AFFAIRES
PRiYENOS.
AnQVITTifl.
agaa
i3io4
i3ooi
34ai
Nous rappellerons encore Fattention sur la presque identité des nombres de Tannée 1829 avec ceux des années précédentes : nous persistons II croire que cet examen est digne d'occuper les méditations des philosophes et des hommes d'état.
Nous l'avons déjk dit ailleurs : on s'occupe de discuter sur les deniers que paie une nation aux caisses de Tétat , et Ion semble a peine apercevoir le déplorable impôt qu'elle paie avec une régularité effrayante, aux prisons, aux fers et à l'échafaud. Voilà surtout les budjets qu'il faudrait s'efforcer de réduire.
Académie Royale des sciences et belles-leUres.
Séance du S am/. — Ilf. Dewez donne lecture d'une lettre de M. Bertholoni de Bologne , et fait connaiti*e que Sa Majesté a confirmé la nomination de M. Van^Rees^ professeur à Liège.
— On vote l'impression du mémoire de M^ Chastes , pour lequel MM> Gamier et Quetelet avaient été nommés commissaires.
— M. D'Omalius d'Halloy lit des observations sur la division des terrains, qui seront insérées dans le recueil de l'Académie.
— M* Dumorticr Ut des notices sur les manuscrits retrouvés à
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2^6 CQlUlKSPOliDJkirCE
la bibliothèque de l^ournay* — Af, Quetelet présente au nom de M. Timmermans ^ un ^mémoire manuscrit sur les pressions exercées sur les points d'appui. — M, De Reiffenberg lit une notice sur la famille de Rubetis et sur des pièces inédites, pour servir de documens à l'histoire de ce peintre célèbre. — Il est fait hommage des mémoires de l'Académie de Stockholm ; des mémoires de la société de Londres , pour l'encouragement des traductions des ouvrages de littérature orientale ; de l'ouvrage sur la codification par ilf. Meyer\ de la notice et des plans des constructions romaines, trouvés sur l'emplacement présumé du Forum Hadrianiprès de La Haye, par M^ Reu\fens\ d'expériences électro-magnétiques, par M. Moll\ d'un ouvrage sur les propriétés nuisibles des fourrages, par^. Neuman^ etc. L'Académie nomme ilf. De Humboldt à l'une > des deux places de membre honoraire étranger, et M, Le'vy membre ordinaire , sauf l'approbation Royale. M. Quetelet donne connaissance d'expériences sur l'intensité magnétique auxquelles MM. Lé\*y et Sauveur ont bien voulu prendre part; il résulte de ses expériences qu'en représentant par i l'intensité horizontale à Bruxelles , on a 1 ,025 pour Liège et pour i ,o3 1 pour Namur*
QUESTIONS
I. Plusieurs coniques étant inscrites ou circonscrites à un quadrilatère j quel est le lieu de leurs foyers ?
II. Quelle est sur la surface d'un cône droit la courbe qui dans le développement du cône sui' un plan devient une ligne droite?
III. Quand deux coniques semblables et semblablement placées interceptent sur une transversale des cordes égales , ces deux cordes sont vues sous des angles égaux d'un .point quelconque de la perpendiculaire élevée sur la transversale par le point où elle rencontre l'axe de symptose (ou corde commune) des deux coniques.
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Sur Panalise des Jonctions angulaires ; par M* Vax Rees , Professeur à TUniversitë de Liëge.
La discussion qui s'était âevée il y a quelques années sur Fanatise des fonctions angulaires^ à l'occasion des remarques de MM. Poisson et Poinsot ^ paraissait entièrement terminée , lorsque M. CreUe a repris le même sujet dans un mémoire assez étendu , inséré dans le deuxième cahier du vol. 5 de son estimable journal. Les résultats qu*il a obtenus, n*étant pas entièrement conformes k ceux qu'on avait déjà trouvés , il a engagé les géomètres à examiner de nouveau cette théorie.
Je pense donc que les ognsidérations suivantes ne seront pas encore superflues. Elles ont pour but d'indiquer la marche ta plus simple et en même temps la plus rigoureuse pour parvenir aux divers développemens des fonctions angulaires.
