COS
Enfin,
il faut observer qu'sn a
s^-ix. eos
■-2r'"ir'"co
.fl-nar*"
C,q,-Z.= bvGOOglf
HÂTBtaUTIQUB IT HTSIQUI,
J f*"— ar"'.i'"(x>».e+a;*"~r*"-ï»— 1/ l*-â*'"oot.fl-+-iB< Des formules (SI) et (23) on tire les Bnivantes :
^ '' I — ZT^ — ;;r-=— r-; — 2« sin.r(2« + iu
t/ (^"-f-a;"' «rïB— lut— 1 ^ <■* -' '
s + «r. Goi. ]>] j
(37), fx"'d3i.ca».ax x{ — ])"■. e—'
•^ «.r3«^î«-i 2" .Bin.[(2»n-l)y+or.cos.f].
Maintenant , si l'on fait ici r'" => ;> , on aura
)/ :s™âx.cot.a» «■(— !)• " î" jr
en posant pour plus de simplicité, ¥(p) = p 2^-"' ™-l'. »in.[(am+l)p+<ip . cos. y] ,
^(j))B=ji 2 '^~^' •*^f.sin.(;(îi«-4-l)y-t't»j» .«os. J."].
bvGoOgIf.
72 CORREaPOUDAnCE
Donc , en prenant le coefficient dîSiérentiel de l'ordre r dam lés deux membrea de ces.équations , on en tirera
(b. pair) . f'""àx.C.os.ax ^ W-lf £1^.
J (p+a;">)r+i «.(1.2.3.. ..t)* dpf '
(n. twpair). A a;'- jj. nos, aa: t(— 1)-+^ iT. ff".e-'p')
"^ «(1.2.3...T) (ip* ".
Je ne pousse pas plus loin nette analyse. Les forranlei relatives aux autres cas , où les dénominateurs seraient élevés à des puissances entières et positives , se déduisent des formates que j'ai établies , par des différentiations opérées sur un paramètre d'une manière analogue au cas plas simple que je Tiens de coii'
TuriD , le 14 aeptembre 1830.
jinàlyte det polygones et des pi/ramtdet , par AnniroE Fshdi^mid Sv;inBESG, de Stocklioira.
Soit ÂBCDEP etc. , pi . I,/£g'. I , un poly^ue régulier ayant ft côtés égaux entre eux et dont la valeur commune soit à, on pourra obtenir l'équation générale d'un quelconque de ces côtés de la manière suivante. Prenons l'origine des coordonnées en un coin quelconque Cdupolygone, cm l'axe des abscisses et CL l'axe des ordonnées , perpendiculaire a CM.Or,si H est le nombre des côtés,
iv,Goog[c
■ ATBlHÂnQDE XT raniQDE,
:DE, S£F,etc l'on aora poar leurs sapplémens
EDG = DEG = GFH = et par conséquent EDG =
Si donc l'on nomme ED le premier o6té, F£ le second et ainsi de suite, on obtient l'angle, qoe le côte , dont le nombre est u,
StM-
fait avec l'axe des abscisses, égal à . L'équation de la ligne
droite , qai est formée par le côté u , sera par conséquent de la forme suivante :
y=artang. + /{u) ... . . (I)
f[u) doit être déterminé par la condition que chacnn des côtés dn polygone soit égal à a.
Faisons pour abréger
f(u) = lang. ...... (2)
et considérons trois lignes qui se suivent dans le polygone,
y = se f(u -h l) -t- f[u -*. 1) ,
Si X, et y, sont les coordonnées du point d'intersection de la première et de la seconde, x^ et y, celles de la seconde et de la troisième de ces lignes , on aura cette équation
L;,q,-z.= bvGoOg[c
'-* coiuspaiiititnci
Or , on obtient par l'élîmiiiation
Si,pQiir.brB((cr, on fail /(«)=/•, ,(„) = , ei de ploj
f(»-4-l) = ,.4-i,, î<»-i-î) = ,-HSi,-i-a',, ce qui doDoe
Af(if -t- û'f)
l'équation (3) deviendra par Bubslilution
yVf — ^f^'f^ . g
c'est-à-dire
— A( — I =s ± o cos -.
Pour déterminer le ligne ambigu de celle équation, j'observe
C,q,-Z:-=bvGOOglf
aATBU^riijiDB iT nresiQiiE. 75
qu'on a
et puisque «> doit être plus grand que x', dans le cas spécial de u = ff et n > 4 , on voit abément qu'il faudra prendre le signe + , par ou l'équation précédente deviendra
En intégrant cette équation en diâërencea finies, on obtient
[Sm + ly
la constante A., introduite par l'intégration , doit être déterminée par la condition que — -^ ba «, soit ^l à a dans la supposition de «1=0. Il suit de U qu'on Barai = — ; parla substitution de cette Taleor «Uns t'équation précédente f il vient
S sin. -
O, l'équation (2) donne
Ap==-
L;,q,-z:-:[jvG00g[c
76 coiuwoniitiiGB
par on l'ëqnation (4) derient
aooa. - sin.
oos. — COS.
d'où l'on tire enfin par l'intégration ,
Poor détenniner la constante B, j'observe qae/(H) doit s'évanoair eo même temps qae u, ce qni donne 8= — — cot. et de \h , par substilation "
a cot.
