Q':P::KL:AD::KL:EF::CO:GO::GO: — - — ::Q
donc
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i&t COIBUVONBINCI
3* Si dana l'angle AOD on forme un trimigla iBosoèle équivalent an triangle ÂOD, aon cAtë H, lera moyen proportiminel entre AO et OD ou R et r; donc B, = l/Rrl
Soit P, le périmètre dn polygone correipondant , on a :
mais
P,r. -= Pf ,
4° Lei aires A et B, A' et B' lont proportionnelles aux triangles AOD, OCH, AOC, KOL. Or, le triangle AOC est moyen proportionnel entre AOD et OCH, donc : A ; A' ; ; A' : B, d'où A' = y^. Ënanite :
SA" aAB ^ A + A' ~ A+.A'*
Il est aisé de roir que la di&ërence B' — A' est < l (B — A), car
B'-A'= . ^*° KÂB = ^IZA}^
|/Ib (I/b - |/Â) |/ÂB{B-A)
Vh-t- |/X B + A 4- WTÏÏ '
mais B + A -I- ^]/Jh est > 4|/iB donc , etc.
On peat calculer par là , aprâs combien d'opérations la difiërence des aires sera moindre qu'une unité décimale d'un ordre déterminé , en parlant des aires 2 et 4 des quarrés inscrit et circonscrit.
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■ATBniTiQiii n nxaiqvE. 48S
Ifttte iur le partage d'une droite en nt¥ne et extrême, et lur un problème d'arithmétique, par E. Lteu.
1 . Dans un mémoire inséré au n" de mari 1836 , du Journal de maihétnatiqvea de M. Liouville, j'ai fait voir que toutes les fois que la recherche de la commuae mesure de deui lignes , se prolonge à l'infini , la somme des restes que l'on obtient par la série des opérations faites sur ces lignes, a toujours une limite finie. Par exemple, dans la recherche de la commune mesure entre la diagonale et le c6té da carré, la somme des restes a pour limite la moitié de la diagonale : théorème élégant et trisélémentaire dont Toici l'analogue dans la division si célèbre d'une droite en moyenne et extrême :
I" Le rapport des deux segmens d'une droite divisée en moyenne et exb^me est exprimé par la fraction continne indéfinie :
1° La limite de la somme des restes obtenus dans la recherche de la commune mesure de ces segmens , est égale au plus grand segment lai-mème.
3. La fraction Gontinue[Â] conduit à la solution d'un problème curieux : Dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres donnés, quel est le plus grand nombre d'opérations qu'on puisse avoir à faire?
Les réduites de la fraction [A^]
sont les fractions qui conduisent au plus grand nombre d'opérations; il suffit donc , étant donnée une fraction quelconque ,
:,q,-z.= bvGoOg[c
464 cobukpouràiici
de détermineF la première de ces réduitei ijui a nu d^nominttear plai grand que cette fraction donnée, le rang de cette réduite fera connailre la limite cherchée.
3. Les namérateurs et dénominateurB des rëdoiles forment dei aérieB récorrentei fort simples, ce qui permet de trourer pour terme général de la série de ces réduites :
(t/t+lK» - (l-V/,)-H-»
Soit donc ■= une fraction à réduire, pour trouver le nombre entier n le plus approché , posons.
et
pour abréger
faisons
anra;
-v/.)It
