Équation générale det courbes algébriques

Une ligne algébrique de l'ordre n, peut être généralement représentée par l'équation entre ses coordonnées rectangulaires que Toici ;

o =3 a -f- a'x -V- b'y ■+■ a"x* -t- b'!xy ■+■ c"y'' -t- ....

-t- a''3f ■+■ I^x'—'y ■+■ .... + BLFy"— ' -»- Ny"; . . . (I)

La valeur des quantités a, a', h' ,... sera déterminée dans chaque cas particulier. Ces coëfficiens représenteront donc ici généralement des quantités algébriques quelconques, qui poorroat jouir en outre de toutes les relations mutuelles possibles.

L'origine des coordonnées est un point entièrement arbitraire qaî peut se trouver en un point quelconque de la courbe , on partant ailleurs sur son plan. Dans la première snpposition , la constante a sera nécessairement = o,

La position des axes des coordonnées est également arbitraire. Si donc on remplace le système primitif de ces axes par on «utre quelconque ayant la même origine, qu'on nomme Ç ete, les coordonnées du point (:f, y) par rapport au nouTcaa système , et ft l'angle arbitraire formé par l'axe des x et l'axe des ^, on aura les formules connues

* ^ I COS. ft — V sin. fi; y e= £ sin. fi-^-v cos. /* ;

et si l'on substitue ces râleurs dans l'équation (1), on obtiendra une équation

bvGoogIf

S64 coiuuoriBAircx

relative au nouveau Byitème d'axes. Or si l'on réunit les termes de l'ëquatîon (I) en differena gronpes ; a, a's + h'y, a"x^ ■*-b"xy -t- c"y' , etc. , aelou leur degré par rapport aux coordonnée* X et y, on remarquera facilement qae la substitution des valenn de jk et y dans chaque groupe ne peut fournir de termes qu'an groupe correspondant de l'équation transformée. Il s'ensuit en premier lieu que a^ = a, c'est-à-dire que la constante a ne dépend que de l'origine des coordonnées, et nullement de la position des axes. Eu second tien , la considération des coôEEiflifins a\ et b\ qui seront respectivement

a/ = a' COS. fi -i- b' sin. ^ ; l^,e= — a' sin, ft + bf cos. fi;

fournira la relation suivante :

Si l'on mène par l'origine des coordonnées une droite faisant avec l'axe des ar un angle dont la tangente sait =: -i- ■^, , ceUe droite ne dépendra que de l'origine des coordonnées et sera la môme quelle que soit la position des axes.

Pour démontrer cette propriété , il suffit de faire voir que , en menant semblablemeat par l'origine des coordonnées nne droite faisant avec l'axe dea | un angle dwit la tan|;ente soit = -t-^ , les deux droites ninsi menées coïnciderwtt quelle iqne soit la valeur de l'angle fc, 11 fout donc qu'on ait , en noronant » l'uigle de la première droite avec l'axe des :r, i>'celnidelaseoondflavec l'axe des S,

tang. /A ri- tang. v'

u z= ^ M- 1.' on lang. » = : :

1 — tang. /t. tang. v

c'est ce qu'on vérifie en effet très-facilement, en observant que

et en substituant les valeurs de a,' et b,'.

La perpendiculaire à cette droite indépendante , élevée à l'ori-

:,q,-z.= bvGoOg[c

■AIBtUriQDE IT HT8IQEI. SBB

gise des coordonnées , sera é^Ieroent indépendante de la politioD des axes. Or , son angle avec l'aie des s étant 90'* 4- d , la tangente en sera ne — colang. v = — p .La propriété précédente sabsiitera donc encore, si l'on écrit — f? ou lûu de

On reconnaît aisément, d'après ce qui précède, quel genre d'asalfse il fant employer pour décoarrir les relations des coëffioiens de chaque groupe de termes , indépendantes de la position des axes. Hais il suffira , pour notre but , d'avoir indiqué ici la prtH priété précédente qui en est sans doute la plus simple et la pins importante, pour la théorie des courbes algébriques. Nous ajouterons encore qne cette même propriété cesse d'exister si l'on a en même temps a' ^o, b' =aa , ce qui entraîne a', ^ Oy b', ^0^ quelle que soit la ralenr de l'angle ft.

