VII. — Poiition» particulièrea de la transversale
Parmi toutes les transversales passant par le pAle , il peut y en avoir une ou plusieurs qui touchent la courbe , ou qui passent par un de ses points multiples ; d'autres pourraient avoir deux, quatre ou plus de points d'intersection imaginaires; d'antres enfin pourraient rencontrer la courbe en un ou plusieurs points situés à i'infini. Ces difiërens cas dont nous avons déjà parlé
iiTBiaiTtqim it rarsigui. Sft9
<eî-dessas, donnent lien à différentes reraarqnes importantes desquelles nons allons maintenant nous occuper.
Quant ans transrersales qui touchent la conrbe ou qn! passent par un de ses points multiples, nous avons d^jà vu que l'équa* Uon (II) aura alors un certain nombre , soit m, de racines égales. Il est donc évident qu'il y aura aussi *» segmens égaux , c'esl-àdiro que le théorème de Cotetse rapportera aux (« — m + I) points d'intersection distinct», en prenant m fais le segment aboutissant au point de contact ou multiple.
Quant aux intersections imaginaires, il est évident que l'équation (IIIJ, comprenant toutes les racines de l'équation (II), tant réelles qu'imaginaires , on ne pourra faire abstraction dans l'application du théorème, des segmens aboutissant n des points d'intericction imaginaires ; ce qui ne sera permis que dans le cas oà l'équation (II] est divisible par nn facteur x' ■+■ t', r étant une fonction de t. Car, en nommant ûs' et x" les abscisses des deux points imaginaires, nous aurons dans ce cas z' ■= + t V^ — 1 , at" = — T K— 1 t P*" conséquent
Si enfin ta transversale passe par nn point infiniment éloigné de la conrbe, on peut négliger celui-ci sans aucun inconvénient. En effet, la réciproque de l'abacisse de ce point étant alQrs=o, réqnation flll) doit également se rapporter aux (m— 1) autres points d'intersection, ce dont on se persuadera aussi en considérant que nous aurons dans le cas actuel a''=o, et que l'équation (III) se rapporte aussi bien Bux(n—1) racines de l'équation o ^ a -H a' *-+-... -H a"—' x"—' ; qu'aux n racines de l'équation o=^a A- ds -I- ,,. 4- «"iF".
Cette dernière circonstance conduit i une propriété des lignes du troisième ordre que nous présentons ici dans le but de montrer, par un exemple facile, le parti qu'on peut tirer du théorème de Cote», En voici d'abord l'énoncé :
Étant proposée une ligne du troisième ordre, ai d'un point
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S70 GOIftUM»iRGB
quelconque de ■on plan , loil 0 , nom menons lei troii transter' «aies droites qui la rencontreat chacune en an point sîtoé à l'iO' fini, les 8ÎE points d'inteneolion réels seront sur une ligne du second ordre.
£n effet, soient OU, ON,OP, les trois Iranarenales ; H', H", les points d'intersection de OU, N', fl", ceux de ON, P', F'oeox de OP. Si nous déterminons sur les transversales des pwaU w, n,f tels qu'on ait
J 1 JL.J. J L.J L J.
Om ~" OM' "^ OH" ' On "" ON' '*' ON" '' Op~ W '*' DP" '
en admettant tontes ces lignes comme poù^Tes on négatives selon qu'elles s'étendent de l'un ou de l'autre côté de 0, les trois pointa m, », p seront, d'après ce qui précède, en ligne droite. Or,imaginons une ligne du second ordre passant par cinq quelconques des six points d'intersection, soit M', M", M', M", P', et considérons le point 0 comme pôle à l'égard de cette courbe. Il est évident, en vertu de la construction, que les points M' et M" , ït'et N" seront maintenant les points d'intersection des transversales OM et ON avec la conique ; de plus la transversale OP rencontrera cette dernière an point P' et en un second point, soit P"'. 11 résulte de là que les points m et n et la droite mn auront la même signification pour la conique que pour la ligne du trwsîènie ordre; et puisque la droite mm rencontre la tranaversale OP au point p, nous auront en vertu du théorème de C^tea
Op OP' OP"'
d'où l'on conclut iinraédiatement que OP'" ^OP". Par conséquent le point P" sera un point de la conique passant par M', W, N', N", F.