Deux dii&cultés principales se présentent dans cette partie de Tanalise. La première dérive de la multiplicité des valeurs des puissances fractionnaires. Elle est inhérente au développement de (sin. a:)"» ou de (cos. a')'»»en série ordonnée suivant les sinus et les cosinus des multiples de x* En effet y il est nécessaire que le développement fournisse un nombre de valeurs égal à celui de la fonction développée , et qu'on indique quelles de ces valeurs se correspondent respectivement. C'est à vaincre cette dii&culté que les géomètres se sont surtout attachés jusqu'ici. Mais il est étonnant qu'ils aient gratuitement introduit cette même difficulté dans le développement des fonctions simples sin. mx et cos. mx^ en substituant à ces fonctions les expressions multiformes que donne le théorème de Mowre.
La seconde difficulté » qui me paraît n'avoir été clairement indiquée que par M. Poisson (J^), consiste dans la nature
(*) Bulletin des Sciences de M. Férussac , vol. IV, pag. HO. Je trouve dans le même journal, vol. V, pag 250 , un extrait d'un mëmoire de M. Ohm sur le même sujet. Je regrette de n'avoir pu 4:onsuher l'original. Tome VL 19
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27B COBRESPOMDAVCE
des développemens en séries de quantités périodiques , qui, lors même qu'elles sont convergentes pour toutes les valeurs de la variable 9 ne sont cependant continues que dans de certains intervalles , et peuvent changer brusquement de valeur en passant d'un intervalle à l'autre. Il s'agit donc de déterminer les grandeurs de ces intervalles, et c'est ce qui, d'après M. Poisson , fait la difficulté réelle de la question. Mais quoique cet illustre géomètre ait bien caractérisé la difficulté, il ne l'a cependant pas résolue , et ce point de doctrine reste à éclaircir.
J'examinerai successivement , dans ce qui va suivre , les principaux développemens des fonctions angulaires , qu'on a proposés jusqu'ici. La mélhode que je suivrai sera celle de Lagrange. Elle consiste à exprimer par une équation différentielle linéaire la propriété caractéristique de la fonction à développer , puis à chercher l'intégrale complète de cette équation sous forme de série. Il ne reste plus alors qu^à déterminer les Constantes d'intégration.
On verra par la suite de ce mémoire, que l'emploi de cette méthode permet d'écarter entièrement la première des difficultés indiquées. Mais en même temps elle fournit les élémens nécessaires pour résoudre la seconde , en faisant connaître le coefficient différentiel de la fonction que représente la série de développement. Soi:^s ce double point de vue , elle est préférable à la méthode plus élémentaire , qui se fonde sur l'emploi du théorème de Moit^re.
Développemens de (cos. x)"* et (sin. x)» en se'ries ordonnées suivant les cosinus ou les sinus des multiples décroissons de Varcx»
Soit d'abord ( cos. a:)« =s z. Si on différentie cette équation, après avoir pris les logarithmes des deux membres, on trouve , en faisant disparaître les dénominateurs
dz cos. a: - — h w« sin. * = o. (i)
dx
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MATHiniATIQUE ET PnVSIQVE. S^g
Faisons maibtenant
z=s A COS. fw:-4-Bco6.(fi— i )jp-»-G cos. (n— a) x-f-Dcos. (ruJ3)X'h etc.
En substituant cette valeur dans IVquation (i) , et réduisant les produits de sinus et cosinus en somme de sinus , on trouve par la méthode des coefficiens indéterminés {*) :
n=zm, B«so, C=-A, D=o, £== C, etc.
donc :
z=A [cos. mx + — cos.(m — ajxH cos. (m— 4)^ "♦-etc.] (2)
La constante A reste arbitraire , en sorte que le second membre est Tîntégrale complète de l'équation (i) , et comprend comme cas particulier la fonction {cos.^r)'". Mais avant de déterminer la valeur correspondante de A , examinons de plus près la nature de la série comprise entre parenthèses , et que nous désignons par X.
Cette série est elle-même une intégrale particulière de Téquation(i}. On a donc :
dX mX. sin. oe
dx COS. X
(*) Les objections qu*on a faites a remploi de la mëthode des coefliciens indëterminës dans la recherche du développement d'ane fonction en série de cosinus et de sinus des multiples de la variable , prouvent uniquement que cette méthode ne fait pas toujours connaître le développement , lors mémo qu'il existe. La raison en est qu'une série de quantités périodiques peut être nulle dans une certaine étendue de la variable , sans que ses coefficiens soient nuls. Mais U n'est pas moins évident que lorsque par cette méthode on parvient à déterminer les coefficiens du développement , et à exprimer la fonction par une série convergente y ce résultat est aussi rigoureux que si ou avait employé tout autre méthode. ^
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l8o GOBBESPOHDAlfCE
ce qui prouve que l'accroissement différentiel de la 'sërie sera infiniment petit avec dx^ aussi long-temps que cos. x ne sera pas nul. G>nsidërons donc un intervalle , compris entre les
valeurs arsEA** — -,j:=aArH — ,A ëtant un nombre entier
quelconque. Il est d'abord évident que la série sera convergente dans toute l'étendue de l'intervalle , si elle est telle pour une seule valeur de x, qui y soit comprise. Il en est de même pour la divergence. Or » si nous faisons a: sas Ar , il vient
X sds: cos. mAT{ï H-— H ^ H- CtC.)
