III IV ' IIIIV 7 III IV

nous en concluons donc que le cosinus de l'angle formé par les directions des arêtes I II et III IV, est =

(a'— a") {g'»—av*)+(V—b") (b'"—b")+-(c'-- c") (c'"— c'y) I II. 111 IV

Cette équation s'évanouit si la condition trouvée précédemment a lieu. L'angle formé par les directions de I II et III IV sera donc alors un angle droit , et nous aurons le théorème suivant :

Théorème III. — Si la somme des carrés de deux arêtes opposées d'un tétraèdre l) est égale à la somme des carrés de deux autres arêtes opposées; les perpendiculaires abaissées des extrémités de l'une ou de l'autre des deux arêtes restantes sur les faces opposées se couperont; ou bien ,

Si les directions de deux arêtes opposées d'un tétraèdre forment un angle droit, les perpendiculaires abaissées des extrémités de l'une ou de l'autre de ces arêtes sur les faces opposées se couperont; et réciproquement.

Scolie. — Si la somme des carrés de deux arêtes opposées d'un tétraèdre est égale à la somme des carrés de deux autres arêtes opposées, les directions des deux arêtes restantes formeront un angle droit ; et réciproquement.

l) On nomme arêtes opposées deux arêtes qui ne se rencontrent nulle part j il y en aura donc trois paires dans tout tétraèdre.

364 CORRESPOND ATICE

8. Si la perpendiculaire abaissée de I sur II III IV coupe nonseulement la perpendiculaire abaissée de II sur I III IV, mais encore celle qui est abaissée de III sur I II IV , les perpendiculaires abaissées de II et de IV sur les faces opposées se couperont également , et les directions des arêtes I III et II IV formeront un angle droit. On aura donc I IP -*- III IV1 = 1 1 V2 -*- II IIP ; mais puisqu'on a aussi I IIP -f- II IVa = I IV2 -4- II IIP, il en résultera I IP -f- III IVa = I IIP -4- II IV1 ; c'est-à-dire que les directions des arêtes I IV et II III formeront aussi un angle droit ; c'est-àdire encore que les perpendiculaires abaissées de I et de IV sur les faces opposées se coupent. Mais puisque dans ce cas les perpendiculaires abaissées de II et de III sur les faces opposées se coupent également, il est évident que les perpendiculaires se coupent toutes les quatre. Or cela ne saurait avoir lieu à moins qu'elles ne se coupent en un seul point (vu qu'elles ne se trouvent pas dans un seul plan). Nous sommes donc enfin autorisé à établir le théorème suivant :

Théorème IV. — Si les perpendiculaires abaissées des sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées se coupent toutes les quatre , elles se couperont en un seul point , et les directions des arêtes opposées formeront deux à deux des angles droits; ou bien , la somme des carrés de deux arêtes opposées sera constante.

Scolie. — *St deux lignes qui ne se rencontrent nulle part, et dont les directions forment un angle droit } sont coupées par deux autres lignes assujetties aux mêmes conditions ; les deux lignes qui joignent deux à deux les points d'intersection des quatre premières , seront dirigées rectangulairement l'une sur l'autre.

Des tétraèdres qui satisfont aux conditions du dernier théorème sont , par exemple , le tétraèdre régulier, le tétraèdre dont une face est équilatérale , tandis que les trois arêtes montantes sont égales entre elles , le tétraèdre a un angle solide droit, etc.

Je nommerai dans la suite point d'intersection conditionnel le point dans lequel les perpendiculaires abaissées des sommets sur les faces opposées se coupent.

9. Le théorème III peut être démontré très* facilement d'une manière purement géométrique. En effet , soient dans le tétraè-

dre I II III IV les arêtes I II et III IV telles que leurs directions forment un angle droit. Abaissons du point III une perpendiculaire sur l'arête I II (perpendiculaire qui sera située dans le plan I II III), et nommons A le point d'intersection. Si nous menons par A une droite AB parallèle à III IV, l'angle IAB sera droit par supposition , et l'angle I A III le sera par construction ; par conséquent I A ou l'arête I II sera perpendiculaire sur le plan III A B. Mais puisque AB est parallèle à III IV, cette dernière ligne se trouvera dans le plan III A B ; en d'autres termes , l'arête I II sera perpendiculaire sur le plan III IV A» Il suit de là que tous les plans passant par I II, partant aussi les plans I H III et I II IV, seront perpendiculaires sur III IV A. Ainsi donc , si l'on abaisse de deux points quelconques de ce dernier plan des perpendiculaires sur les plans I II III et I II IV , ces perpendiculaires seront comprises dans le plan III IV A. Les perpendiculaires abaissées de III et de IV sur I II IV et I II III s'y trouveront donc également; par conséquent elles se couperont.

