I III) 008. (II IV) X C08. (I IV). 008. (II III

Pour ne pas laisser de doute sur l'exactitude de ce calcul , je vérifierai cette expression par les exemples suivans. D'abord si trois des faces du tétraèdre deviennent cbacune perpendiculaire sur la quatrième, ou pour fixer les idées , si les faces III IV, I III IV, Il III IV sont chacune perpendiculaire sur la face I II III , le tétraèdre dégénérera en un prisme à base triangulaire, et les trois angles (I II , I III , Il IU) seront droits. De plus il est visible que dans ce cas les arêtes I II et I III , par exemple , seront chacune perpendiculaire sur l'arête I IV ; l'angle (I IV) équivaudra donc à l'angle II I III ; et l'on aura semblablement ang. (II IV) = ang. I II III ; ang. (III lV)=ang. I III II, d'où l'on conclut :

(1 IV) -i- (II IV) -i- (III IV) =11 I III -*- 1 II III -4- 1 III II = 180« ;

mais puisqu'on a

cos. (I II) = o; cos. (I III) = o; cos. (II III) = o ;

l'équation trouvée ci-dessus deviendra

o = l — [cos. (I IV)a h- cos. (II IV)a -*- cos. (III IV) '] — 2. cos. (I IV). cos. (II IV). cos. (III IV) ;

ce qui est, comme on sait, la condition trigonométrique entre trois angles dont la somme est égale à deux angles droits.

En second lieu , supposons que le tétraèdre ait un angle solide droit , par exemple en I. Les angles (I II) , (I III), (I IV) seront alors droits , et Ton aura

cos. (I II) » o; cos. (I III) = o ; cos. (I IV) =e o;

ce qui change notre équation en

0=1- [cos. (II III)a + cos. (II IV)a -f- cos. (III IV)a] ;

mais les angles (II III), (II IV), (III IV) sont les angles d'inclinaison de la face II III IV sur les trois autres faces; et ces trois dernières étant rectangulaires entre elles, la dernière équation renfermera l'énoncé de la propriété bien connue que la somme des carrés des cosinus des angles que fait un plan avec trois autres plans rectangulaires entre eux est égale à l'unité.

Note relative aux aires des faces et au volume du tétraèdre,

Povr. trouver les aires des faces d'un tétraèdre , Lagrange en calcule d'abord les arêtes , et en substitue ensuite les valeurs dans la formule connue qui exprime Taire d'un triangle au moyen de ses trois côtés. Mais puisqu'il suppose l'origine des coordonnées dans un des sommets , on comprend aisément que l'expression de l'aire de la face opposée à ce sommet ne peut être semblable à celle des aires des trois autres faces. Cette raison seule suffirait peut-être pour justifier la recherche suivante des

aires des faces , en supposant l'origine des coordonnées en an point quelconque de l'espace ; puisque dans ce cas les expressions des aires des quatre faces sont nécessairement semblables. Je crois d'autant plus pouvoir entrer dans quelques détails à l'égard de cette question , que ma solution est tout-à-fait différente de celle de l'illustre géomètre.

Je commencerai donc par rappeler la proposition que si Ton projette un triangle plan orthogonalement sur trois autres plans rectangulaires entre eux , le carré de ce triangle sera égal à la somme des carrés des trois triangles projetés (1.

Je projetterai en conséquence les faces du tétraèdre sur les trois plans XY, XZ, YZ rectangulaires entre eux, et se coupant suivant les axes des coordonnées X, Y, Z. Soit par exemple la face I II III; projetons-la sur le plan XY, et nommons À', A", A'" les projections des points I II III. Abaissons de plus des points A', A", A"' les perpendiculaires A'X', A"X", A'"X'" sur l'axe X, et supposons pour fixer les idées , que le point X' soit le plus proche de l'origine des coordonnées , et X'" le plus éloigné.

Les coordonnées de A', A", A'" seront respectivement a! , V ; a", &"; a"', &'", et nous aurons

A'X' = fc'; A"X" = &"; A'"X'" = V" ; X'X" = a" — a'; X'X'"=a'" — o'; X"X'" = a'" — a".