Mais on sait que la série entre parenthèses est convergente , et qu'elle équivaut h, la valeur réelle positive de ( i -4- i )»• =: a"» , aussi souvent que m > — 1 ; elle est au contraire divergente si m = I ou m < — I. Il en résulte que le développement (a) ne peut être employé que lorsque m > — j •
Examinons en second lieu quelles sont les valeurs de x , aux environs desquelles la fonction, que représente la série convergente X, peut subir un changement de forme. Or, puisque l'intégrale complète de (i) , dont X est une intégrale
( cos . X V**
particuUère, peut aussi être exprimée par -^ '. — l , il est évi-
A dent que ce changement , s'il existe , consistera dans un changement brusque de la valeur de la constante A. -Mais si ces. x n'est pas nul, un tel changement produirait un accroissement
fini de la fonction X , et rendrait — infini , ce qui est impossible. Donc les changemens de valeur de la constante A ne peuvent avoir lieu que lorsque cos. x ssao,ouxsskT±^*
a Nous connaissons ainsi les intervalles , entre lesquels la valeur de A reste la même ; ils sont tels , que cos. x est ou positif ou négatif dans toute leur étendue , suivant que k est pair ou impair. Nous n'avons plus qu'à déterminer la valeur
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MATuiMATIQVB ET PHYSIQUE. a8l
de cette constante dans chaque intervalle , pour que dans r^quation (a) on ait z sss (cos. ar)'". Mais puisque cette dernière fonction est multiforme , nous nous bornerons h la valeur réelle positive de ('± cos. a? )'« , le signe 4- ou — devant être pris suivant que k est pair ou impair (*}. On obtiendra ensuite toutes les valeurs de ( cos. a:)*" en multipliant par celles de (-4- i)*» ou de (— . I )»•. Or, si dans Tëquation ,
( dz COI. »)"• =s A [coi. mx^l coi. (m — s)x 4- ^ co«. (m — 4)x + «te. ]
on fait j: = *«•, il vient , en supposant toujours /i» > — i
I = A cos. mkr.i"* donc
COS. mkiF^'x'^
et par conséquent , entre les limites j:=*r— r,j:=AT-f.-,
( dz COS. a*)™ =: , [co». m* + - coi. (m — «)a? 4- ^ ^ c^i.(m— 4)x-|-etc.l
^"•coi.mAT l l.a
ou
(dbacoi. x)"*S3 [coi. mâP4- — COI. (m — »)*-♦-— L.IlJcoi.(m— A)jr+etc.lf3)
Telle est Texpression générale de la valeur absolue de (=b I cos* xY^ en série ordonnée suivant les cosinus des multiples de Tare. Pour avoir le développement de cette fonction en série de sinus , on n'a qu'à changer dans Téquation (a) les cosinus en sinus , et on trouve par la même analise, pour des
valeurs de x comprises entre les mêmes limites At =b - et
(^) En substituant , dans ce dernier cas , («- cos. x)m » à (cos. jr)"* , on ne s*ëcarte pas del'analise prëcëdente, puisque Pëquation (i) appartient paiement à Tune et à Tautre de ces fonctions.
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28a CORRESPONDAVCE
^our m > — I
(dbi cé»,x) =5 [iîn.mj 4- - «lii.(»fï— a)jc 4-2îi— i^diL^iii— 4)* -4- etc.] (4)
sio. mhTF 1 1 • s
La comparaison des équations (3) et (4) condait encore à cette formule remarquable
lin. mx + — gin. (m — %)x +— sin. (m — 4)* H- etc. sia. iw*t
COI. m» +• — COI. (m — %)x + ^ coa. (m — 4)*^ 4^ etc. ces. mk^
Donc si k est nul^ ou en général tel que mk soit entier, on a entre les limites a? = *»• dz -
sm. mj: h sin. (m — a)x -* ^ ^ — sm. (m — 4)"^ = ^î
tandis que , si mk est de la forme ^ , on a
w m(w— i) COS. mx H COS. (m — i)x -h cos. {m — 4)^ ^ ^
Dans le premier cas , le seeond membre de l'équation (4) et
dans le second, celui de l'équation (3) prennent la- forme - et ne
o peuvent plus servir au développement de (cos. x)^.
