TABLEAU
2m« TABLEAU.
2g. En suivant le premier tableau , on voit que les maxU muni des diamètres ont lieu entre les mois de mars et d'avril , et entre les mois de septembre et d'octobre ; et les minimum entre les mois de juin et de juillet , et entre les mois de décembre et de janvier.
C'est en effet à quoi on devait s'attendre, en déterminant
(*) Au liea de ce chiffre , on Ut 959,22 dans les Annonces sauanUi de Goetiingue,
Tom. n. %S
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36^ CORRESPOVDJkNCE
jponr ces époques Tangle formée midi par l'ëqnateur do leil et l'horizon. Or , cet angle équivaudra , à Tépoque c équinoxesi k Tobliquité de Tëcliptique plus un angle de (k degrés et demi à peu près , provenant de la position Taxe du soleil relativement à Fédiptique. Sa valeur sera (k à peu près de 26®.
Mais à l'époque des solstices, Tare de récliptiquequiti verse le disque du soleil sera parallèle à l'horizon, et Fanj dont nous venons de parler ne vaudra que six degré demi, valeur qui provient également de la position de fi du soleil relativement à Técliptique.
Ainsi donc, si le soleil est un ellipsoïde dont Taxe de r tation est sensiblement plus grand que le diamètre de l'é^ teur , il est nécessaire que les diamètres horizontaux obsen^ pendant les équinoxes soient sensiblement plus grands f ceux qu'on observe pendant les solstices, parce que les p miers s*écartent beaucoup plus du petit axe que les deroieii
3o. Les résultats contenus dans le second tableau ne î présentent pas , à la vérité , sous une forme aussi Té^^\ mais ils n*en confirment pas moins le changement périodif' de la grandeur des diamètres horizontaux.
3i. L'excentricité évaluée suivant les diamètres yertifli comparés aux diamètres horizontaux , diffère trop de d qu'on obtient en ne considérant que les diamètres horiiv taux , pour que nous ne tâchions pas de rechercher la c2^ de cette grande différence.
D'abord, M. Bessel fait observer, relativement à la i termination des diamètres du soleil { Correspondance ^ti de Zach , tom. XX , pag. 83 ) , que c'est à la combW des mesures des semi-diamètres verticaux et horizontauKjï faut accorder le plus de confiance, parce que, d'après seconde méthode^ la différence ne se présente jamais eoe tier, et sera d'autant plus affectée des erreurs deloM vation. .
Or f quelles que soient les raisons qui ont donn^ M cette remarque , il est vrai que l'équateur du soleil , 4
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MATHEMATIQUE ET l'IlYSIQUE, 363
Une sur Thorizon , on ne mesure pas , à proprement par- , le diamètre horizontal respectif, soit TU , mais bien
distances horizontales des bords du soleil V et W ; ce ït on se persuadera aisément si l'on considère que les pendiculaires élevées sur TU en T et U , ne sont pas gentes à l'ellipse.
/a cause de la différence entre les valeurs de l'excenité pourrait donc consister dans la méthode de mesurer diamètres horizontaux. Recherchons en conséquence Finnce de cette erreur sur le résultat des observations, 2. Soit S' un poiqt quelconque de l'ellipse ADBE (fig. i.) soit S'R^ l'ordonnée parallèle à la tangente au point T , apportée à CU comme axe c|c3 abscisses. Abaissons sur
la perpendiculaire S^W, et faisons S'W ss= t^ CW = s , le S'B-'W = A. Nommons aussi ^ la moitié du diamètre , et £f la moitié de son diamètre conjugué , nous aut ;
d's COS. A =b ^/ [^'cf' (cj^a — s*) sin. A -4- dh^^ cos. "a] è^ ,4- d^ COS. A. cot. A
quantité t a deux valeurs différentes , l'une étant S'R' autre le prolongement de 'cette ligne compris entre R' î second point de rencontre avec l'ellipse. Mais si S'R' angente à l'ellipse , le point S' coïncidera avec le point, et noqs aurons*
d^ s cos. A
cT' ^ d^ COS. A. cot. A
dy^ (<^^ — s"") sin. A H- rfV» COS. 'A =to;
J'^ t=zs* — rf' COS. A. cot. A.