II. — Tangenfe menée au point de Ut amrbe amudM comme origine de* coordonnée.

Supposons que l'origine des coordonnées soit on point de la coorbe, et cherchons l'angle que fait la tangente menée en ce point aree l'axe des s. On sait que la tangente do cet angle relatif à on point quelconque (« , y] do la courbe, est = ^■ Si dtmo nous difiërentions l'équation de la courbe

ff=a'x+b'y-i-a"x' ■+-b"xy-\^' 'y ' +0" '« '-I-6' "«'y ^-c" 'xy'-*-d^"y^+ . . .

D0U9 obtiendrons facilement

dit B '

après avoir fait pour abréger

A=:a' -f- 3a"« -*- b"y + 3a"'«' + V>"'sy -t- c"'y' -+-... 8=6* +■ b"ce -t- 2c"y ■*- A'"*' -1- 2o"'«y -+- dd"'y' -*- ...

H ne s'aura donc qne de faire ici xi^O, y=Ot d'où il s'ensuit que la tangente de l'angle cherché est ts — p , en sappoiant

:,q,-z.= bvGoOg[c

S5fl coruifoudakci

que a' et V ne B'ëTanouiuent pas à U fois. On voit par là qua m l'on aisnjettit l'axe des x à coïncider avec la laogenle on avec la normale appartenant à l'origine de» coordonnées, on aura dant le premier cas l'équation de condition a':=o, et dans le second celle-ci b'^o.

Il est nécessaire d'insister sur la reroarqoe qne ce résultat ne s'applique qu'au cas oii les coéfficieni a' et b' ne s'éTanouisaeDl pas ■imatlanënient. Car, dans le cas contraire, la valeur de — ^ deviendra , en faisant x=o, y^o.

c'eit-à-dïre indéfinie, el n'indiquera nullement la coïncidence de l'axe des x soit avec la tangente, «oit avec la normale. Hais on tronrera alors toujours la véritable valeur de — g ■ ^° traitant celte quantité par la métbode qu'on emploie ordinairement dans la recherche des valeurs de / W = ". La lolntion de cette question eat très-simple, si les coëfficiens du groupe de termes au •econd degré (a", b", c") ne s'évanouissent pas tous ï la fois. Dans le cas contraire , elle sera plus compliquée; et elle le sera d'autant plus qu'il y a plus de groupes saccessils qui s'éranoaîssent par suite des conditions a':^o, b'^o,

m. — Bayon de courbure appartenant à l'origine de» coordomiaéu. — Point d'inflexion.

Cherchons encore la ralenr du rayon de coorbore appartenant au point de la courbe, considéré comme origine des coordonnées. Puisque la valeur de ce rayon deconrbare relatif an point (:f, y) d'une courbe quelconque est

:,q,-z.= bvGoOg[c

KliatKATIQDE ET FBTSIQOE. 3S7

faisons pour abréger

di.s=iutx-h âdtfi d^ = Qds -*■ ydy i où

x='^"-t-^"'x+...;li=h" + V)"'s +...; r=2c"+2c"'*-H...Î Noas obtiendrons par là facilement la valeur

AV— 3AB(3 + B'a

du rayon de courbure appartenant an point {a, y) d'une courbe algébrique. En faisant ici sa; o, y^o, cette valeur se rapportera à l'origine des coordonnées et deviendra

("" + ft")^

en supposant que a' et b' ne s'évanouissent pas à la fois. Or , si nous assujettissons l'origine des coordonnées à la condition que le rayon de courbure y soit infini, nous aurons évidemment l'équation de condition

qui devient, en supposant que l'axe des ir coïncide avecla tangente menée dans l'origine des coordonnées