ConsidéronâT maintenant la fonction (dr sin* x)m. Celle-ci
satisfait à Téquafion différentielle
dz
sm. X --— — nz COS. x =o dx
qui servira à déterminer les coefficiens du développement, et qui fera en outre connaître les intervalles dans lesquels la constante d'intégration ne change pas, U serait inutile d'en-
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Mi^TUÉMATK^VE ET PHYSIQUE. 283
trer de nouveau dans les détails du raisonnement; je me borne* rai à indiquer les résultats. On trouve pour la valeur absolue de (=b a sin. a:)"*jm étant > — i et a: compris entre les limites A:;r et (A + I ) ;r,
I vin ' *" m(»i— i)
(^^t sia. x) = jT ^°' mj:— cos (»r— a)a:-|- cos.(m-^4)x— etc.
COS. m(A^+-J « ï«*
(îfeailii.x)'"=r: F\t''"- '»^~-»»n-('«-a)^+ !!lî^Zi2«n. (OT-4)*-etc.]
sin. /«(AT 4- ~)
Si m (aA + i) est entier, une des séries de développement sera nulle entre les mêmes limites ; savoir , celle des cosinus , si m ( a^ -4- I ) est impair , et celle des sinus si m ( aA -»- i ) est pair.
Dei^eloppement de (cos* x)™ et (sin. x)" en série ordonnée suivant les cosinus ou tes sinus des multiples ascendans de Tare X.
M. Poisson s'est occupé le premier de ces développemeus {Bulletin des Sciences de Férussac ^ vol. IV, pag. 348). Ils donnent lieu II quelques remarques importantes.
Soit encore ( ± cos. a:)"* = z , donc
dz
COS. X. hmzsin.a:s=o (i).
dx
Si on substitue dans cette équation la série
z = A -4- B COS. j: -+- C côs. a* -f- D cos. 3a: -4- etc. .
et qu'on détermine les coefficiens par la méthode connue , on trouve que les deux premiers restent arbitraires , et en faisant
P = 1 COS. IX -4- "7 ^-r-; r: COS. ^X -»- etc.
Qm — I ^ {m — \)(m — 3) ^
=cos.ar-h r"COS. ôx -+- : — rr cos. ox -f- etc. . W-+-3 (/«-+- 3) (m -4-5)
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284 corbespondauce
on aura
2 = AP -f- BQ.
u Uintégrale de Fëquation (2) , obtenue par ce moyen ^ » paraîtrait donc , dit M. Poisson , contenir deux constantes » arbitraires ; mais cela n'est pas contraire aux principes du n calcul intégral , parce que les séries P et Q peuvent être I» dans un rapport qui reste constant pour des étendues finies 11 de la yariable j? , et ne changent que par intervalle ; ce qui « réduirait la valeur de z à ne contenir qu'une arbitraire 11 qui ne sera pas une constante absolue^ mais une quantité » qui ne changera aussi que par intervalle. »
J'ajoute que les deux séries P et Q ne peuvent pas seulement être dans un rapport constant, mais dowent l'être nécessairement lorsque ces séries sont convergentes , ce qui a lieu pour toutes les valeurs de x , pourvu que m soit > — i ; car dans ce cas elles représentent de certaines fonctions de or, qui satisfont , ainsi que la fonction AP -♦- BQ, à l'équation (i). Or, il est impossible qu'une équation dijOférentielle du premier ordre admette une intégrale contenant deux constantes arbitraires A et B. Donc ces constantes doivent se réduire à une ' seule ^ ce qui exige que les fonctions P et Q soient dans un rapport constant.
On peut donc prendre arbitrairement , comme intégrale complète de l'équation (i) , l'une ou l'autre des expressions z = AP etz=BQ.