On démontrerait semblablement que, dans le même cas, les perpendiculaires abaissées de I et de II sur les faces opposées possèdent un point en commun.

Le scolie du théorème III peut se démontrer de la manière suivante : les lignes III A et IV A étant perpendiculaires sur I II, ou bien les triangles I III A, II III A , I IV A, II IV A étant rectangles, on aura

I IIP = lAa -t- IIlAa ; I IV == IAa -f- IVA'

II IV2 = IIAa -f- IVAa ; II IIP =IIAa -+- IlIAa ,

d'où l'on tire immédiatement

IIIP-+-IIIVa:=IIVa-4-IIlIP.

10. Cette considération géométrique nous fait encore remarquer plusieurs autres propriétés. Nous avons vu que la perpendiculaire abaissée du sommet IV sur la face I II III était comprise dans le plan III IV A ; elle coupera donc l'intersection de ce plan avec le plan I II III ; c'est-à-dire la ligne III A , ou bien la perpendiculaire abaissée de III sur l'arête I II.

Or, si les perpendiculaires abaissées des sommets sur les faces opposées se coupent toutes les quatre , les arêtes I III et II IV seront aussi dirigées rectangulairement l'une sur l'autre. On en conclura sans difficulté que la perpendiculaire abaissée de IV sur I II III coupe également la perpendiculaire abaissée de II sur l'arête I III. Enfin , en considérant que les arêtes I IV et II III sont aussi dirigées rectangulairement l'une sur l'autre, on se persuadera que la perpendiculaire abaissée de IV sur I II III coupe la perpendiculaire abaissée de I sur II III. Mais les perpendiculaires abaissées de III , II et I sur les arêtes I II , I III et II III se coupent toujours en un seul point. Il est donc constant que la perpendiculaire abaissée de IV sur I II III passe par ce point d'intersection. Une propriété semblable a lieu pour les perpendiculaires abaissées des autres sommets sur les faces opposées ; nous pourrons donc établir le théorème suivant :

Théorème V. — Si les perpendiculaires abaissées des quatre sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées se coupent en un seul point, les lignes menées par le point d'intersection de chacune de ces perpendiculaires avec la face respective et les trois sommets de cette face, seront respectivement perpendiculaires sur les arêtes situées dans cette dernière.

1 1 . Entre deux lignes droites qui ne se rencontrent nulle part, on ne peut mener, comme on sait, qu'une seule droite qui soit perpendiculaire à Tune et à l'autre. On pourra donc construire dans chaque tétraèdre trois lignes dont chacune soit perpendiculaire sur deux arêtes opposées. La recherche de ces perpendiculaires communes nous devient très-facile par suite de la construction géométrique précédente. En effet, supposons comme plus haut que les directions des arêtes I II et III IV forment un angle droit. Les perpendiculaires abaissées des sommets III et IV sur les faces I II IV et I II III seront dans ce cas identiques avec les perpendiculaires abaissées des mêmes points sur les côtés IV À et III A du triangle III IV A. Ainsi donc, si nous faisons passer une ligne droite par le point A et le point d'intersection de ces deux perpendiculaires, cette droite sera perpendiculaire sur l'arête III IV. Mais puisqu'elle se trouve dans le plan III IV A ,

HàTHfHATIQCE ET PHYS1QLE. 287

perpendiculaire sur l'arête I II , il est visible qu'elle sera aussi perpendiculaire sur I II. Elle sera donc la perpendiculaire commune à ces arêtes ; par conséquent , cette dernière passera par le point d'intersection des perpendiculaires abaissées de m et de IY sur les faces opposées. Mais on démontrerait par un raisonnement semblable qu'elle passe aussi par le point d'intersection des perpendiculaires abaissées de I et de II sur les faces opposées; ce qui donne lieu au théorème suivant :

Théorème VI. — Si des perpendiculaires abaissées de* sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées, deux quelconques se coupent, les deux autres se couperont également, et la perpendiculaire commune aux deux arêtes des extrémités desquelles partent les perpendiculaires qui se coupent, passera par les deux points d'intersection*

