IIV.HIII^IH.niIV8:"-^^8^^; sin. (IH).sin. (HIIV

il viendra , en substituant ces valeurs , et en réduisant

o = sin. (I II). sin. (III IV). cos. (1 11,111 IV) — ■ sin. (I III). sin. (H IV). cos. (I III,II IV) h- sin. (I IV). sin. (II III). cos. (I IV,II III).

Cette équation semble présenter dans ses signes une espèce d'anomalie qui provient de ce que les directions des arêtes n'y sont pas déterminées convenablement. Mais on la rendra facilement symétrique, en faisant dépendre les directions des arêtes les unes des autres de la manière suivante.

Supposons que deux arêtes opposées (A et B) soient dirigées chacune de Tune quelconque de ses extrémités vers l'autre, et distinguons ces extrémités par les noms de premiers et de seconds sommets* Ainsi donc , si par exemple , I II est dirigée de I vers II, I en sera le premier , et II le second sommet.

Les arêtes qui joignent l'une le premier sommet de A au second sommet de B, l'autre le second sommet de A au premier sommet de Z?, seront elles-mêmes opposées entre elles. Admettons que les sommets de A soient les premiers sommets de ces arêtes

*) Cette équation se trouve dans le mémoire cité de Carnot, p. 20. Le même auteur se sert aussi du signe I II, III IV.

et que les sommets de B en soient les seconds. Les directions de cette seconde paire d'arêtes opposées seront donc déterminées au moyen de A et de B , et serviront elles-mêmes pour déterminer les directions de la troisième paire.

Par conséquent , si nous admettons les arêtes I II et III IV, la première dirigée de I vers II , la seconde de TU vers IV, il en résultera que les arêtes I IV et II III sont dirigées , la première de I versIV, et la seconde de II vers III; et de là il résulte que les arêtes I III et IV n sont dirigées, la première de I vers III, et la seconde de IV vers II. Le cosinus de l'angle formé par les directions de ces dernières arêtes sera donc cos. (I III ,IV II; = — cos. (I m ,11 IV) ; et nous aurons

o = sin. (I II), sin. (III IV). cos. (I II,III IV) -4- sin. (I IV). sin. (II III). cos. (1 IV,II III) -+- sin. (I III). sin. (II IV). cos. (I III,IV II).

22. Je viens maintenant à la solution d'une question qui a déjà été traitée par Garnot (probl. XXII du mém. cité) , et qui consiste à trouver la relation qui doit nécessairement avoir lieu entre les six angles d'inclinaison des faces sur les faces. Je la donne ici comme une preuve de l'utilité avec laquelle on peut employer en beaucoup de cas les fonctions de la forme (a&c.r, a/3y.../?), et comme un exemple de la marche qu'on peut suivre à les développer et à les transformer. Du reste , une comparaison superficielle de la méthode de Garnot et de ce qui va suivre suffira pour montrer qu'il n'y a aucun rapport entre les deux solutions. Ce savant distingué fait dépendre la question d'une longue suite d'autres problèmes qui sont très-remarquables , et peuvent être de beaucoup d'utilité pour la géométrie analytique.

Pour entendre la solution suivante, il est bon de se rappeler que , si l'on projette orthogonalement une figure plane sur un autre plan quelconque, l'aire de la figure projetée sera égale à l'aire de la figure même multipliée par le cosinus de l'angle aigu d'inclinaison des deux plans. Or, il est visible que ,

284 COBRESPONDANCE

si l'on projette' trois faces d'un tétraèdre sur la quatrième (soit^)j il y aura deux cas : ou la projection du sommet opposé à A sera comprise dans cette face, ou elle sera située en dehors. Dans le premier cas, la somme des trois faces projetées équivaudra à Taire de A ; dans le second cas , les projections de deux faces seront situées hors de A , et la troisième face projetée moins la somme des deux premières faces projetées sera égale à Taire de A. On vérifiera aisément ces propositions , en considérant que les faces projetées ont chacune un côté commun avec le triangle A , et que la projection du sommet opposé à A leur est commune à toutes les trois.