Si l'on a an contraire en même temps a' = o, b'=o, ia substitution de x=o, y=iO dans l'eipression générale du rayon de courbure , fournira une eipression de la forme -. On ne peut donc plus admettre , en général , que le rayon de courbure soit alors infini dans^ l'origine des coordonnées , puisqu'il pourra également devenir, suivant lea circonstances particulières, une

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)K8 CDUUKHD&HCB

qnaotitë finio oa même évanoaissante. On pent remaniaer , ptr rapport à celte dernière circonstance, qae les conditions a' =30, i'=one laffisentpaigà la Térité , ponr indiquer qne le rayon de courbure loit nul dam l'origine dea coordonnéei , mais que ce point ne pourra jamais jouir de cette propriété à moins qne les conditions a'^o, b'^one soient satisfaites.

ProuTfms maintenant à l'égard du premier cas qoe, si l'équation de la Gonrbe est de la forme

t'ori(pne des coordonnées , loil 0, sera nécessairement an point d'inOexion. Rappelons d'abord que, dans notre supposition, l'axe des x coïncide avec la tangente menée an point 0 ; et admettons, pour fixer les idées, que l'une des parties de la courbe qui conconrent dans ce point, s'étende dn côté dea x et des y positives. Il ne s'agira d'après cela que de prouver qae l'antre partie doit nécessairement s'étendre du càté des s et des y négatives; c'est-à-dire que, en prenant sur l'une et l'autre partie un point assez rapproché de 0, et en admettant que l'un de ces points ait des coordonnées positives , les coordonnées de Tautre point sont toutes les deux négatives. Or, en mettant l'équation de la courbe sous la forme

b^y ■*- c"y' -^ ... + f (b"y •+- c"'y' -1- ...) ■+■ s'{b"'y ■*• ...) -t- ... = — a"V — a"ar* — ...

on reconnaîtra aisément qne le signe da second membre sera le même queceluîdosonpremter terme,— a"'x*, si l'on donne à* une valeur suffisamment petite , et qne dans la même supposition le signe du premier membre sera celui de I/y -t- o"y* ■*•.,., on bien de b'y, en attribuant à y une ralenr également assez petite. Par conséqoent les quantités — a"'^ et b'y seront de même signe ponr des valeurs saffisamment petites de x et de y; et puisque nous avons supposé qu'à une valeur positive de x correspond une valeur positive de y, il est nécessaire que — a'" fi

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HlTBtXATIQDe IT rBVRlfUI. St(6

H- b' «à^t également de mémo signe. Si donc nous attribnoiu k a une Taleur négative , la valeur correipondante de y le Km, paiement , pourvn qne ces deux quantités soient suffisamment petites; ce qa'il fallait démontrer ('.

IV. — Pointé d'ùttenection d'une traniverêale droite avec la courbe.

Passons luatotenant à k recherche des points d'intersection d'une transversale droite quelconque avec la courbe donoée par l'équation (!) Puisque l'origine des coordonnées est un point entièrement arbitraire , nous pourrons supposer , sans nuire à la généralité, qoe la transversale passe par ce point. Nommons donc fia tangente de l'angle arbitraire qu'ellefait avec l'axe des jr; les points d'intersection seront alors donnés par l'équation de la courbe et par l'équation y^t x de la transversale. Si donc nous faisons

(^ ^ 6"f + ... Ml»-' -i- N(" — a- J

les valeurs des abscisses des points d'intersection seront les radnes de l'équation

ot=aa -i- a'x -\- «"»' ■+■ ... -4- a"*". . . . (Il)

ce qai prouve d'abord que le nombre des points d'intersection est égal à celui du degré de la courbe. Mais on doit remarquer que , suivant les valeurs particulières des coëfficiens a, a', l/..., et de la quantité t, plusieurs des racines de l'équation (II) pourront devenir imaginaires , une ouplusieurs infiniment grandes; enfin