12. Si nous nommomp la perpendiculaire abaissée de IV sur la face I II III , le volume du tétraèdre sera =s § p X le triangle I II III = £ p X I n X ni A. Mais l'aire du triangle ni IV A sera exprimée par i p X ni A , ou par £ III IV X la perpendiculaire commune à I II et III IV. En substituant cette dernière valeur à \p X III A , nous trouverons le volume du tétraèdre œ ê I II x ni IV X la perpendiculaire commune à I II et III IV; propriété qui peut être exprimée de la manière suivante :

Théorème VII. — Si les directions de deux arêtes opposées d'un tétraèdre forment un angle droit, le tétraèdre équivaudra au sixième d'un parallélipipède rectangle dont les arêtes sont les arêtes opposées à angle droit, et la perpendiculaire qui leur est commune.

13. Si les perpendiculaires abaissées des quatre sommets du tétraèdre se coupent en un seul point , les points d'intersection considérés dans le théorème VI, se confondront avec celui-là, Ainsi donc, chacune des trois perpendiculaires communes à deux arêtes passera par ce point commun d'intersection ; c'est-àdire que :

Théorème VIII* — Si les perpendiculaires abaissées des quatre sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées se coupent en un seul point, les lignes qui sont perpendiculaires chacune à deux arêtes opposées, s'y couperont également.

268 COBftESPORDAlICB

II n'aurait pas été sans intérêt de résoudre par l'analyse les différentes questions qui concernent ces perpendiculaires communes. Nous aurions vu, par exemple, que ces perpendiculaires ne sauraient se couper en un point, à moins que le tétraèdre ne soif assujetti aux conditions des théorèmes précédens. Mais je dois supprimer ici la recherche analytique de cette question qui nécessiterait des calculs d'une trop grande étendue pour pouvoir concourir heureusement avec la solution géométrique que je viens d'exposer •

14. Les tétraèdres dont les arêtes opposées sont dirigées reotangulairement les unes sur les autres jouissent encore de plusieurs autres propriétés qui résultent de la combinaison de» théorèmes précédens avec les propriétés du centre de gravité du tétraèdre. Je citerai. ici brièvement quelques théorèmes relatifs à celui-ci qu on démontre très-facilement par la géométrie élémentaire.

Les quatre lignes qui passent par h» sommets d'un tétraèdre et les centres de gravité des faces opposées , se coupent au centre de gravité du tétraèdre *).

l) On «ait que le centre de gravité d'un triangle plan est le point d'intersection des lignes menées des sommets du triangle aux milieux des côtés opposés. Ou pourra donc énoncer la propriété ci-dessus de la manière suivante ;

En joignant le milieu de chaque arête d'un tétraèdre par des lignes droite» aux sommets de Parête opposée , on obtiendra quatre groupes formés de trois lignes situés chacun dans une des faces du tétraèdre , et s'y coupant en un seul point. Si l'on joint ces points aux sommets opposés par des lignesdroites , celles-ci se couperont en un seul point.

Pour démontrer ce théorème on n'a besoin que des notions géométriques les plus élémentaires. Mais on pourra aussi très-facilement le déduire d'une considération mécanique qui montrera en même temps que ce point est le centre de gravité du tétraèdre. En effet, on n'a qu'à considérer que le centre de gravité d'un tétraèdre doit se trouver dans le plan qui passe par une des arêtes et par le milieu de l'arête opposée. Soient donc , par exemple , 1 , 2, 3 les milieux des arêtes II III, I III, I II. Le centre de gravité se trouvera dans chacun des plans 1 1 IV, 2 II IV, 3 III IV. Mais puisque ce»-

Les parités de ces lignes comprises entre le centre de gravité du tétraèdre et les faces seront aux parties d'elles-mêmes comprises entre le centre de gravité et les sommets respectifs , comme 1 à 3.

Le plan passant par les centres de gravité de trois faces sera parallèle à la quatrième face.

trois plans ont le point IV en commun , et qu'il» coupent le plan I II III suivant les lignes 1 I, 2 II , 3 III qui se coupent elles-mêmes au centre de gravité de la face I II III , il est visible que les trois plans 1 I IV, 2 II IV, 3 III IV se coupent suivant la ligne qui joint le centre de gravité de I II III au sommet opposé ; cette ligne doit donc contenir le centre de gravité du tétraèdre. On démontrerait également que ce dernier point doit se trouver sur les lignes qui joignent le centre de gravité de chacune des autres faces au sommet opposé ; partant ces lignes passeront toutes les quatre par le centre de gravité du tétraèdre.

