du côté opposé à celui de la perpendiculaire abaissée sur la même face du sommet opposé. Il suit de là que, si nous nommons rie rayon de la sphère inscrite; r', r", r"', r*v les rayons des quatre sphères ex - inscrites , nous aurons, en gardant les signes p\ p", p'"9 p™ de l'article précédent,
i L L JL JL.
r" ~ "*" p' ~ p" "*" p'" "*" jbit 5
j L .L L JL
r'" ~ "*~ p' *~ p" ~ p'" "*" ptv ;
J- L JL L JL
rnr p' p" p'" p\v
Si le tétraèdre possède un angle solide droit , nous pourrons trèsfacilement d'après ces formules exprimer les rayons r, r/,... au moyen des arêtes qui concourent au sommet de l'angle solide droit. Ces arêtes que je nommerai «', a", «"' se confondront évidemment avec les perpendiculaires abaissées des trois sommets de la face hypoténusale sur les faces opposées; de plus, nous trouverons pour la perpendiculaire abaissée sur la face hypoténusale du sommet de l'angle solide droit (soit />IV) , l'équation suivante
J 1 J JL.
ainsi donc le rayon de la sphère inscrite, par exemple, sera
M&TItlATIQOE ET MT8IQOI. 369
donné par cette équation
5. Voici maintenant une autre démonstration très-élémentaire du théorème I. Nommons V le volume du tétraèdre, a\a", a"\ a™ les aires des quatre faces. D'un point quelconque 0 menons des lignes droites aux quatre sommets. Le tétraèdre se trouvera par là divisé en quatre autres dont les bases sont respectivement a', a", a'", aiv, et qui ont le sommet 0 en commun. Supposons , pour simplifier que ce dernier point se trouve dans le tétraèdre , et nommons t/, <?", <?'", v™ les volumes des tétraèdres partiels; nous aurons
Vt=:t?' -f- ©" + V'" -f- V™, OU 1 = — -*- — -4- — -+- — •
Mais en gardant toujours les signes//,/)",... *■', *-".... nous trouverons
V = i a'p' = J a"p" = \ a'"?'" = J a^iv • v = J aV ; t>" = J a'V ; t/" = J q"V" ; «•▼ = J a^iv.
En substituant ces valeurs , il viendra
~ j «y + i «y "l" * «"y "*" § «,vyv
!- il il • £1
On constatera facilement le théorème par rapport à un point 0 qui se trouve hors du tétraèdre.
Puisque
7 = 3v; y -3v;etc'
On trouvera pour le rayon de la sphère inscrite
, ou r= —
c'est-à-dire que le rayon de la sphère inscrite est égal à trois fois le volume du tétraèdre divisé par la somme des aires des faces, ou bien par la surface du tétraèdre.
Une propriété analogue au théorème I a lieu pour le triangle plan. En effet , si d'un point quelconque situé dans le plan d'un triangle on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés de celui-ci , la somme algébrique de ces perpendiculaires , divisées chacune par la perpendiculaire abaissée sur le même côté du sommet opposé du triangle sera égale à l'unité. Les perpendiculaires extérieures doivent ici également être admises comme négatives. 11 est visible qu'on trouverait, en vertu de cette propriété , des expressions très-simples pour les rayons du cercle inscrit et des trois cercles ex-inscrits , expressions desquelles on pourrait déduire des théorèmes remarquables qui se trouvent en partie consignés dans un beau mémoire de M. Noël (Corresp. Mathém., ton». V, pag. 22).