') Cette démonitiitimi inppaie qne le ooEfflcient a'" ne (oi( pu^0. Dans le cm contraire, l'origine dei eoordonnriei ne aéra qo'iin point ordi' nûre do l> conrbe, k moini qne a" ne *'d«taoniite également. Sn f^éaécal , l'origiDc dea coordonnée! ne lera nn point d'infleiion qne ti le premier terme de notre équation qui contient aenlemenl X, e*t d'nn degré impair.

L;,q,-z.= bvGoOg[c

S60 cotutroNDAircK

il se pourrait encore que deax oa un ploe grand nombre de

racines fusient égales entre elles. Ces deac dernières drconstan-

ces donnent lieu à plusieurs remarques qui troureront leur

appliiuition dans ce mëmoire. Il sera donc utile d'y insister un

iiutaot.

Et d'abord , on peut facilement proayer , sans entrer dans une discussion approfondie des branches infinies et des asymptotes des courbes algébriques, qu'aucune des racines de l'équation (il) ne peut devenir infinie , à moins qne le coefficient a" de son terme le plus élevé ne soit=«. En effet , si nous mettons celle équation sous la forme

il est clair que le produit de tontes les racines sera

Si donc il y en a une qui est infinie , nous aurons en même temps

ce qui exige évidemment a" ^ o. Du reste les (mcines seront données par l'équation

On voit par là que l'existence d'abscisses infinies on de branches infinies de la courbe est liée à la possibilité de l'équation

et qu'il y en aura en général autant que cette équation contient de radnes réelles et différentei) , nombre qui ne pourra jamais dépasser celui du degré de la courbe. En d'autres termes : on

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■ ATHtMATIQtlB ET rHTStQVI. 361

poarra généra lement mener par l'origine des coordonnéeB n droites (dont les nnei pourront se confondre, les autres être imaginairei) , qni ne rencontrent la courbe qu'en (m — 1) points à distance finie , et en un dernier point situé à l'infini {>. Nous ajouterons a cela que , en menant par no autre point quelconque les n droites jouissant de la même propriété , ces dernières seront respectivement parallèles à celles qui passent par l'origine des coordonnées. En efièt, soient a et ^ les coordonnées de ce nouveau point 0'; |, y, les coordonnées dn point {», y) par rapport aux deux axes parallèles aux axes des;F et des y, et se croisant an point (V. On aura :r^^-i- ii;y = r-i-0. En snbrtitnant ces valeurs dans l'équation (I), on obtiendra l'équation de la courbe relative aux nouveaux axes. Or, il est évident que le groupe de termes au degré n de l'équation transformée aura identiquement les mêmes coëEBciens que le groupe correspondant de l'équation primitive. Si donc on fait ici r= r|, l'équation correspondante à l'équation (11) aura pour dernier terme :

(o" + fc"r + ... +Mt«-' + Nt")|'',

oA il Isndra faire

Hais les eoëfficiens constans de cette équation étant les mêmes que ceux de l'éqoatitm n" = o, les racines des deux équations seront deux à deux égales ; et puisque ces racines expriment les tangentes des angles que font les droites respectives avec les axes

< ) C« n'ett que pour abréger que uona diions ici que lei droite* déterminée* par l'équatioD a" := g , rencontrent la courbe en un point infiniment éloigné II n'; a en effet que n droitea entiéiement déterminées qui puiuent réellement rencontrer U courbe en un point pareil ; dioitCB qui lerant dei atjmptotea ai ellea ne sont pas entièreiucat situéea à l'iafini.Or, on Ter» tout-ïi l'heure que tonlea le» autres droite» qui font cïanouif le coefficient a" ne iont que paiallélea à eellea-Ià, et ne renoonlrenl la courbe, n proprement parler , en aucun point inGniment éloigné.