La considération mécanique précédente nous apprend encore que le centre de gravité doit se trouver sur chacune des lignes qui joignent deux à deux les milieux des arêtes opposées. Car, si nous nommons (I II) le milieu de l'arête I II , (III IV) le milieu de l'arête III IV, le centre de gravité se trouvera dans chacun des plans I H (III IV), III IV (1 II). La ligne (I II) (III IV) qui est évidemment l'intersection de ces plans , doit donc contenir le centre de gravité du tétraèdre. Il suit de là que les lignes qui joignent deux à deux les milieux des arêtes opposées se coupent en un seul point , qui sera le centre de gravité du tétraèdre. Ce théorème, qui se trouve cité par H. Terquem [Manuel de Gèom., p. 263), serait du reste très-facile à démontrer par la géométrie élémentaire.

Cette même considération mécanique sert de base aux calculs assez étendus par lesquels Layrange établit les coordonnées du centre de gravité. (Mémoire cité, p. 171). 11 en déduit aussi que le centre de gravité du tétraèdre est le même que celui de quatre corps d'égale masse dont les centres de gravité se trouveraient placés aux quatre sommets du tétraèdre. U est connu que le centre de gravité d'un triangle plan, de I II III par exemple , est le même que celui de trois corps d'égale masse dont les centres de gravité se trouveraient aux trois sommets I , II , III. On en conclut immédiatement que le centre de gravité de quatre corps d'égale masse placés aux quatre sommets du tétraèdre , doit se trouver sur la ligne qui joint le centre de gravité de I II III au sommet IV; et semblablement pour les autres faces. Ce centre de gravité sera donc le point d'intersection des quatre lignes qui joignent les centres de gravité des faces aux sommet* opposés; c'est-à-dire qu'il sera le centre de gravité du tétraèdre.

270 CORREBPOHDJLlfCB

'Or, il est facile de voir que la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère circonscrite au tétraèdre sur une quelconque des faces (soit F) passera par le centre du cercle circonscrit à cette dernière. Ainsi donc, si Ton mène un plan (soit P) par cette perpendiculaire et celle qu'on abaisse sur la même face du sommet opposé (ce qui est toujours possible , puisque ces deux perpendiculaires sont parallèles), ce plan contiendra le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre , le centre du cercle circonscrit à F , et le sommet opposé à cette face* Mais puisque ce plan contient la perpendiculaire entière abaissée sur F du sommet opposé , il est évident que , dans le cas où les perpendiculaires abaissées des sommets du tétraèdre sur les faces opposées se coupent en un seul point , le plan P contiendra aussi ce point d'intersection conditionnel, et en outre le point d'intersection des perpendiculaires abaissées des trois sommets de F sur les arêtes situées dans cette face (théor. Y).

De plus y il est connu que dans tout triangle plan , le centre du cercle circonscrit , le centre de gravité , et le point d'intersection des trois perpendiculaires abaissées des sommets sur les côtés opposés , sont situés sur une même droite. Le plan P contiendra donc aussi le centre de gravité de la face F. Mais puisqu'il contient aussi le sommet opposé à F , et que le centre de gravité du tétraèdre doit se trouver sur la droite qui joint ce sommet au centre de gravité de F, il est enfin prouvé que le centre de gravité du tétraèdre est aussi un point du plan P. En résumé, ce plan contiendra le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre, son centre de gravité, et le point d'intersection conditionnel.

Si l'on abaisse maintenant sur une autre face du tétraèdre des perpendiculaires : 1° du sommet opposé ; 2° du centre de la sphère circonscrite, un raisonnement semblable nous prouverait que le plan de ces perpendiculaires contient également le centre de la sphère circonscrite , le centre de gravité , et le point d'intersection conditionnel. Ces points doivent donc se trouver sur l'intersection de ce dernier plan avec le plan P ; c'est-à-dire qu'ils seront situés sur une même droite ; ainsi donc :

Théorème IX, — Si les perpendiculaires abaissées des quatre

MATHÉMATIQUE BT PVY8IQUE. 271

sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées, se coupent en un seul point, ce point , le centre de gravité et le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre , se trouveront sur une même droite.

