COS. S

réunit ces (rois propriétés; et d'ailleurs il est démontré dans l'introduction d'ftifar, qu'elle est équivalente à la suite infinie des produits qu'on voit dans féquation précédente. Nous pouvons donc établir l'équation

/du. oos. ax /• à. ^oos. (a^^^)— cos. 9 ^ ~- ^={/dflcos.fl--log.f— ^î^ i- \

de laquelle on tire

/dx.cos.as |/^sin.(aV^-l) /• Jfl. cos. a

!-+-*'■ . ■* o cos.(fflV/^)— cos.S

ir.-z .Iv.GoOgIC

MATMtVATIQBE » nT)ll}DB.

Mais OD a identiqueineiit

p-t-qcos.4 j q p-t-qcoi.i'

partant

/ds. cQg. oa» ît(/ — I. «D.faVCrij „ !+«' ^ 4

ActneUcakent j'iduerve qna la fgrniBle

/^-^^ = -=L= .rc. C,i„. „ iîLiiJiEE^ .//■H-IM.., V^Z? V S + PO», V'

et par oonsëqneDt .

. ««'■('"l^-i)-»o..( l/;^.|/zj)^i .ln.(.^'nj

AÎDM , il est démontre qu'on a

BS COMBirONDARCE

Si l'on obtervo maintenant que

fa.. 00..., 1 /"'^°" (°"-0

on en Gonclnra qae

Il est presque superflu d'ajouter que lei qaaatitës a et m doivent , toujours , être priseï positÎTement dans le second membre de cette équation.

(3). Or sait que ce résultat élémentaire do la théorie des intégrales définies est dû à Laplace. Parmi les applications dont il est susceptible, je cite la suivante : supposons construite la courbe dont l'équatiou est

da côté des abscisses positives seulement; après oela transportons cette même courbe du c&té des abscisses négatives. On aura formé par ]à une courbe composée de deux branchea parfaitement symétriques , qui ne saurait être représentée , à droite et à gauche , par l'équation y ^ e-^. Mais en écrivant

'do- COS. 0

'on anra la réritable fonction de x, qui , pour toute Taleor de x donne la même valeur de y , soit en prenant x positivement , soit en prenant x avec le signe négatif.

L;,.„-z.= bvGoOg[c

C'ait par du transfoiiDatioiifl de ce genre qu'on fitt disparaître les difficoltës inhérentes à la détermination des fonctions arbitraires dans les problèmes pbysico-mathématîqnei dépendans de l'intégration des équattoni aux différenoas partielles.

(4). En différentiant par rapport an paramètre a les deux membres del'éqaation (I),on obtient anssitôt

Ce résultat n'est pas anasi clair qae ceini dont il est ainsi conda : il semble qaa la formule devrait donner léro , lorsqu'on y fait 0 = 0. Hais , en faisant celte objection , oo ne réfléchit pas que si, pour ane valeur de a, même infiniment petite, on a -.0 peur la valeur de cette intégrale définie , on doit avoir -j i la limite de l'infiniment petit, c'est-à-dira lorsque a=!0. En d'antres termes, il faut entendre que, pour une valeur de a absolument nulle, la courbe dont l'ordonnée est

aurait une aire nulle ; mais que , pour toute valeur de a infiniment petite , cette courbe présente la singularité d'une aire constante exprimée par ~^, en la prenant depuis x ^ ù jusqu'à « = «s . Et encore faut-il entendre , que - exprime la difiëreoce entre la somme des parties positives et la somme des parties négatives qui constituent une telle aire.

Au reste, voici une autre démonstration de l'équation (S). L'intégration par parties donne

/xdx.ûn.as — x cos.ax ^ f , ' ^ • ' H — / cos.ax d. ■ :

m-i-x' m'-t-iE a o»/ «t'-t-*'

(erme du second membre devient nul aux deux

:,q,-z.= bvGoOg[c

<,scaa» : partant on a

«*-♦-»' a t/ (wi'-i-*')"

oa bien

/xdx.iiu.ax 3m' fdx.cos.ax I /^rfj

Or, en diffërentiant l'équation (1) par rapport à m, od obtient

On voit par là qne , n la quantité a est infinimmt petite , on forme la quantité finie ^,e par la différence de denx quantités infiniment grandes.

Et comme , avant l'intégratioD , on a l'équation

^ I xdx. sin. ax «,/''*• <"•*■ "* / *

ix, COS. I

il est clair que le second membre devient nul , oomme le premier , lorsque a = o .- car on a

f At \ r dx

f dx ^ 1 f* dx

aiTBtaarivn et m»iqDt, D'aprèa cela, il ne unnit 7 avoir aDcnna mode d'exiatenoe de l'équation (S).