VllI. — Potitûmt exe^tionntlkt du pôle. — Pôlea-cenlnê. Si nous envisageons l'équation oi» a +a'X+ b'Y delà droite
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HATBbUllQDI M niaïQEi. 171
définie dam le ûiéorème de Cotes, nous verrons Tacilement qne la tangente de gon angle avei; l'axe des x eatss — — . Elle lera donc parallèle à l'ane de» droites indépendantes dont nom avons parlé dans l'art. 1 , et perpendicalaire aar l'antre. Haii oe résultat devient illusoire si l'on a en même temps o'^o, b'=o, uns qae a=o. Or, la forme contradiotoire o^a que prend alors l'équation o^a -t- s'X -i- b'Y, nous montre que le théorème de Colea ne saurait s'appliquer à ce cas. Et en effet , ai nous remontons à l'équation (III) de laquelle nous avoua déduit ce théorème, noua obttendrona maintenant
et puis
indépendamment de la valeur def; ce qni explique complètement le raiaon de cette exception , et indique en outre que : la somme des réciproques des segmena situés d'un côté du pdle sera constamment égale à la somme des réciproquea des aegmens ntués de l'autre. On voit par là que tous les pôles aasajettis aux conditions a' ^ o, h' =s o, a = quant, réelle jouissent d'une propriété qu'on peut nommer , dans une acception étendue , propriété de centre. Nous comprendrons donc ces pAles sons la dénomination de pôle» -centres, et nous allons indiquer rapidement la manière de les déterminer, et d'en assigner le nombre pour une ligne quelconque de l'ordre n. Beprésentons d'abord l'équation de cette ligne par l'équation (1), l'origine des coordonnées étant nn point quelconque. Soint aussi a cl |3 lea coordonnées d'un point quelconque 0', et nommons € et u lea coordonnées du point [x, y) de la courbe par rapport aux deux axes parallèles aux axea primitifs, et se croisant au point 0'. L'équation de la courbe relative à ces nouveaux axes résultera de ton équation primitive en y aubetiluant tt-t-l, &■*• u au
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279 ctniRESFOiiDAifci:
lien de x et de y. Noui obtiendroiu donc
0 ^ o -f- o'a -4- fc'i3 -t- o"*' -t- .. .
-t-[o' + 2o":i^-... + Ma"-']Ç+[A'-+^r*-i-... + nNfl"~']u4-..,
Or, si le point O* ett un pâle-centre , il faut , d'aprèi ce qae nom venons de dire , que les coef&ciens de f et de u , soit a', , et b', , s'éTanouiisent d'eux- niènieB. Nous aurons par conséquent deux équations entre a et ^ qui suffisent pour déterminer ces qnanlites, et partant aussi tons les pâles-centres. Or, chacune de ces deux équations étant du de^é [n — 1), il yaura généralement (n— 1)' points satisfaisant aux conditions a' ^ o, &'=o. Biais ce nombre sera réduit s'il y a plusieurs points qui se confondent, ou qui ■ont soit imaginaires, soit situés à l'infini. 11 est aussi très-important de remarquer qu'il est possible que parmi tous les points réels dont les coordonnées sont données par les équations a', =o,b\ = o, il s'en trouve un ou plusieurs qui ne soient pas des pâles-centres. En effet , ces points exigent pour troisièfne condition que la constante
ne soit pas nalle. Si doue il y a un point demi les coordonnées substituées au lieu de ix et ^ font évanouir cette dernière quantité, ce point devra être exclu , et représentera an contraire un point double, triple, etc., de la courbe.
IX. — - Pétition» exeeptiomulleg dit pôle. — Pôles tiimia tmr la tourbe. — NouBtlhê propriétés.
Il existe un aatre cas plus général que le précédent , où le théorème de Cotes cesse d'être applicable, savoir quand le pôle est lut point du périmètre de la courbe. Car ce point sera alors luitnèmeundespointsd'intersection de la courbe et de la transversale, quelle que soit la position de cette dernière. Le segment respectif d«viendra par conséquent nul, et sa réciproque infinie; la
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MàTMbUTIqOK ET »T8IQIIt. S73
•omme des rëciproqnes des segnieiia le deviendra donc également ; circonstance qui est virible ment indiquée par l'éqnation (111), puisque d'une part l'abscisse du point d'intersection ctrincidant srec le pôle est nulle , oe qnî rend le second membre de l'équation (Itl) infiniment grand ; et que d'antre part on a nécessairement a ^o, par suite de la supposition que le pâle [ou l'origine des coordonnées), est un point de la courbe. Far conséquent le premier membre de l'équalioa (III) deviendra également inHniment grand , et nous ne pourrons plus en déduire le théorème de(7ote«,Or, il se présente ici naturellement la question si, faisant abstraction du p61e comme point d'intersection, on ne pourrait pas appliquer ce théorème aux (ft — l)aatrespoinls d'intersection? Pour éclaircir ce point important , il est nécessaire de reprendre l'équation (II) qui devient actuellement , à cause dea^o,
0!=a' jr-i- a" «' m- ... -i- ^ s"; équation dont l'nne des racines est ^ o, et se rapportera an pôle Ini-méme, et dont les (n—1) autres racines, on bien celles de l'équation
0:^ a'-t-«"* -1- ... -f-a" S'-', seront évideumientles abscisses y, tr", ...x"—' des (m — 1) points d'intersection dont il s'agit actuellement , nous aurons donc
«* «" ïB— i a' a' •+■ b't
Si l'on compare maintenant cette dernière équation avec l'équation (111), on verra de suite que celle-ci ne conduisit au
théorème de Cotes que parce que son premier membre , — ,
était une fonction linéaire de I. Or, cette condition n'étant pas généralemeul satisfaite dans l'expression
il s'ensuit qu'on doit répondre négativement à la question posée ci-dessus.