6. En considérant que dans tout triangle plan les trois perpendiculaires abaissées des sommets sur les côtés opposés se coupent en un seul point, je me suis demandé à quelles conditions un tétraèdre devait être assujetti, si les quatre perpendiculaires abaissées des sommets sur les faces opposées jouissaient de la même propriété. Il est palpable qu'on puisse se donner un tétraèdre tel qu'aucune de ces perpendiculaires n'en coupe une autre. Il convient donc en premier lieu de chercher la condition sous laquelle les perpendiculaires abaissées seulement de deux sommets sur les faces opposées, aient un point en commun. Soient, par exemple, I et II ces deux sommets; commençons par établir d'après le probl. IV, les équations des perpendiculaires qui en sont abaissées sur les faces II III IV et I III IV. En fanant les substitutions convenables , nous trouverons pour la
HATHElUTIQtri ET PHTMQCE. 261
première
., (lao,334) , (Iao,234)
, (Io6,234) , (106,234) * "" ° (Iéc,234) " "*" (I6c,234) " '' et pour la seconde
(lac, 134) (Iac,134)
(fai,134) „ (Ia6,134) (I5c,134)a "*"( Ifo, 134)
Or y le probl. 111 nous apprend que , si ces deux lignes se coupent, nous devrons avoir o =
T*' y » (IflC»284> a, M*) VI p",m) 2fM!i)l
L (lie, 234) (IAc,134) J L(Uey284) (I6c,l34)J
I FV c" ^^.M (Igft>134)^1 r(I«c,834) (100,184) , L (Iic,234) "*"(Iic,134) J L(I6c,834) (Hc,134)'
équation qui se transforme aisément en
o = — f (Iafc,134) (Iac,234) — (IoA,234) (lac, 134)] (a'— a")
— [(Ia5,134) (ttc,234) — (Iafc,234) (ttc,134)] (6'— b")
— [(Iac,184) (Lfc,234) --(Iac,234) (I5c,134)] (c'—d');
d'où nous tirons immédiatement , en tenant compte de l'éq, (6) du§I,
o = (Iaic,1234) [(a'- a")(a'"—als) -♦- (5'-*") (*'"-i,v)-Kc'-c") (c'"-clv)].
Mais le facteur (labc, 1234) ne saurait s'évanouir à moins que les quatre sommets du tétraèdre ne se trouvent dans un même plan (prob. III , coroll.). La condition demandée sera donc exprimée par cette équation :
0= (a'— a") {a'"— a") 4- (&'— b") (b'"— ftnr) 4- {c'—c") (0'"— c").
Nous pouvons dès à présent remarquer que cette équation Toi. X. 18
n'étant pas altérée , si Ton y échange simultanément les exposans 1 et 2 contre 3 et 4 , elle exprimera également la condition sous laquelle les perpendiculaires abaissées des sommets III et IV sur les faces opposées ont un point en commun , simultanéité qui peut être énoncée de la manière suivante :
Théorème II. — Si des perpendiculaires abaissées des quatre sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées, deux quelconques se coupent, les deux autres se couperont également.
7. Si nous développons l'équation de condition trouvée cidessus , il viendra
-4- a" a" -4- b"b™ -4- c"c" — {a"a'"+b"V"+ c"c"') ; . ou
o = [13] -*- [24] — [14] — [23]. (S I, art. 13).
Mais en désignant les arêtes du tétraèdre par les noms donnés à leurs extrémités , nous trouverons
I III2 == (a'— a'")2 -f- (&'— b'"Y -4- (c'— c'")% = a'a-4- Z>"h- c'3-4- a",a-4- fc'"a-4- c"" — 2(a'a"'-4- Vb'"+ cV") = [ll]-4-[33]-2[13]; II IV2 = [22] -4- [44] - 2[24] ; IIVa=: [11] -f- [44] — 2 [14]; II IIP = [22] -*- [33] — 2 [23] ; d'où nous tirons
IIir-f-IIIVa-IIVa-IIIir= — 2([13]4-[24]-[14]-[23])=o;
ou bien
I nr + Il IV» = I IVa -4- II IIP.
De plus, les arêtes étant données par les coordonnées des sommets , nous trouverons, d'après le probl. I, les équations suivantes de l'arête I II
{ab, 12) *'— V (ac, 12) c' — c"
il résulte de là que les cosinus des angles formas par l'arête I II et les directions des axes X , Y, Z sont respectivement