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SOa COtlESFOIlSANCI

des X et des |, et qne ces axes sont en outre parallèles entre eu, il s'ensDÎt que les droites correspondantes & des racines idenliqnes des deux équations seront parallèles entre elles.

Ponr ce qui concerne les racines égales de l'équation (11), il fkatici distinguer deux cas. Ou cette circonstance provient d'ane valeur particulière de t, et indiquera que la ti-ansversale touche la conrhe , ou qu'elle passe par un de ses points doubles, tri> pies , etc. ; ou elle sera indépendante de la valeur de f, et indiquera que l'origine des coordonnées est elle-ménie un point double, triple,... de la courbe, selon que l'équation (II) a deux , trois ou plus de racines égales entre elles. Car l'équatiffli Qe= a + a'x ■+■ ^"x' + ... .+- a"f" ne saurait avoir pluBieon radoes égales, indépendamment des valeurs de «es coëfficiens, i moins que ces racines ne soient toutes = o. Notre équation prendra alors la forme o <= ai'-y^ h- ... -i- ^^ \ et l'on T«t que les points doubles ont pour oondîtiona les équations identiques

a'sso' a' ^ a' -^- h't x=s 0 f ou a' bso^ b' = o; auxquelles il Tqut ajouter les éqaatioDS

pour embrasser toutes les conditions des points triples; et ainsi de suite.

Relativement aux points d'inflexion que nous avons.considërés dans l'art, précédent, il est évident que, puisque les coèfficiens a' et b' ne peuvent s'évanouir simultanément, la quantité i/ ne sera pas^ o indépendamm^it de la valeur de (. Cette circonstance n'aura lieu que si t = — p , c'est-à-dire, si la transvernie touche la courbe au point d'inflexion. On aura alors en même temps a"^o, à cause de a" c" — a' b'b" ■¥■ b" a":=o^ ce qui signifie que le point d'inflexion est la réunion de trou pointt d'intersection, par rapport à sa tangente considérée comme transversale. Or , toutes les autres transversales passant par un

:,q,-z.= bvGoOg[c

MATfllXkTIQDI >T FBTSIQDI. MS

tel p<Hilt d'inflexion, rencontreront la courbe géoënlement en » ]K)ints distincts , le point d'inflexion lai-mème compris. Ce derniar aéra donc an point aimple ; nom Ini donnerons par cons^ queut le nom de point timpt* dUnfiexion, afin de le distinguer des aatres points d'inflexion dont les coarbes algéhriqnes peuTent être douées (>.

V. — Théorèm» de Newton, ef ton corollaire, le théorème de Camot,

Nommons raaintenantz', s",,,, s" les raoioei de l'éqaatîan (II), OB les abscisses des points d'intersection. Le produit en sera éri~ denunent égal â

- A"t + .... 4-Kr '

en le signe aupërieur se rapporte aux courbes d'un degré pair , et le signe inférieur à celles d'un degré impair. Or, si nous nommons m", z",... %" les segmens de la transversale interceptés antre l'origine des coordonnées et les points d'intersection , et qne nous admettions ces segmens comme positifs ou négatifs, selon tes valeurs correspondantes dex', 7",,.,.;c'est-à^ire selon ([ne les points d'intersection se trouvent de l'un ou de l'autre côté de l'origine des coordonnées , nous aurons

a' sa-i-af y"! ■+- t' , etc. ; et en nommant PO le produit de tous les s^mens , il vïendra-

'I La courbe donnée par l'équation ^' ^ s x^ piéaejite nn eiemplc d'nc piiut triple d'inflexion coïncidant itcc l'origine dca coordonnàei.

