X. — Analyse de cette propriété. — Théorème de Maclanrin

Les coefBciens a', a",... ne contenant d'autre variable que la quantité ( , on devra considérer les racines de l'équation o = a M- a' :r -4- ... -i- a" s" , comme des fontions de t. Si donc nous faisons

en ajoutant les accens conrenables, nous obtiendrons, en difiérentiant l'équation (III)

Cette équation dont le premier membre est tmo quantité con- ' ) Cei courbe» ne peuTent avoir qne des pointt «implet d'inflexion.

:,q,-z.= bvGoOg[c

■ATHtHÀTIQDI IT FlTaïqUE. S77

sUDte , est l'expresaton analyiiqac d'une propriëtë des tongenlM nienëes aux points d'intersection de la transversale avec la courbe , qu'il est facile de décoaTrir. D'abord ou sait que l'équation générale de la tangente menée en un point quelconque d'une courbe, soit {x, y), est

en désignant par § et u les coordonnées d'un point quelconque de la tangente. Or , puisque nous avons aux points d'intersection y = tx, nons parviendrons facilement à

l'éqnation de la tangente prendra donc la forme

et se rapportera avec les accens convenables à tous les points d'intersection. Mais il est visible que chaque tangente rencontrera l'axe desy en un point dont les coordonuces seront respectÎTcment.

Or, ces valeurs de u sont précisément les réciproques des termes dont se compose le second membre de l'équation (IV}. Si donc on se rappelle que l'origine des coordonnées et la position des axes sont choses entièrement arbitraires, on parviendra iramédiateroent an théorème suivant dû à MaclauTÎn.

Second théorème fondamental. — Étant proposée une courbe algébrique quelconque , qu'on mène par un point fixe ou pôle non situé sur la courbe , une transversale droite quelconque. Qu'on mène aussi it tous les points d'intersection de celte transversale avec la courbe les tangentes, et qu'on prolonge

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celles-ci jusqu'à leur renoantre avec une droite fixe et arbitraire poMant par le pdle. Si l'on admet les segmeni de cette droite fixe întereeptés entre le pôle et les tangentes comme positila ou n^^tifs selon qu'ils se trouvent de l'un ou de l'autre cftté du p6le; la somme algébrique des réciproques de ces segmeni sera noe quantité constante , indépendante de l'angle que fait la transversale avec la droite fixe.

Cette quantité constante est =: — — relativement à l'équation (I) comme équation de la courbe, et à l'égard de l'origine des coordonnées comme pâle , et de l'axe des y comme droite fixe.