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Si cependant il existe «or le périmètre de la eourbe dei points tels qu'on ail, en les considérant oomme l'origine des coordonnées
il est évident qae tontes les transversales passant par œa poioti rencontreront la courbe en (n — 1] antres points jouissant de la même propriété que les n points d'intersection des traoïversales passant par un pâle quelconque, non situé sur la courbe.
Si nous recherchons de plus près la nature de ces points, nons trouverons facilement qu'ils ne sont autres que les points simples d'inflexion. En effet, si nous mettons l'équation de condition (a) sous la forme
nons aurons évidemment, puisque cette équation doit subsister indépendamment do la valeur de t,
Or, deux de ces équations suffisent pour déterminer A et B; si donc on en substitue les valeurs dans la troisième, on trouvera entre a' , b' , a", b", c" l'équation de condition que voici:
et qui est précisément celle des points simples d'inSeiion (m. 3) (■.
Si la courbe possède des points doubles, triples, ou plus généralement des points collectifs de m points, on trouvera par
') Ce Téaullnl eat BBaujelii Ji la même restriction que Doai SToni àé'ji notée dana I'btI. 3.
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lATBtH&TIQGI ET ÎBTSIQUE. S7S
une méthode aerablable le» condilions aniqaelles cet ptùnls doivent utiifaîre si toutes les (raniveraales qui y pasunt rencon* trent la courbe en («i— m) autres points jouissant de la propriété énoncée dans U théorème de Cotei. Nous ne nous arrêterons ici qu'au cas on l'origine des coordonnées est ud point collectif de fil — 2) points. L'équalion (II) deviendra alors
par conséquent les racines de Véquatio
seront les abscisses des deux points d'intersection distincts de l'origine des coordonnées , et il est TÏsible qne la propriété mentionnée subsistera généralement à l'égard de ces deux pointa , si l'on a a"— ' ^ (i -H B()a"— », c'est-à-dire, si l'équation de la courbe est de la forme
■■"ir -h ... -I- Ny"
= I + Aa + By -H -
Si cette condition est remplie dans un quelconque des points collectifs de (n — 2) points de la courbe , elle donnera lieu à plasieara conséquences dont nous signalerons ici les plus faciles.
D'abord : si l'on mène par ce point multiple trois transversales quelconques , ces six nouveaux points d'intersection seront SOT une ligne du second ordre. — Cette propriété se démontre par la même méthode que nous avons emplof oe dans l'art. 7.
Ensuite : si l'on mène par ce même point toutes les tangentes possibles , leurs points de contact seront en ligne droite.
Eneffet, soient M, N,... ces points de contact, et 0 le p61e ou le point collectif de [n — 2) points. On devra nécessairement considérer cbaque tangente comme une transversale dont les deux points d'intersection coïncident. Par conséquent , si nous déterminoos sur ces droites des points m, r,. . tels que 1 1 i
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o'esf-b-dire tels que Om s= i OM , Oi» = | ON , etc. , les points m, n, ... seront en ligne droite; d'où il s'ensait immédiatement qae les points M , N , ... le seront également.
1) est facile de voir que le nombre deoes tangentes ne saurait surpasser celui du degré de la courbe.
Si la courbe est une ligne du troisième ordre , le point collectir de (n— 2) points sera un point simple d'inQesion. Ce cas particulier a déjà été traité par UM. Poncelet et Cluule». On démontrerait aussi facilement à cet égard que ;
Si l'on mène par un point d'inflexion d'une ligne du troisième ordre (' , les trois droites qui ont chacune un point d'intersection situé n l'infini , les trois points d'intersection réels et dislincts du pôle seront en ligne droite.
PROnitTt COBBËLATr?E DES TIVGIHTIS KinËES AUX rOMTS D IHTIB*
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