Quatre problèmes sont à résondre
1" Connaissant le rayon R et l'apoliième r d'un polygone régulier, calculer le rayon R' et l'apolhèiue / d'un polygone régulier isopérimètre d'un nombre de côtés double.
2" Connaissant les périmètres P et Q de deux polygones réguliers semblables , inscrit et circonscrit à an cercle , calcnler les périmètres F et Q* des polygones inscrit et circonscrit d'un nombre de câtcB double.
3" Connaissant le rayon R et l'apothème r d'un polygone régnlier, calculer le rayon R, et l'apothème r, d'un polygone régulier équivalent d'un nombre de cètés double.
4° Connaissant les surfaces & et B de deux polygones réguliers semblables, inscrit et circonscrit à un cercle, calculer les surfaces À' et R' des polygones inscrit et circonscrit d'un nombre de càtés double.
Une seule construction fort simple donne la solution de ces quatre problèmes :
1° Soit AB (fig. 10, pi. 111} le cftté d'un polygone régulier, OD = r son apothème , OB ^ R son rayon.
Le câté du polygone régulier isopérimètre d'an noad>re ai
UiqrzD^bvGoOglc
■ tTBtBATIQIE BT mTBIQIJl. 481
cAtës double , doit ^re = i AB et «on angle an centre = i ACffi ; on aura donc le c6té du polygone ohercbé en joignant lea milieoz E et F des cordes AC , CB, et OG = r" sera son apothème , OF = H' son rayon.
Maintenant puisque G est le milieu de CD, on a
, et OF' = OC X 06=11/,
Ces forma]es proaveat que r* est ^ r et R' ^ R, ce qae la fi- ^re montre anssi immédiatement.
Si, au moyen da polygone dont ËF est nu côté, on forme un nouveau polygone isopérimètre d'un nombre doable de côtés , et que l'on con tin ne indéfiniment la même construction, ladifierence entre le rayon et l'apothème de ces polygones peut devenir moindre que toute quantité. (Sur ce point et sur l'application ds ces fortnulca au calcul de t, coi'rla Géométrie de M. F^tncent.)
2° Les périmètres P et Q de deux polygones réguliers semblables, inscrit et circonscrit, et les périmètres P' et Q' des polygones inscrit et circonscrit d'an nombre 'double de cdtés, sont proportionnels aux côtés AD, HG d'une part, et AG, KL de l'autre.
On a d'abord :
Q' : P' : : co : EO : : AC : AD : : F : P,