Mais puisque les angles d'inclinaison de la face A sur les faces à projections extérieures sont évidemment obtus , et que , par conséquent, les cosinus en sont négatifs, il s'ensuit que dans les deux cas, Taire de la face A est égale à la somme des trois autres faces, multipliées chacune par le cosinus de son angle d'inclinaison sur la face A, Ainsi donc, si nous nommons, comme plus haut, a', a", a"', olV les aires des quatre faces II III IV, I III IV, I II IV, I II III , nous pourrons établir

a' = a", cos. (III IV) -4- a'", cos. (II IV) -4- a™, cos. (II III) ;

a" = a', cos. (III IV) -4- a'", cos. (I IV) h- a", cos. (I III) ;

a'" = a'. cos. (HIV) -4- a", cos. (I IV) -4- a>*. cos. (III);

<*":=:«'. cos. (II III) -4- a", cos. (I III) -4- a'", cos. (I II);

or, si nous faisons , à cause de la symétrie ,

— I = A' ;ço8.(IIIIV)=B' ;cos.(IIIV)=C' ; co8.(II III) =D' ; cos. (III IV)= A" ; — I =B"; cos. (I IV) =C" ; cos. (I III) =D" ;

cos. (II IV) = À'"; cos. (I IV) =B '; — I =0'"; cos.(I II) = D'" }

cos. (II III) = A1V ; cos. (I III) =BÏV; cos. (I II)=CIV; - I =DTV;

ces équations se tranformeront en

o = AV

-4- A" V" -4- A^aiv .

-4- C"V" -4- Oa*v ;

h- D"'a'" -4- D"wv ;

mais si nous multiplions la première de ces équations par (BCD,234), la seconde par — (ACD,234) , la troisième par -*- (ABD,234) , la quatrième par — (ABC,234) , et que nous fassions la somme des équations ainsi multipliées, il viendra © = a' (ABCD,1234), ou bien

o = (ABCD,1234);

ce qui est l'équation de condition qui lie les six angles d'inclinaison des faces. IL nous reste à en faire le développement sous des formes plus usitées. Isolons d'abord dans l'expression (ABCD,1234) la base A, et substituons les valeurs de A', A",... ; il viendra

(ABCD,1234)= — (BCD,234) - cos. (III IV). (BCD,134)

-t-(cos.(H IV).(BCD,124)-cos.(II III).(BCD,123).

Isolons maintenant la base £, et substituons les]' valeurs de B', B",..., nous trouverons

(BCD,123) = cos. (III IV).(CD,ô3>4-(CI>,13)-t-cos. (I IV). (CD,13) ; (BCD,124) = cos. (III IV).(CD,24)-h(CD,14)-*-cos. (I III). (CD,12) ; (BCD,134) = cos. (III IV).(CD,34)-cos. (I IV).(CD,14)-t-cos.(I III). (CD.13) ; (BCD,834) = — (CD,34) — cos. (I IV). (CD,24) -4- cos. (I III). (CD,23).

Si nous substituons ces valeurs dans le premier développement de ( ABCD, 1 234), et que nous rangions les termes suivant l'ordre naturel des exposans qui se trouvent en (CD, 12), (CD, 13).... , nous trouverons (ABCD,1234) =

[cos. (I III). cos. (II IV) — cos. (I IV). cos. (II III)] (CD,12) —[cos. (II III).-*- cos. (I III) cos. (III IV)1 (CD,13) -*-[cos. (II IV) -f-cos.(I IV). cos. (III IV)] (CD,14) —[cos. (I III) -4- cos. (II III). cos. (III IV) | (CD,23) -4cos. (I IV) -4- cos. (II IV). cos. (III IV)] (CD,24) -*-[(! — cos. (III IV). cos. (III IV)] (CD,34).

Enfin , si nous développons entièrement les fonctions (CD, 12) ,

(CD; 13).... , nous trouverons

(CD,12) = -4- cos. (I III). cos. (II IV) — cos. (I IV).cos. (II III) ;

(CD,13) = -*- cos. (II III) -*- cos. (I II). cos. (II IV) ;

(CD,U) = — cos. (II IV)— cos. (I II), cos. (H III) ;

(CD,23) = -4- cos. (I III) -4- cos. (I II). cos. (I IV) ; .

(CD,24) = — cos. (I IV) — cos. (I II). cos. (I III) ; (CD,34) = ■+- 1— cos. (I II). cos. (I H) ;

En substituant ces valeurs dans le second développement de (ABGD, 1234), en développant , et en rangeant, il viendra enfin

(ÀBCD,1234) = o =

1 — [C08. (III)3-4.C08.(IIIl)a-4-CO8.(IIV)3-4-C08.(IIIII)a-4.CO8.(IIIV)a