Liantité s qui représente le semi-diamètre horizontal donné 'observation est donc en effet plus grande que le seiai' être véritable ^.
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364 CORRESPOIVDAVCE
Or , d*après les dffterminations de M. de Lindtnau ( Carr^spondance de M. de Zach , tom. XIX, pag. 54t) • od a Tangle forait par le diamètre horizontal et par le petit axe == 36" i\drsz 962", 97, b = 960", 20; avec ces données, on retrouve la valeur de s qui n'y est pas indiquée = 960" ,86, etdelà on tire A = 89» 62' 5o" , et «T = 96o",857. Par conséquent , la différence entre d" et j est plus petite que^ — '- 4'wne seconde. ( La valeur de A se calcule ici en substituant*^ au lieu de «T. Si l'on trouvait au moyen de ce A une différence trop grande entre s et <f , on devrait répéter les mêmes opérations jusqu'à ce qu'on fût parvenu k une approximation suffisante. )
On voit donc que l'erreur qui résulte de ce qu'on ne mesure pas le diamètre horizontal lui-même , mais bien les distances horizontales des bords respectifs du soleil, est trop peu considérable pour expliquer suffisamment la différence entre les valeurs de l'excentricité déterminées suivant les deux méthodes.
33* Cette différence ne s'expliquera . pas non plus si , au lieu de considérer le plus petit diamètre horizontal comme le petit axe de l'ellipsoïde , on l'admet avec plus de précision, comme faisant avec le petit axe uu angle de 6 degrés et demi ( voyez art. 29 ).
Car , en égalant à 960^,20 le semi -diamètre qui fait avec le petit axe un angle de 6 degrés et demi, et à 962",97 ce* lui qui fait avec le grand axe un angle de 26® 2^, on trouvera la moitié du petit axe = 960",! 55, et la moitié du grand axe = 963", 645 , et delà l'excentricité = ^^7—7*
34- On devrait peut-être attribuer une valeur pjus petite que 962",97 au semi-diamètre qui fait avec. le grand axe un angle de 26® 2', parce que les semi- diamètres verticaux, dont il représente la moyenne ne font pas , à toutes les époques de l'année , le même angle avec le grand axe ; mais en diminuant la valeur de ce semi-diamètre sans rien changer à l'angle dont il s'écarte du grand axe , on tomberait sur une valeur plus petite du petit axe 5 l'excentricité serait donc di-
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MATHEitfATlQVB ET PHTSIQU2. 365
minucfe en même temps , et différerait encore plus de celle qu*on obtient par la seconde méthode d'observer.
35. Mais^ quelle est enfin la cause de cette différence considérable entre les valeurs de rexcentricité déterminées suivant des méthodes différentes? Cette question importante se trouvera peut-être éclaircie par. ce qui va suivre.
36. En effet , on pourra aplanir entièrement cette difficulté, si Ton suppose que Taxe de l'enveloppe s'écarte sous un certain angle de l'axe du noyau (art. 5, IV).
Supposons donc, comme plus haut (art. î4), que l'angle DCi (fig. I ) , soit = i5«; soit aussi TU le plus grand diamètre horizontal , on aura langle UCE formé par ce diamètre et le petit axe = 26® 2' -*- 1 5» = 4 ' ** ^'* ^ï* 5 d'après M. de Lindcnau (mém. cité, pag. 54^) 5 on a CU = 96i»,55. Ainsi donc, si Ton fait la moitié du petit axe = 960",! 55 (art. 33 ), on trouvera la moitié du grand axe = c/^Z^'y^ov*^ et lexcentricité évaluée suivant la seconde méthode d'observer deviendra == — r— , valeur qui approche d'une manière 396,7 i * 1
presque surprenante de l'excentricité évaluée d'après la première méthode.