(K). Actoellement on peat id»erTer ^'ayant

/M-advi sin. a« /^ dié.

on a antii l'équation

loi , rien ne limite la grandeur ou la petiteise da nombre a .donc , en le snppoaant d'abord infimment petit, et ensuite nul , on en conolora que

/de. lin, e T fix. I

En multipliant par ia lea deux membres de l'équation (1) et intégrant ensuite depuis a — ï 0 , on obtient aussitôt

Pour confirmer oe résultat d'une -uitro maniera, il suffit d'obserrer , que l'identité

/ÛK. sin. am ^ /^drfWH-^-jsin. «^

/(£>. sin. fliv /*sdx. sin. a«

fournit l'équation (K) en vertu des équations (S) et (4). L'éqnation (4) présente lui contraste assui frappant , lorsqu'on

bvGoogIf

w COMUFOtlURCI

la rapprocbe d« l'^uatîoa

Toutefois crtta tfqaation ne me paraît pas évidente : il est nëceMaire de la démontrer. Ponr cela j'obserre qoe s ëtant nn nombre positif, on a l'équation

Donc, en maltiplianl les deux nombres pardr. oos. ax et intégrant depuis x = o jusqu'à x = ca, on aura

/ / . ~>" f*dx. COS. ax ax. COS. ax J dp.e = / ,

ou bien

/j„ / . ~f" f dm. COS. ax ig>. J dx.e COS. ax=i

Hais on sait que

I dx.e COS. ax = — :

partant on a \

/ dx. COS. ax f pdp '

J '=J ^7— : =ilog.(«'+«')— iIog.<»' = w.

Au reste , l'infîni , dans cette sooimation, n'a lieu que dans l'espace compris entre 2=:oet:r=l:caren déTeloppant cos. ax et déterminant la constante arbitraire par un artifice particulier enseigné par Mascheroni, on obtient

/dx. C09. ax — = — 0,87721B 664901....

-log.a-H —

L;,q,-z.= bvGoOglf

La IraïucendaDle numérique 0,577.... peut être eiprimée , JOUI forme finie , par

J \ 1 — * log. xJ

et ensuite convergente, par

ËD mnltipliaiit la râleur précédente de ~ par dx no. ax et intégrant ensuite entre les mêmes limites, on aurait, àfauae de

/ Axe. sin. ax = — ' — ; J a'-i-p'

fdx. 8În. ax / adp x

nit une nouvelle ci es avoir ainsi eipc :es , je vais faire v □légrale définie

ce qui fournit une nouvelle démonstration de l'équation (4).

(6). Après avoir ainsi exposé la formule (I) et ses premières conséquences , je vais faire voir qu'il est facile d'eu tirer la valeur de l'intégrale définie

-ix. COS. e -H *' Il est d'alrard clair qu'on

du. COS. [a(ar — cos. fl) -t- o cos, 9] . . + (.-co.. .)■ '

donc, en posant jv — cos. ^ = y> les limites de y seront encore

a et + M ; ainsi, en remplaçant y par «, oa aura

dx.coB. (ax-t-a coi. s)

Or , il est ërident qoe

donc, ea doublant le résultat fourni par la formule (l), il viendra

^%/ l^ir.cos. fl-4-*' sin. S

J'ai placé le signe =]= devant le terme Sf . ooi. 6, pour indiquer que le résultat de l'iRtégration est le même dans les deux cas. En différentîant les deux membres de cette équation par rapport au paramètre a , on obtient

/7j / xdx.Biu.ax »'.siR.(4 + acos. fl) — «"■■ fl

.t/ 1 =F 3*- ooa. S + «' sin. S

De la tnèiue manière on peut obtenir l'intégrale

/^ rtfo. COS. diC

/ 1—2:1;. COS. fl -H *" ' car on a d'abord

(af — COS. S-4-co>. e)(i:c, coi.[a(:c — cos. S)4-<icos. e] sin'. 9 ■+■ (» — COS. S)'

«I comme, parla nature de ces limites, rien n'empêche dp

XATHtIATIQIII BT fVTSIgtE. 69

reB^laoer s — co«. 6 par a , il neodra

/ {s-\-tMi.i)ii.txa.[ax-*^atx>s. fl]

^ «in". (-!-«*

De là on tire (en snpprimaiit le» deux intégrales qui sont nallet) ;

A' •= COS. e. co». ( a 008. B)

/(£r. oos.

lin', a-f

/xdx. sin.

sia'. e +

- sin. (a COS. 9)

Si dans la valenr de A' on avait -t- 9> eos. 0 an liva de — &r COI. 9 , les doDi termes du second membre de cette ëqaalioD auraient un signe contraire : donc , en appliquant ici les formules (1) et (SJ, on trouvera

-. eos. (O+acos. e)

1 ^ 2a; COS. fl -t- *' gin. g

HainteuaDt il est clair que les formules (6) et (8} donnent

/((«(A-f-Rr) coi. ax l=p2x.«08.â-f-«'

^ — ^— : [AcoB. (scos. 9)±Bco9. (e-t-acos. e)],

et que de cette dernière formule on tire celle-ci:

MO), / ^fe(A-1-B3^)cos.a* / ds{k — Bx) cos. ax

c/ I— Sa;.cos.e-v.T' ^Z 1 + 2*. cos. 9 -H *'

-atm.6 . L- [\COS.(aC08.9} + BcOI.(9-4-OCOS.e)]i

(7) Cela posé, voici comment celte formule dM'ne l'intégralo définie

i dx. COS. as

qu'en doublant II at écrire

/As. COS.

D'abord j'observe qu'en doublant le* deux tuembres de cette équation , on peut écrire