15. En réfléchissant que dans tout triangle plan les distances do centre de gravité au centre du cercle circonscrit , et au point d'intersection des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur les côtés opposés sont dans le rapport de 1 à 2, on est amené à demander, par rapport au tétraèdre , quel est le rapport des distances mutuelles des trois points décrits dans le dernier théorème. Soit en conséquence A un des sommets du tétraèdre , S le centre de la sphère circonscrite , G le centre de gravité, P le point d'intersection conditionnel. Soit de plus s le centre du cercle circonscrit à la face opposée à À ; g le centre de gravité de cette face, p le point d'intersection des perpendiculaires abaissées des sommets de la même face sur les arêtes qui y sont situées. Menons les droites S* , ÀPp , kGg , SGP , sgp, et abaissons de G la perpendiculaire Gy sur sgp. Les trois lignes S*, Gy, et AVp qui se trouvent dans le même plan et sont , chacune, perpendiculaires sur sgp, seront nécessairement parallèles entre elles;

on aura donc

SG : GP = sy : yp.

Mais puisque les triangles Ggy et Âgp sont semblables, on aura

Gg : kg = gy: gp.

Or, nous avons vu que $g : gp = 1 : 2 ; et Gg : kG = 1 : 3 , ou Gg : kg = 1 : 4 ;

nous en concluons

Gg : kgz=zg?:gp= 1:4; ce qui nous donne

*g=ïgp;gr—lgp*

Déplus, on a

sy—sg + gy=(i -*- l)gp=lgp;

yp — 9P — 9v—\i — l)gp=igp;

c'est à-dire que sy= yp; partant aussi SG = GP; propriété qui nous conduit au théorème suivant :

Théorème X. — Si les perpendiculaires abaissées des quatre sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées se coupent en un seul point 9 le centre de gravité se trouvera à égale distance du centre de la sphère circonscrite et du point d'intersection conditionnel.

16. Puisque les quatre plans passant par SGP et perpendiculaires sur les faces du tétraèdre coupent celles-ci suivant des ligne» analogues à sgp , il est clair que si Ton abaisse d'un point quelconque de SGP (soit M) des perpendiculaires Mu» sur les quatre faces, les points m se trouveront sur les lignes sgp, et Ton aura SG : S M =sg : sm.Le rapport^ ; sm sera donc constant pour les quatre faces du tétraèdre , et nous serons autorisés à établir le théorème suivant :

Théorème XI. — *Sï la condition des théorèmes précédons a lieu 9 et que sur les lignes qui passent par le centre du cercle circonscrit à chaque face du tétraèdre , et par le centre de gravité de la même face on choisisse des points tels que leurs, distances à ces deux centres soient dans un rapport constant; les lignes élevées dans ces points perpendiculairement sur les faces respectives 9 se couperont en un seul point, et ce point se trouvera sur la ligne qui joint le centre de gravité du tétraèdre au centre de la sphère circonscrite.

Corollaire. — Si la même condition a lieu9 et qu'on élève aux centres de gravité des quatre faces des lignes perpendiculaires sur celles-ci , ces quatre lignes se couperont en un seul point.

17. Ce corollaire nous rend très-facile la solution de la question suivante : Trouver un point tel que les perpendiculaires qui en sont abaissées sur trois quelconques des faces du tétraèdre coupent celles-ci en trois points dont le plan soit parallèle à la quatrième face. En effet , puisque le plan qui passe par les centres de gravité de trois faces est parallèle à la quatrième face , et que , si la condition des théorèmes préeédens a lieu , les perpendiculaires élevées sur chaque face dans son centre de gravité se coupent en un seul point; il n'y a pas de doute que ce point ne satisfasse à la condition demandée. Au demeurant, il est assez curieux de remarquer qu'un tel point ne puisse exister que dans les tétraèdres dans lesquels les perpendiculaires abaissées des sommets sur les faces opposées se coupent en un seul point. Ce qu'on pourra constater par l'analyse suivante :

Remarquons d'abord que si deux plans sont parallèles à deux faces d'un tétraèdre, l'intersection de ces plans sera parallèle à l'arête intersection des faces respectives. Soit donc M un point qui satisfasse à la condition demandée ; Mm', Mm", Mm'", M«^ les perpendiculaires abaissées de ce point sur les faces II m IV, I III IV, I II IV, I II III. Les plans m' m" m'" et I II III, m' m" mpr et I H IV seront parallèles deux à deux ; par conséquent les lignes I II et m' m" le seront également. Si nous nommons *', 0', y' les coordonnées du point m'; *", 0", y" celles de m", les équations de m' m" seront

(«0,12) 0'-/3" (ar,n) y' — y"

a. * — cl a, — a, a — cl cl — a

et celles de l'arête I II

- — ■ ■ x : z tas — -+- — - x.

