f-Hit
Donc, la formule (10) donnera dans le premier cas ;
cos, 2wiT -1- X. COS. (2m -t- 1 ) f^ 1 + 2x COS. <
. y [cas. 2tnf. co». (ocos. r)
1 f sin. f
— cos.(2m + l)ï.cos.(f+«C08. r)];
C,q,-Z.= bvGOOg[C
C4 coumoMDAHci
et dans le second
A'in == — :: — ~* o -•- — s ■' . ' f cog. îgtf.cM. faoo».»') 2» H sin. f '
— coî. {2»n- l)f COS. (r + acos. y)].
Mais nous avons
COS. Smf, COS. [a COS. f] — cos. (2m + l)f. coi. (i>-4-aooa. 7)
= jcoa. (Smf-f-acos. f) — jcos. [(Sm-<-S)f + acoa. f]
=; gin. f. sm. [f2in+ 1) f + a coa. p] :
partant an a , pour n nombre pair.
(SI
+ a COS. î]
/a;""dF.C08.o* a- „ --■i-p ; ■ - =- i« .Bui. [(Sm-i-l)?
« nomhre in
/ir'""dx. <
et pour « nomhre impair
(î,, / - -- -■' -ii=a
X ain. [(2W-4- 1) f-*- a oos. f].
=— [3ia.id+Bin. 3ai + ■in.Siu....'t-8in.(n — l}a\.
Or, on sait qne
. 1 — COl.ftW
ain. u -t- ain. Su] -*- sin. sm.... +Bin.(« — 11b= — -— : • j
' 2 ain. w
donc , dans le caa actuel on cos. Snu := o , il viendra
c,q,-z.= bvGoogle
SATBEHATiqilB ET miSIQIlE. 6S
En {JBÎEBDt a ^ o dan» la formulo (22} , on aurait le même rémllàt, en observant qne
La formate (23) est do cas particulier de la Formule A'Eulêr, saroir:
'•(fO
où p et 9 peuvent être des nombres entiers poùtifs quelconques, pourvu qu'on ait/)<7. Il est vrai qu'en faisant 3:= s^ dans la formule (23) , et changeant ensuite jS en « , on en tire
2nr i
mais quoique r soit ici un nombre positif qudetmqbe, entier on fractionnaire , on ne saurait avoir toujours des nombres entiers pairs pourSnet Sm en établissant les équations j> sa (2«t + l]T, 9 ^ 2nr : car on en tire, en prenant r=sj-;2ni=!5»,-2w»^pi—.Ij c'est-à-dire un nombre impair pour 2m , si ji et g étaient l'un et l'autre impairs. La formule i'Euler ne peut donc pas être regardée comme démontrée complètement par la considération précédente.
(U). Cherchons maintenant l'intégrale
/ du. C08. ax /
'"■"t/ 1—2»". COS. 6 + **" ~ «/ n
dx. COS. (
:,q,-z.-dbvGoOg[c
Ici , l'on a
' (281 . . =zz — y ;
1 — 2*"". COS. fl-v-«*" 2ft '^ 1 — Sx.cos. r + j:' en posant pour plos de simplicité
COS. î — COS. (29 — f) 2 sîu'. s '
et prenant pour ? les aros donnes par la formnle a-t-ikr
lorsqu'on y fait A =: 0,1,2,3.... 2n — l.En groupant les fractions partielles qui répondent aux arcs f et f -t- x- , on écrira
\ f • • l ar ". COS. 9 + **" ™2n "^ ^1— irçc». f + *' l-nMar \ l+S;» COS. t-i-x'/
maintenant, par l'application de la fonnnio (10)^ on obtient oassitdt
r ii i0t-aiin.!> B„=— 2 — r- — [ooi. (acoa. ?) — Mcô8.(|.+ «cos. f}].
