Soit l'unité de mesure Le mètre

L'unité d'argent Le florin.

Le nombre d'années après lequel la matière couvrante dort être renouvelée n

L'épaisseur moyenne de matière couvrante à employer afin d'obtenir cette durée, dépendant de n, sera donc une fonction de ce nombre , et peut être représentée par p («) f («)

La valeur que In matière couvrante a conservée par mètre carré , à l'époque où. le renouvellement de la toiture est devenu nécessaire c

Le prix du mètre cube de matière couvrante sur le lieu de construction o

Le prix de la main-d'œuvre du mètre c.irré en florins m

L'anité plus la fraction du capital représentant l'in- To«. IX. 21

314 coHK»o)iB*nci

térét BDDiiel , au

100 + l'inlérëtp. -/,

Le prix de l'entretien annuel moyen par mèlre carré . . . h La dépense première par mètre carré sera ,

m + pr(n) ; La dépense à faire tons les n ans sera ,

m +pp(n} — r.

Soit cette dernière dépense d, et cherohons le capital t dont les intérêts accumulés avec les intérêts des intérêts produisent d toutes les n années.

La valeur dii capital et des intérêts après ce temps est

r"ar; La valeur des intérêts accumnlés est donc r-s — x = x{r' — i).

Cette râleur devant être égale à doaa,

d ' — f*— 1' substituant la valeur de d , on a

^ w+py(ti) — p r"— 1

Le capital représentant k est

:,q,-z.= bvGoOg[c

lATDtlATIQDI K PSTSIQUl.

Aiosî en désignant par D la sorame des trois capitam, d coDBtraction , du rcDou Tellement et de l'entretien , on aura

*-pf(»)-

18. L'expression de la dépense de la charpente n'entre pas dans cette équation ; outre qu'elle dépend de la forme particulière de l'édifice et que les périodes de son renouTellemeat doi- Tent coïncider avec celles de la toiture , on verra ci-après par les Minitna, résultant de l'équatîon précédente , que l'introductloo de cette expression l'aurait compliquée inutilement, parce que les dimensions de la charpente ne peuvent être indéfiniment restreintes comme celles des matières qui la recouvrent , les pièces de bois devant , abstraction faite de leur résistance , conserver leurs assemblages.

19, Pour que la dépense D soit la pins petite possible, il faut, d'après la théorie des maxima et des mintma, que sou coefficient différeuliet par rapport à m soit =0; on aura donc, en faisant attention que D et ifc sont aussi des fonctions de n, et en désignant les k^arithmes népériens par [

20. Telle est l'équation qui déterminera n lorsque l'expérience aura donné la forme des fonctions f (») et c. On connaîtra ainsi l'épaisseur f (n) de matière à employer, et en substituant CCS valeurs dans l'équation (A) , on on tirera la valeur minimum deD.

21, La forme delà fonction ;>(») peut être représentée en gé-

nérni par

coHRisronuÂiici

' -1- e"'«^ H- etc. ,

sanrà déterminer e eW" par l'expérience. Si l'on se borne aux deux premiers lernies de la série , on aara

alors e sera l'épaisseur, qui renouvellement ait lieu, et tière. D'après cette supposition , qi tiblemenl de la vérité , l'épaisseu deux parties ; l'une destinée à être le soleil, ou toute autre cause, ce durée ; l'autre desl rîablo , c'est l'épais:

peut plus diminuer sans que le

sera l'usure annuelle de la ma-

s'éloignera qu'impercep-

tallique se composera de

par l'oiidation , la pluie,

i est proportionnelle à la

maintenir la partie précédente est inva-

durisrait à elle seule qu'un temps

lellement court que l'on peut coDsidérer la toiture comme détraile lorsque l'épaisseur totale y est parvenue.

â2. Quant à c ou peut le regarder comme égal à la râleur de la partie métallique restante , plus une fraction a de celle qui a été détériorée : car en général la quantité de métal oxidé , qu'on retrouvera, sera pins coDsidérable lorsqu'on aura employé une plus forte épaisseor.

Posons donc

= pe -i- pasn ;

substituant ces valeurs dans l'équation (B), réduisant et ordonnant par nippoi't à h, on aura

/■ mlr \

r-"(^] + a.H— -f /r(l-« njr" + , = o . (C).

:,q,-z.= bvGoOg[c

RATlIËHlTiqUE i

msuTAiioKS sut US MATDÏMts , DONT l'iruusox i ufiatkk m <:<

5TANTB, ET n^isOLIATS O^N^alUXDeLA FOKUDLB IlKLATITEHini A CCI DOHT l')^PAISSSOK ESI V

S3. Les équations (B) et (C) peuvent s'appliquer aux dJTerses matières couvrantes, même à celles dont l'épaisseur aurait une influence nulle ou contraire sur la durée. Dans le premier cas on poserait e' = 0, et dans le second e' serait négatif.

S'il s'agit par exemple d'une couverture en tuiles ou ea ardoises , et si l'on suppose que ces tuiles ou ardoises ne s'usent pas successivement , mais se trouvent tout à coup hors de service aa bout d'un certain nombre d'années , déterminé pour un même climat ; si l'on suppose de plus que ce nombre ne peut être aagmenté ni diminué par on surcroit d'épaisseur de la matière couvrante , soit à cause des propriétés particulières de cette matière, soit parce que des motifs résultant de la nécessité ou d'une longue expérience ont fixé a priori cette épaisseur, on fera dans l'équation (C) e' = o, et l'on en déduira n=s: co .

Or l'épaisseur de matière à employer est

elle est donc égale à l'épaisseur fixe e, plus une quantité infiniment grande multipliée par une quantité infiniment petite.

En déterminant la vraie valeur de cette quantité par les règles ordinaires de l'analyse, on trouvera , à cause que le logarithme d'unnombreinfiniment grand divisé par ce nombre est égal à zéro,

l'épaisseur à employer se réduit donc à e et la dépense totale à

:,q,-z.= bvGoOg[c

818 coniEsrtmDXHci

34. Avant que de passer à l'eiamen partïcalier de Temploi des diverses matières , on peat tirer de l'équation (C] quelques Conctusioiig générales applicables à tontes sans distinctions.

A mesure que l'intérdt de Tarant diminue , l'équation (C) »o rapproche de l'expresMon

et elle l'atteint, lorsque l'intërét est nul; elle denentalorsO^O, nest indéterminé, etDiafini.Ceqoi Tait voir qu'il eal impossible de représenter le coàt total de la constrnoUon et des renouTellement par une somme finie.

S5. A mesure que le rapport du prix de la main-d'ceuTre an pris de la matière annuellement usée devient ptiu petit, l'expression ^ diminue, et elle devient nulle en même tempa qae ce rapport ; l'équation devient alors

r"[lM.«^«/r(|—e)]r"4.a = o,

et elle donne n se o.

Il faut donc dans ce cas employer les plus petites épaissear» et renouveler le plus souvent qu'il est possible.

26. On a déjà vu que dans le cas de a'so l'épaisseur ne' était aussi zéro ; mais il suit aussi de l'équation (c) qae «• augmente successivement a mesure que e' diminue. Cependant les degrés d'augmentation sont beaucoup moindres que les degrés de diminution, d'où il suit qu'avec nn métal deui, trois, etc. fois p! a» résistant , l'économie prescrit de construire un toit qui dure davantage, mais qn'ilne doit pas durer deux, trois, etc. fois plus que celui auquel on le compare, ou en d'autres termes que l'augmentation de durée ne doUpa* être proportionnelle à l'augmentation de rinittance.