Mais si ces deux lignes sont parallèles , on aura évidemment &— 0' b'—h" y —y" c'-c"

De plus , si nous supposons que le point M soit l'origine des coordonnées, nous aurons, a cause du coroll. I du probl. IV, en considérant que dans cette supposition les quantités a , b , c de ce coroll. deviennent chacune = o, et en faisant, pour abréger,

{abc$M) ,

(Iafc,23-4)a -f- (Iac,23-4)a -4- (I£c,234)a — *

(abc,m)

(Ia5,l34)> h- (lac,\My -+- (L&c,134)a

«f« + (I6c,234) A' ; a" = -4- (Ifc,134) A" ff = — (Iac,234) A' ; 0" *== — (I«c,134) a" y' = -4- (Iafc,234) A' ; y" = -t- (Iafc,134) a"

ce qui nous conduit à

o = — (a'— a")[(ïac,824) A'- (lac, 134) A "]— (*'- ft")f(I*c,234) A'— (Kc,l34) A"]; o == -f- (a'— a")[(Ia&,234) A'— (Ia&,134) A"](c'— c")[(Uc,234) A'~ (IJC,134) A"| ;

ou bien

o *= — [(a'~a") (Iac,234) -♦- (b'-b") (I6c,234)] a' + [(a'- a") (Iac,134) -f- (&'— à") (tôc,134)] A";

o = -f- [(a'— a") (Iafc,234) — <>'— O (U>c,234)] A' — ((a'— a") (Io6,134) — (c'—c") (lbc,m)] a".

Or , puisque ces équations sont de la forme

nous en tirerons évidemment

o = A'B" — À"B' , ou o =

[{a'— a") (Ioc,234)-Kô'— 6") (Iôc,234)l \(a'-a") (ïa&,134)~(c'— c") (Iôc,134)] [(a'-a") (Iac,134)-f-{&'-&") (I&0,184)] {(a'— a") (IaJ,234)--(c'--e")(IM34)] ;

ou bien , en développant , et en réduisant

o = {a'— a") [Ia&,134) (I«c,234) — (I«j&,234) (Iac,134)] h. \b'-b") [lab,m) (I5c,234) — (Iafc,234) (L&c,134)] + (c^— o") [lac, 184) (I6c,234) — (Ioc,234) (IZ»c,134)] ;

équation qui est la même que celle que nous avons trouvée , art. 6 , et que Ton transforme au moyen de l'équation (G) du $ 1 , en

o= (a'— o") (af,,^a^)^(b,^bf')(b,f^b^)^(cf^cf/){cm^c^).

Cette équation , qui est indépendante de la position du point M , nous apprend que la ligne m' m" ne saurait être parallèle à I II , à moins que cette arête ne soit dirigée rectangulairement sur III IV. Et d'une manière analogue , la ligne m' mf" ne saurait être parallèle à I III , à moins que celle-ci ne soit dirigée rectangulairement sur II IV. Nous en concluons que le plan m' m" m'" ne «aurait être parallèle à la face I II III à moins que le tétraèdre ne soit assujetti aux conditions des théorèmes précédens.

18. Le système de coordonnées qui a servi de base aux recherches précédentes est très-propre , comme on l'a vu , à faire ressortir les propriétés des arêtes du tétraèdre , et des angles que celles-ci forment mutuellement. Mais quand il s'agit , par exemple , des relations des angles d'inclinaison des faces sur les faces , ce système ne sera plus de la même utilité , et il conviendra alors mieux de déterminer les élémens du tétraèdre d'une autre manière que je vais maintenant exposer.