En substituant poor H sa Talcor, il Tiendra
COS. (a COS. f) — M COS. ( f -4- a COS. f) sin. f (1 — COS.2 $) ces . (a coB . f ) — [cos . p— cos . (2â — f>)]uOB. ( p-4- a oo» . f ) S lin. f. sin'. 6 = i COS. (acos. f) — J COS. (28 — a cos. <f) — icos,(2f -t-ocoi. f)-i- icos.(2a — 2p — ocos. ï) îsin. T. sin'. fl '
KïTStlJlTIQDB II FBTSIQDB. 67
■in. S. Bti].(S — acos.f) — ùa.fl.sia. (s — V — acoa.f}
ain.r.fioa. (^ — f—acoi.f)
■in. f, Bill, e CM. (fl-T-ç— -OCOB. y) , , " ,
sin. a '
et par conséquent
/Ml / ds.CM.ax îT ■— I e— « «iii. f ,
(lî) PoM aTOir rmlëgralo
/x"dx. COS. o:r / x'"'dx. oos, a*
je décompose de même la fraction rationnelle ; ce qni donne, en supposant 2m •C'^!
- 1— x^cos.fl-f-*** 8f» ] — 2z. coB- f + je'
où l'on a £Bit pour plus de «implicite
COS. fl. COS. (fl-r— 2"»i>) — cos.(2fl — 2mj') "^ sin'. 6 *
COS. e.coï.[fl— (2M+l}f]— cos.[2fl— {2nn-l)?] "^^ sin'. e
Et en grqnpant les deux fractions partielles qui T^wndent à )< et f -t-ir, nous a'nroDS
j- J "-' /^ P — Qj
(29) . . i jj,i», ç(„(,^^(» ~g„ 2 Vl 4rco9.f + iE'
* l + 2«cos.f -»-*'y
Cela posé, la fcHinuIe (10) donne
1— 2ï'".co3. e-HT*"
j — 2 — : [Pcos.{acos. f) — Qcoa.(ji-i-«cos.f)].
En subslituaat les Taleurs de P et Q on obtient P COS. (g co». t) - Q COS. ( f -H g cQg. r) sin. f i8in.(fl — amy— ocQg. f) — isin.(fl— Swy— 2f — ocog-p)
«n. f. sin. e sin. f. COS. (fl — 2mf — ^ — acoa. f)
aia. p. ain. S cQg. ( S — Swf — y — a nos, p)
Il suit de là qae nous avons
1— âir'".cos.e-(-a!*" "^ 2« ^ ain. s
X C03.(fl — Snij. — f — acos. f), en se rappelant qu'on doit faire * = 0,1,2,3.... •— I dons la formule
pour former les différens termes compris sons le signe £. (13). En faisant 0=0, la formule (30) donne
J 1 — 5a:'".cos.e^ -[cos.(3-i-co». (/î-r)-f-coS'(i3-2y) HC08.(,S-(«-l)r];
\ . L;,q,-z.= bvGoOg[c
OÙ l'on a fait, pour plos de aimpticité,-
^ = B y = ir.
2n Sn
Haïs on aait qno
C0B./3 -H OOS. (iî — r)—' -+- 0O8. [0 — (« — 1 )y]
— ''"■ 0 + 4 y) — «in. (g+ ^y—yw) Ssia. ir partant on a
^7 1— 2*""co8.S+**" 2«* . . /'(2m+J)«--v '
ce qui s'accorde areo one formale d'Euhr, qa'on voit i la pag. 371 dntom. IV, de aon.Caleul tnligml.
(14). Four étendre l'application de* formules précédentes, il faut observer qu'on s
/« " —COS. ( or. - 1
rf^.cos.gar l r r K rJ
!. /* «f^- COS. (ar.a^j r»^ I — Sai. C0S.9 + *' '
/xcb. COS. as i dx. COS. (ar.4')
Donc, en appliquant ici let formules (6) et (8) , on aura
/dx, COS. ax X COS. (ar. cos. fl) — •"■•■o- S = L i. e r'^Sr^cos. fl -t-* r sin. B
C,q,-Z.= bvGOOglf
coRBisraniiAiiCE
,0-1, / xdx.coi.ax Tcos. (ar, cos.^l — «riiii ^
/" -<u-iln.fl . \ — r—^ = — : •ric08.(àf.cos.e)
d: Br.tios. (e + acos.â}].
Par le moyen de cette dernièra formule, on pourra ërslaer l'intégrale définie
lorsqae - aera^ne fraction rationnelle de la forme
U BD-l-»,«'-+-a,«l*-l-03Ï^lt.. -♦-■Ob— > 3""~*
telle que le polynôme V n'aura aucune raciae réelle. Car dans
/ - dx. COS. ax = fi J -d
et on peut décomposer la fraction^ (en excluant le cas des racines égales) en m fractions partielles ayant ducone la forme
^-Baî
r'—^rx