SappocoDR en outre une secoade traiurersale passant par l'origine des coordonnées etfaisant aT^ l'axe des t un angle dont la tangente soit = r. Si noos nommons P(^ le produit des segatem de cette nouvelle transTenale , nous aurons

PC) ^1 ■4-i' -N? g" -Hfc"T

ai

Ht" '

+ fc"T

... -H Nr"

- Tit" '

où l'on voit que le rapport P(0: PO ne dépend que des coëfficiens des termes au degré m de i'éqnation (I). Supposons donc un nouveau système d'axes parallèles aux axes primitifs , et se croisant en un point 0' quelconque dont les coordonnées par rapport an premier système soient a et fl. Soient aussi | et c les coordonnées du point {Sf y) par rapport an nouveau système ; nous aurons comme précédemment x =: ^ •*• a; y = v -t- $; el ia substitution de ces valeurs dans l'équation (I) fournira l'équation de la courbe relative au nouveau système. Or, nous avons déjà fait remarquer que, par suite de-cettesubstitution, les coëfficiens du groupe de termes au degré n ne seront en rien altérés ; si , donc nous menons par le point 0' deux transversales respectivement parallèles aux premières, et que nous désignions par nC) et n(^ les produits des segmens interceptés sur ces droites, nous aurons visiblement

n(') ^1 H- 1' y g" -H fc"T -t- ... ■*■ Kt"

n(-) ~ {^l -^ T^J ' a" + I>"t + ... ^ N(" ' par conséquent

Pco : p[T) = nW ; n(r).

Cette relation fondamenlale, connue sous le nom de théorème du

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atTHtHATlQDE IT FIII»IQUI. 26tî

iVwfoM , sur les appliqaëet parallèles des courbes a1gâ>riqae« exprime donc que, en traçant n valonté deux (rans ver sales parallèles à deux droites données , les produits des segmens de chacune deces transTersales interceptés entre leur pointde rencontre et leurs points d'intersection avec la courbe , sergnt dans un rapport constant.

Ou déduit de ce théorème très-factlement la propriété exposée pour la première fois à la page 292 , de la Géométrie de Poiitwn,par Camol. En effet, soit ABC un triangle situé dans te plan d'ttne courbe algébrique. Qu'on nommes', a", ...les points d'intersections du eôté BC , suffisamment prolongé , avec la cOQrbe; b'y b",... les points d'intersectiun du coté AC; c', c"... ceux du cdté AB. Qu'on mène aussi par les sommets du triangle les droites ka, B^, Cy, respectivement parallèles aux côtés opposés. J)n aura, en vertu du théorème de Neœton, et en considérant successivement les trois systèmes parallèles de droites : AC et Ao ; B^ et BC ; CÀ et CB ; pais ceux-ci : AB et Att ; BA et BC ; Cï-etCB; et enfin ces antres: ABetAC; BAet B^; CretCA; on aura, dis-je, après avoir nommé a' ,a",.,.; ff,0'...•,v'^'y"i•■■ ^ea intersections respectives des droites Aa, B0, Cyaveo la coorbe ,

A&'. A6"... Bd'. Bfl"... Cfc'. CA"... A»'. Aa"... ~ Bo'. Bo"... "^ Ca'. Ca"... ' Ac'. Ae"... Bc'. Bc"... Ç.y'.Cy"...

Ko,'. Ait"... ~ Bo'.lia"... ~ Ca'. Ca"... ' Ac'. Ac"... Bc'. Bfl"... Cr'.Cy"...

> AA'. Afc"... ™ B/r. B3"... ~ CA'.' CA"... ' équations desquelles on tire

> ' . .. AA'.AA".., Ac'.Ac"...

->..A.."...= . Co'.Co"... — . Bo-.B.-..,;

Cfi'.Cfi"... Bc'.Bc"...

BS'.B8",..«=-

°»'-B»"... Bt-.Bo"...

= ^ , ^ „ — Co Xo ... =

Ca'.Ca"... Ac'.Ac"...

, „ Co'.Co"... „ ,„ Cf. Ci'...