D'abord, si d'un point quelconque pris au dedans d'un tétraèdre on abaisse des perpendiculaires sur deux faces quelconques, l'angle formé par ces deux perpendiculaires complétera l'angle d'inclinaison des faces à deux angles droits. (J'entends ici par angle d'inclinaison des faces, l'angle formé par les faces mêmes, sans que l'une d'elles soit prolongée. Cet angle peut donc aussi être obtus.) On peut donc aisément substituer la recherche de ceux-là à celle des angles d'inclinaison des faces*

Supposons par conséquent que l'origine des coordonnées soit au centre de la sphère inscrite au tétraèdre. Les perpendiculaires abaissées de ce point sur les quatre faces seront donc toutes égales entre elles et au rayon de la sphère (soit r). Nommons a! 0', y' les cosinus djes angles que fait la perpendiculaire abaissée sur la face II 111 IV avec les axes X, Y, Z; «", 0", y" les cosinus des angles que fait la perpendiculaire abaissée sur I III IV avec ces trois axes ; et ainsi de suite. (Le cosinus de l'angle formé par ces deux perpendiculaires sera donc= ai a" -*- fif 0"-*- y' y" sas [là], et équivaudra au cosinus de l'angle d'inclinaison des faces II III IV et I III IV pris négativement.) Soient de plus m', n'9 p' ; m", n", />"... , les coordonnées rectangulaires des points d'intersection des perpendiculaires avec les faces II III IV, I III IV.... On aura d'abord :

r = m -+• n -\-p =iw •+- n -4-jo =#t -\-n -t-jp — miv* 4 niV -f-piv» ;

1 ==a'2 + 0* + y" ==*«"* -+-0"a h- y"2 = *'"a -*- 0"'a -+- y"'2 = «*▼■ -+- 0*va -4- ?"* ;

et puis

m' =a raf 5 m" = rx" ; m"' = r*"' ; m™ = rofiv ; n' = r/3' ; n" = rQT ; n"' = rff" ; n" = rfl" ; p' = ry ; p" = r y" ; p"' = ry'" ; p*v — rriv.

En considérant que les faces passent respectivement par ces points et sont perpendiculaires sur les lignes qui joignent ceuxci à l'origine des coordonnées, on trouvera, d'après le probl. V, en y faisant les substitutions convenables , et en divisant par r:

Pour la face II III IV, l'éq. o = r — a! os — &y — y'* ; Pour la face I III IV, l'éq. 0 = r — a" m — &'y — r"*,' Pour la face I II IV, l'éq. o = r — a'"x — &"y — y"'* ; Pour la face I II III, l'éq. o=:r — a,™x — &™y — y™*.

Rien n'est plus facile maintenant que de tirer de ces équations les coordonnées des sommets I, II, III, IV* En effet, ces points sont respectivement les intersections des trois plans I II III, I II IV, I III IV, des trois plans I II III , I II IV, II III IV, et ainsi de suite. Les coordonnées a', b'9 & du sommet I résulteront donc des équations :

o «a r — *'V — 0'h' — y"c' ; 0 = r — a'"a' — &"V — y'V ; o es r — orra' — Q^b' — y*V 5

qui nous fournissent (§1, art. 6) :

rfB+fM,,vH. (I*y,234) (l4S,«34)

et nous trouverons semblablement

(Ifr.lM) , r(I.y,134) (1^134),

(Igy,123) (I*>,123) (1*0,123)

19. Essayons maintenant d'exprimer sous cette nouvelle forme les conditions qui ont lieu si les perpendiculaires abaissées des sommets du tétraèdre sur les faces opposées se coupent en un seul point. Ces conditions sont complètement données par les équations :

o==(a'— a") (a'"— a")-»-(fc'— *")(&'"— fcv)-t-(c'— c") (c'"— c");

o = (a'— o^)(a"— a'v)+(A'— &'") (&"— fcnr^(c' <,'")(<>"— c").

Or, nous trouvons d'après l'art, précédent :

rL(^y,234) («/3y,134)J

(Ij3y,234) («gy,134) — (T/3>,134) (agy,234) — r (43 r, 134) («/3y,234)

Le numérateur de cette expression fractionnaire est évidemment de la forme de l'équation (H) du § I ; on tirera donc de celle-ci , par une substitution convenable :

, (l«gy,1234) (/3y,34)

et nous trouverons semblablement

(L*/3y,1234)(ay,34)

(tfi3y,134)(*/3y,234), (I*/3y,1234) (a/3,34)

(*0y,134)(«/3y,234) ' Tom. X. 19

et puis

r, ft.„ , r(ltfr,l»*)(«y,»), («/^i^H^m)'

(Igflï,1234) («0,1* ) («0y,123)(«0y,124);

d'où l'on tirera d'abord

o = (a'— o")(a"'— o,v) -+- (*'—*") (V— Jnr)+(c'—^)^w 0rv) =

(I^y,1234)?[^y,12)(gr,34)+(«y,12)^y?34)-4-(^12)(^3A)] m (*0y,123) (*/3y,124) (*fly,134) (*|3y,234) '

et puis

o = («0,12) («0,34) -*- (*y,12) (ay,34) -*- (/3y,12) (j3y,34).