Si on applique ensuite aux fonctions P et Q le raisonnement, dont nous nous sommes servis ci-dessus (pag. 5} dans une occasion pareille , on trouve que ces fonctions ne peuvent changer de forme que lorsque cos* x passe par o , et que par conséquent la valeur des constantes A et B reste la même dans l'étendue d'un intervalle compris entre
T , ÎT
xz=z kir et 0? = ^;r H — •
Maintenant si dans les équations
(d: COS. *)« ss AP , {± COS. x)"" = BQ
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MATHEMATIQUE ET PUY8IQUE. a85
on fait j: =s ^t, on trouve, en ne considérant que la valeur absolue du premier membre, et en désignant par /k et /et' les valeurs que reiçoivent P et Q lorsque x = o
Donc
(d= COS.' a?)"» =— (rb cos, a:)'« = dz -•
les signes supérieurs devant être pris lorsque k est pair , et les signes inférieurs lorsque k est impair*
En appliquant la même méthode au développement de ( dr cos. â:)'" en série de la forme
A 4- B sin. A + C sin. aA + D sin. 3a -h etc.
on obtient des résultats contradictoires ; ce qui ne prouve pas que cette forme de développement soit absurde , mais seulement que la méthode des coefficiens indéterminés est insuffisante dans ce cas.
Quant aux développemens de ( d= sin. x)"*, on les trouve sans de nouveaux calculs , en substituant dans les résultats
déjà obtenus - — or à la place de x.
Si on fait
^ I m mim — a) ,
P=s: -, COS. aXH rr j- COS. A-^C — etc.
O, =sin.jc— --sm. ox -* r-- cos. ox — etc.
^' w-4-3 (m4-3)(OT .+- 5)
et qu'on désigne par /a et (jd les mêmes valeurs que ci-dessus , savoir celles qu*on obtient en faisant dans les séries P, et Q, ,
a: =s - ) on a pour une valeur quelconque de x
i±, sin. x)^^— , (db sin. x)« = =h-^ •
/te M
( La suite au numéro prochain*)
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286 CORBESPOVDATrCE
Extrait d'une lettre de M. Pagawi à M. Quetelet , relative à rintégration d'une équation aux différences partielles et a d'autres sujets.
Dans sa Théorie analitique des prohabilités , Laplace a donuéi page 292 de la seconde édition , l'intégrale en série de Téquation suivante :
dXi ^^ dV d^V
= 2L) H- 2jtc -4- — •
df^ dfi. dfji^
Etant parvenu à la qiiéme expression par une méthode analogue à celle' que j'ai employée pour intégrer plusieurs équations relatives à la propagation de la chaleur et au mouvement vibratoire des corps solides, je pense qu'il ne sera pas tout -à- fait inutile d'offrir ici ma solution , d autant plus qu'elle me semble beaucoup plus simple et plus facile que celle qui est exposée par l'illustre auteur de la Mécanique céleste^
On satisfait à l'équation ci- dessus en prenant U = e y-^ et en supposant que h dénote une constante indéterminée , et que la fonction y est donnée par l'équation
dy dy *
Pour intégrer cette dernière , nous ferons y = e — f^z , et nous aurons pour déterminer z , cette autre équation
d^z dz
— ifjL —- — h hz = o.
dfji^ dfA
Or, il est aisé de trouver, en employant la formule de Maclau^
dz nn et en nommant a Qlb^ les valeurs de z et de -r- correspon-
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MATlliMATIQUE ET PHYSIQUE. 287
dantes ^ /« = o , cette sërie
z =« [i —^f,^ ^ -^'^ — ^ ^ ^ V + etc.]
^b[fc —^3 + ^ ^>^ V - etc.].
Cela posé supposons d'abord A = o, a=i,i=:o; nous aurons z = i,y =:= e**^', TI=c""^ . Cette valeur de U multipliée par une constante arbitraire Ao peut être considérée comme une intégi*ale particulière de Téquation proposée. Pour avoir une infinité d^autres intégrales particulières dont la somme représentera l'intégrale complète, conformément à l'esprit de la méthode que nous suivons ici^ il suffit de faire , dans la série précédente , successivement
h^ssi^^ a=i, Z>s=o;
^sss6, a=o^ 6 = 1;
hssaSj a=szi, bh=so;
etc. etc. etc.;
ce qui nous fournit pour z , les valeurs ,
A* , I — 2A£% fi{j — JA*^) , I — 4^' ■♦-•J f^^9 etc.