Le triangle A' A" A'" sera très-facilement exprimé au moyen

]) Cette proposition est une conséquence immédiate de la propriété déjà mentionnée que la somme des carrés des cosinus des angles que fait un plan avec trois autres plans rectangulaires entre eux est égale à l'unité. Si l'on considère le tétraèdre à un angle solide droit, on -voit facilement que les faces qui concourent dans cet angle sont les projections de la face hypothénusale. Le carré de cette face sera donc égal à la somme des carrés des trois autres faces. Cette belle propriété que Tinseau a publiée le premier (Mémoires présentés, t. IX) a aussi été découverte par l'abbé De Gua (Hém. cité). La démonstration qu'on vient d'en donner est empruntée au Dictionnaire des Mathématiques (Mathematisches Wôrterbuch) par George Simon Klûgel,t. III , p. 927.

des trois trapèzes ATTT, A'A'"X'"X', A" A'"X'"X" ; savoir : '

triangle A'À"A'" = =b (A'A"X"X'-*- k"A!''li"'X."—k'k'"X!"X')i

plus ou moins , suivant que le point A" se trouve de l'un ou de l'autre côté de la ligne A' A'". Or, puisque l'aire d'un trapèze est égale à la moitié de la somme des côtés parallèles multipliée par la distance mutuelle de ces côtés, il viendra triangle A' A" A'"=

± i [(a''-^')(&/+&'0+(o,''^,0(^'+^'')--(o,,/--«')(^+&'',)] = zp i l(a'b" —a"V) — (a'&'"— a'"b') + (a"&"'— a"'&")]

*= ^ i [(ab,W) — (o6,13) h- (a&,23)] = zp i (Ia6,l23).

Nous trouverons semblablement la projection de la face I II III sur le plan XZ = qp £ (lac, 123); et la projection de la même face sur le plan YZ = qp i (160,123). De là nous concluons enfin que l'aire de la face I II III =

i V4(Ia&,123)a -*- (Iac,123)a -*- (I6c,123)a].

On tirera facilement de cette expression celles des aires des autres faces, en y remplaçant les exposans I, 2, 3 par les exposans convenables ; Faire de la face II III IV par exemple , sera =

il/[(Ia&,234)9 h- (Iac,234)a -*- (I&c,234)'].

Il nous est maintenant très-facile d'établir l'expression analytique du volume du tétraèdre. Ce volume est, comme on sait, égal au tiers d'une quelconque des faces multipliée par la perpendiculaire qui y est abaissée du sommet opposé* Mais nous avons trouvé la perpendiculaire abaissée de I sur la face II III IV =.

, (lofa, 1234)

P ~ ± |/[(Iafc,234)a -4- (Iac,234)a -*- (160,334)'] '

nous trouvons donc évidemment le volume du tétraèdre == dr * (la6c,1234); c'est- à* dire égale à la valeur absolue de£(Ia*c,1234).

Si l'origine des coordonnées est dans un des sommets , par exemple en IV, les coordonnées aIV, frv, clv, s'évanouiront , et le volume du tétraèdre sera = db J (a5c,123) ; ce qui est la valeur trouvée parLagrange, quand on y remplace (abc, 123) par A* Remarquons seulement que le signe de cette expression doit nécessairement rester indéterminé , parce que rien n'indique si la somme des termes positifs de (a£c, 123) , ou de (Ia£c,1234) est plus grande ou plus petite que celle des termes négatifs , et que le volume du tétraèdre est toujours positif.

M. Gauss parvient (Disqnisitiones générales circa superficies curvas, p. 6) à la même formule pour le volume du tétraèdre. La démonstration très -ingénieuse que ce grand géomètre en a donnée, ne semble se rattacher au premier abord, qu'à des tétraèdres dont les trois arêtes montantes sont égales entre elles. Mais en faisant quelques substitutions faciles, on se persuadera, comme M. Gauss le fait observer lui-même , que la même for* mule exprime également la solidité d'un tétraèdre quelconque.

Userait assez facile de tirer de l'expression dz ± (abc, 123), oud= g-(Iafcc,1234)la valeur du volume du tétraèdre exprimée par les six arêtes. Lagrangeria pas achevé cette réduction, comme étant plus ou moins étrangère à son sujet ; mais il l'a si bien indiquée qu'un calcul assez simple m'a fait parvenir en bien peu de temps aux formules données par Carnot et par l'abbé de Gua. IL n'est donc point vrai, comme le dit ce dernier (p. 397), que le résultat de Lagrange ne coïncide pas avec le sien. Du reste, le reproche de l'obscurité qu'il fait à un géomètre dont tous les connaisseurs admirent la clarté et l'élégante analyse, doit paraître bien déplacé à toutes les personnes qui ont seulement parcouru le beau mémoire de Lagrange. Convenons toutefois que la forme sous laquelle l'abbé de Gua exprime la solidité du tétraèdre est la plus commode pour la retenir, et offre , par sa simplicité, et sa symétrie , un moyen facile de la soumettre au calcul.

MA THÉMATIQUE tT PHYSIQUE. 291

Extraits des observations journalières faites pendant trois années sur la déclinaison magnétique à Gœttingue (Voir la livraison précédente de la Correspondance mathématique)»