Bo'.Bo"... AS'.Ai"...

To». DL

bvGooglf

166 GOBBISMIIIBANCB

Or, en égalant les valeura de l'un qaelconqne dea trois prodniU A»'. A*"...,B/3'. B|3"...,Cr'.C>'"...;on trouvera dans toaslet cas l'équation

A'c.Ac"— Bfl'.Ba"... Cb'.Cb"... "Bc'.Bc"... " Co'.Co"... ' Afc'.AA"... '

qui est prëciiëment celle que l'illustre C!anu>f a communiquée à l'endroit cité.

La recherche de ces théorèmes étant trop éloignée du sujet principal de ce mémoire , je n'entrerai pas ici dans la discussign des cas particuliers et exceptionnels, qui offrirait beaucoup d'analogie avec ce que nous aurons occasion de présenter dans les paragraphes suiTans.On trouvera du reste beaucoup d'ëclaircissemens sur cette matière dans Vj4nalyte des tranacermle» par M. Poncelet.

su.

ïRoraitTE couELATiVB des rotnrs d iNTERSEcrion D'im tkanstebsili

DKOITI AVEC UNE GOCBBE ALGËBBIQDE.

yi. — Analyae de cette propriété. — Théorème de Cotes.

En désignant par P le produit de toutes les abscisses des points d'intersection , et par p la somme des n produits contenant ubacun (n — 1) abscisses pour facteurs, nous tirerons immédiatement de l'équation (11]

Or, les produits dont se compose la scmune p, sont respectivement égaux à

bvGoog[c

MATItHATIQDR ET ntSI^CE.

noQB aaroi» donc

par conséquent

Celte équation très-remarquable qui constitue une relation fort aimple, entre les abscisses des points d'intersection el l'anglu qae fait la transversale avec l'axe àe» x, forme la base de la démonstration de beaucoup de propriétés intéressantes des oourbes algébriques. Nons nous proposons dans ce mémoire d'en développer plusieurs qui, par leur généralité, leur simplicité et leur fécondité extrême, méritent d'être nommées fondamentales, ttous enrisageronsd'abord la relation entrelessegmens «',«",.... de la transYcrsale même terminés d'une part à la courbe , et de l'antre à l'origine des coordonnées. Si nous retenons les dénominations de l'article précité nous aurons z' ^ -t- z'l/l-+-t' , etc. ; par conséquent

Or, si nous déterminons sur la transversale un point tel que ta distance à t'origiae des coordonnées soit

«'est-â-dire , tel que la réciproque de sa distance à ce point soit égale a la somme algébrique des réciproques des segmens , et qne nous en nommions X et Y les coordonnées, nous aurons

:,q,-z.= bvGoOg[c

d'où il résulte

ou bien 0 = 0 -t- a'X ■+■ b'Y.

Celte dernière équation nous montre que le lieu géométrique des points(X, T) semblable meut déterminés anr toutes les tramversales passant par l'origine des coordonnées ou le pôle commun, est une ligne droite; propriété fondamentale dont on doit la découverte à Cote* et la première démonatratiun b Maclaimn, Nous l'énoncerons de la manière suivante :

Premier théorème fondamental. — Élnrit proposée une courbe algébrique quelconque , qu'on mène par un point fiie oa p6le, pris b volonté dans son plan , mais non situé sur son périmètre (* , une transversale droite quelconque dont les points d'interseclion avec la courbe se trouveront, dans le cas général, partie de l'un , partie de l'autre côté do p61e. Qu'on prenne aéparément les sommes des réciproques de tous tes segmens de la transversale compris entre le pôle et les points d'intenection , situés du même côté de ce point, et qu'on détermine sur la transversale du côté delà plus grande somme, un point tel que la réciproque de sa distance au pôle soit égale à la différence des deux sommes. Les points ainsi déterminés sur toutes les transversales passant par le p6Ie, seront en ligne droite.