En substituant successivement ces valeurs dans l'expression dy, et ensuite dans celle de U , et en multipliant les résultats par AoAa , AoA^, AoAg , AoAg , etc. , les lettriBS A^A^, etc., désignant des constantes arbitraires , on aura l'intégrale complète de la proposée, exprimée de cette manière
— /u' . — 2r' — 4r' — ôr' a
U=sAoe |i4-A,e fjL-^k^e (i— 2/tt")-+-AgC K^"^^/^^)
-+- Ag(? ( I — 4/t«' -♦--/'*'*) + etc.] .
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a88 COHRESPOVDAVGE
Je profite de cette occasion pour relever une légère inadvertance échappée à Laplace dans la Mécanique céleste , et reproduite par M. de Pontécoulant dans sa Théorie analitique du système du monde. Il s'agit du mouvement reçtiligne^ d un point matériel attiré par un centre fixe en raison inverse du carre de la distance. En dénotant par a la distance du point matériel au centre fixe , lorsque sa vitesse est nutlç , et par x cette distance après qu*il s^est approché de la quantité a — x , on trouve facilement que le carré de la vitesse du point matériel est proportionnelle à — — *• Or cette quantité devenant né- X a
gative lorsque x a une valeur négative , il est évident que le point matériel ne pourra plus se mouvoir lorsqu'il sera parvenu au centre d'attraction. Il est donc inexact de dire que, dans ce cas y le mobile oscillerait de part et d'autre du centre fixe. Au reste , cette remarque n'est pas nouvelle , et se trouve dans ïHistoire des mathématiques de Montucla. Il est d'autant plus étonnant que personne ne l'ait encore reproduite depuis l'apparition du i*' tome de la Mécanique céleste. Puisque j'ai parlé de la Théorie analitique du système du monde , je ferai remarquer , en passant , qu'à la page 387 du premier volume, il est dit que l'orbite décrite par une planète est un cercle , si sa vitesse initiale est perpendiculaire au rayon vecteur primitif A. Gela ne suffit pas , et il faut en outre que cette vi-
tesse soit égale ^ m / ']d • TSéoGn , en faisant la substitution indiquée par l'auteur 9 on doit trouver R ss a (i =b e) et non la valeur rapportée dans le livre.
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Extrait d'un Mémoire de géométrie sur les propriétés gêné* raies des cônes du second degré; par M* Chasles (*)•
Nous démontrons dans cet écrit , par la pure géométrie , un grand nombre de propriétés nouvelles des cônes du second degré.
Nos démonstrations qui n'exigent que la connaissance de certaines propriétés élémentaires du cercle , ont pour base cette seule propriété des cônes du second degré , savoir : Tout cône du second degré peut être coupé suii^ant des cercles par deux séries de plans parallèles à deux mêmes plana fixes.
Ces deux plans fixes , que nous supposons menés par le sommet du cône, se représentant continuellement dans cet écrit, nous avons éprouvé le besoin de les désigner par un nom particulier , et avons adopté , en attendant mieux , celui de plans cycliques.
Ainsi les deux plans cycliques d'un cône du second degré, sont deux plans menés par son sommet , de manière que tout plan parallèle à l'un d'eux coupe le cône suivant un cercle.
Avant de démontrer les propriétés des plans cycliques, nous faisons voir qu'il existe dans tout cône du second degré, deux axes fixes, non moins remarquables que ces deux plans. La propriété caractéristique de ces axes est que' tout plan perpendiculaire à Vun d'eux coupe le cône suii^ant une conique qui a Vun de ses foyers au point oit ce plan coupe cet axe.
Par cette raison , nous appelons ces deux axes lignes focales du cône. Ce sont précisément les deux droites dont M. Magnus , par d'autres considérations , a fait connaître deux belles propriétés.
Nous démontrons géométriquement ces deux théorèmes de M. Magnus , parmi une foule d'autres propriétés nouvelles des
(*) Le mémoire dont M. Chasles présente ici une analise, paraîtra dont le Vl« vol. des Mémoires de P Académie de Bruxelles. • A. Q.
Digiti
ago GOABÉSPONDAVCE
lignes focales , dont plusieurs ont une analogie parfaite avec les propriétés des foyers dans les coniques.
Nous allons extraire de notre mémoire diverses propositions relatives aux plans cycliques et aux lignes focales, qui suffiront pour faire voir combien ce sujet, dans des mains plus habiles que les nôtres , pourrait procurer ^e résultats intéressans et utiles pour le perfectionnement de la théorie géométrique des cônes du second degré.