Si l'on exécute maintenant I« substitution des valeurs de f(u) et de /(u) dans les expressions de x, et y, , on trourera après quelques réductions
a Bin. -i —
a COS.
a sr n y, = - cot. >
X l'on tire ensuite
('■-l)'-U-l""-'Jj~T{
Cetle éqnalion indique , qu'en prenant dam l'intérieur du polygone un point , dont l'abaciase aoit ^ — et l'ordonnée = - cot. - , la distance de ce poiat au point (x, , y, ) , c'est-àdire au coin du polygone qui est formé par les côtés u et u-t-1 , «era iodépendante de « et égale à ■- coséc, -.Cepointaenomme le centre du polygone régulier. Ponr Iraniporter maintenant l'origine des coordonoéea an centre, en conserrant pourtant la direction dei axes, faisons dans l'équation (1) a , ai
00 obtient ainsi, en supprimant après la substitution les accens de x* et y* ,
y=7tang. — —cot. - sec, . . (5)
pour l'équation de la ligne droite, qui est formée par. le eùté w du polygone , quand l'origine des coordoonéeg est située au cenr Ire et l'axe des abscisses parallèle au côté m.
Gousidërons maintenant un point quelconque dans le polygone régulier et désignons «es coordonnées relatiTea au centre par x' et y'. Soit de pins d la distance perpendiculaire du point (x' , y'^ aU côté u , D sa distance au coin , qui est formé par lés côCés w et M+1 , r le rayon du cercle inscrit, B le rayon du cercle circonscrit au polygone et p la dislance du point (x', y') au centre, ce qui donne
r ast— cot. — , R = — coséc. —, (j':^x '+y ' ,
D' = R^-,-=' + 2Uj:'s
78 cQi^BsroiiiAiicc
et dësignoDB par S une aotome finie, qui t'éteod depuii « = o
jusqu'à w=M, de manière qu'on. aura
Gela posé , on trouver»
Sd =nr, Sd' = n(r'-f-i;'),
etc.
SD" =«(B'm-/),
etc. ,
d'où l'on voit que ces sorames dépendent lenlement de la dii~ tance du point (x', y") au centre et nullement de sa situation absolue dans le plan des xiy.
Si l'on a un polygone, qui a tous ses côtés égaux et en nombre Sn,niaiB dont chaque deuxième angle seuleiqent soit ëgal , on pourra trouTer les équations de ses côtés de la manière suivante. Considérons deux polygones régnliers iBCD etc., et EFGH etc., (^fig. S), ayant chacun n côtés, qui sont égaux entre eux et dont la valeur commune soit =s a , et qui soient de plus décrits autour du même centre. ïï est évident par celte construction, que tous les triangles MMF, NOB, OPG, etc., seront égaux entre eqx, et qu'en conséquence, par l'intersection des polygones réguliers , il se formera un autre polygone LHNOPQR, etc., qui aura tons ses côtés égaux, mais dont chaque deuxième angle seulement soit nécessaire me ut égal. Supposons un de ces angles, par exemple, MNO = er et le côté NO du polygone = 6. Or , puisque MHO > NBO et MNO < 180" , il
bvGoogIf
MKllMÀnQEE II FBISlIflV. 70
faat qa'on ait
n— 2 t> =r-T- et f<l.
De plni, puisque la somme de tous les angles du polygone LHKOPQR est 1= T(S«t — 2), la somme de deux qaelconqaes,
«fan— î) .
qni se sDivent , sera ^ —i >^ ; ce qai donne
d'où l'on obtient enfin
MNO = E:r, NOP = ^'~^' '^^^^ ,
BNO = (l-.)=r , BON = f^-l-^-")" .
On triangle NOB on tire les analo((ies suivantes : sin. NBO : sin. HOB = NO : NB, ' sia. NBO : >in. BNO »= NO : BO ,
ce qai donne
KB = -^ ,
Poisqq'on a anssi
NB = NF et DB ^ OG , il eii refaite
BC = FG = NO-HNB-t>
:,q,-z.= bvGoOg[c
ou CnHBESrORD^NCR
OU , ce qni est la même chose ,
(m-t-a)ir
6 / ^ (mM-I)r^ : ( COS. — — COS. ,
Prenons maintenant l'origine des coordonnées perpendiculaires 3! et y au centre et l'axe des abscisses parallèle au cAté OP. L'équation (B) sera alors l'expression analytique de la ligne droite, qui passe par le côte u du polygone ÀBCD etc. Maïs le côté u du polygone ABCD etc., est le câté 2w du polygone LMNOPQR etc.; donc enfin, en subalituant dans l'équatioa {&) la valeur de a, qui est donnée par la formule (6), noDS aurons
pour l'éqnatioD de la ligne Su du polygone LMNOPQR etc. De même, en prenant dans le centre l'origine de deux autres coordonnées perpendiculaires x' et y', mais dont x' soit parallèle au oàté NO , nous avons pour l'éqnaliun de la ligne w du
bvGoogIf
MATHUaT1I(DI ST PBÏSIIjUE. 81
iKiIygoiib EFGH etc.
Sur a sr Sux
■y'=ytanB.— -cot.-sec— .... (8)
Hais , comme le côté u du polygone EFGII etc. , est identique avec lecôtéSn— ld« polygone LMNOPQR etc. , et que
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