Cette équation se transforme, au moyen de l'équation (J) du §1, en

Maïs nous avons déjà vu que la fonction [13] =? «V" -t- ff&" •+- y' Vm équivaut au cosinus de l'angle formé par les perpendiculaires abaissées sur les faces II III IV et I II IV ou bien au cosinus de l'angle d'inclinaison de ces faces pris négativement; du reste, il est palpable que les fonctions [24] , [14],... ont des significations semblables.

Désignons maintenant les angles d'inclinaison des faces par les arêtes suivant lesquelles ces faces se coupent ; de telle sorte que l'angle d'inclinaison des faces II III IV et I II IV soit représenté par (II IV); l'angle d'inclinaison des faces I II III et I III IV par (I III), et ainsi de suite. À cause de cette nouvelle désignation , on aura[13]=— cos. (II IV) ; [24]= — cos. (I III), etc., la dernière équation peut donc s'écrire ainsi

cos. (IIH). cos. (II IV) = cos. (I IV). cos. (II III).

XATUfcMATIQVE ET PHYSIQUE. 279

Enfin l'équation

o=(a'^'')(a"^")+(b'--b'")(V'— &'v)(c'-c"')(c"— c") nous conduira à

cos. (I II). cos. (III IV) = cos. (I IV). cos. (II III).

Nous pourrons donc établir le théorème suivant : Théorème XII. — Si les perpendiculaires abaissées des sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées se coupent en un seul point , le cosinus de V angle d'inclinaison de deux faces quelconques multiplié par le cosinus de l'angle oV inclinaison des deux autres faces , sera une quantité constante.

20. L'analyse de l'article précédent nous fait encore connaître une propriété générale des tétraèdres , d'autant plus remarquable qu'elle a beaucoup d'analogie avec la propriété trèsconnue du triangle plan, que les côtés de tout triangle sont dans le rapport des sinus des angles opposés. En effet, puisque I IP = (a — a")2 -*- (*'— i'T -*- (C'~CT ; les formules de l'article précédent nous donneront

ra(I*/3r,lâ34)' (0y,84)'];

(*/3y,134)X*/3y,'234)a LV ^ ; \n t v .» y ji

mais, puisque d'après l'équation (K) du § I

(«0,34)' + (*r,34)' + (/3r,34)* = [33] [44] - [34]' , et que

[33] = *"'"-*- 0"'s'-*-y"'a==l; [44]=a"a-*-^aH-rIV'=== 1 ;

[34]= — cos. (III); on trouvera

111 = v ^— -• sin. (III ;

de même , on trouvera

MIY== ,/ffi;IM4> si„.(HHV);

¥ ' r(Lx,3y,1234)

1111 - (^,m) (^234)' silu(IIU>'

r(Lx/3y,1234)

on en conclut sans difficulté

I IL III IV : I III. II IV= sin. (I II).sîn.(III IV) : sin.(I III) sin.(II IV) ;

et Ton voit qu'on trouverait semblablement

I II. IIIIV : IIV.I1 III=sin.(I III).sin.(Il IV) : sin.(I IV). sin. (II III).

On aura donc le théorème suivant :

Théorème XIII. Dans toits les tétraèdres le produit de deux arêtes opposées sera dans un rapport constant au produit des sinus des angles d'inclinaison des faces qui se coupent suivant ces arêtes.

Ce théorème peut encore se démontrer d'une manière plus élémentaire. Nommons comme plus haut (art. 5), V le volume du tétraèdre , a', a", a'", a™ les aires des quatre faces II III IV, I III IV , I II IV, I II III. Du sommet III abaissons la perpendiculaire III A sur la face I II IV (a"') et la perpendiculaire III À' sur l'arête I II; cette dernière perpendiculaire se trouvera donc dans le plan I II III (aIV) , et nous aurons évidemment