37. Concevons maintenant de l'autre côté du petit axe un diamètre RQ qui fasse avec cet axe le même angle que TU ( 26'' 1' ). Il e st facile de voir qu'en vertu dû mouvement rotatoire du soleil , le diamètre TU diminuera de grandeur , tandis que RQ deviendra plus grand.
Or , ces deux diamètres ne seront jamais parfaitement égaux entre eux. Cependant , la rotation du soleil autour de son . axe pourrait en rendre l'a différence si petite, qu'il fût impossible de la découvrir au moyen des observations.
38. Cette différence est réellement indiquée dans le premier tableau tiré des observations répétées pendant 26 ans , ce que- toutefois on pourrait attribuer aux erreurs inévitables de l'observation. Du reste, on -trouve la valeur moyenne du maximum pendant les mois de mars et d'avril = 961", 37, et pendant les mois de septembre et d'octobre = 961", 75. La différence en est donc = o",38. Or, la valeur moyenne
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366 ooBBEsrom^AVcc
da minimum pendant les mois de jnin et de jaillet est =g6o'\o7 , et pendant les mois de décembre et de janvier ssg|6c/',3o; donc leur différence = o'%23.
D'après cela , TU représenterait le diamètre horizontal obêervé pendant les mois de septembre et d'octobre , et RQ le diamètre horizontal obserré pendant les mois de mars et d*avril. De pins , ce serait environ entre les mois d'octobre et de décembre que le plan BCL qui contient l'axe du soleil et le grand axe de l'enveloppe se présenterait perpendiculairement à Tœil de Tobservatenr » puisque le minimum pendant les mois de décembre et de janvier est également plus grand que pendant les mois de jnin et de juillet.
Si , d'ailleurs , les observations n'indiquaient , pendant un espace de temps considérable, aucune différence entre TD et RQ, on devrait d'abord en attribuer la cause à la petitesse de cette différence et aux erreurs inévitables de l'observation, mais peut-être aussi à la circonstance que la position de l'enveloppe est variable relativement au noyau da soleil.
89. Résumons en dernier lieu les résultats auxquels nous ont conduits les considérations précédentes.
f<> Il est de fait que le soleil se présente à l'observateur sous la forme d'un corps dont l'axe de rotation est plus grand que le diamètre de l'éqoateur.
2» Quiconque a observé à différentes reprises et au moyen d'un bon instrument la lumière et les taches du soleil , ne concevra que difficilement des taches différentes de celles dont il a été question dans ce mémoire. L'état de mobilité dans la surface du soleil , contraire à l'état de stabilité dans la surface de la lune , saute , pour ainsi dire , aux yeux. Qu'y at-il d*après cela de plus simple que de supposer un fluide subtil et élastique enveloppant le soleil^ à travers lequel on voit quelquefois jusqu'au noyau ? Qu'y a-t-il de plus simple que de supposer que cette circonstance se présente le plus facilement là ou la hauteur de l'enveloppe est la plus petite? Or» il sera toujours permis d'attribuer au noyau du^ soleil
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MATILÉAIATIQVI^ ET FUYSIQVE. S67
la figure qui lui convient d'après la thëorie des corps célestes assujettis à tourner autour d'un axe. Cette théorie n'est incompatible qu'avec la figure de l'enveloppe, telle que les mesures des diamètres nous forcent de l'admettre ; et c'est précisément l'hétérogénéité des figures de l'enveloppe et du noyau qui explique pourquoi on n'aperçoit plus de taches au delà d'une certaine distance de Téquateur.
3** Quant à la position du noyau relativement à l'enveloppe , elle est en quelque sorte indiquée par les valeurs des dia^ mètres horizontaux mesurés k différentes époques de l'année , car les résultats de ces mesures sont loin de s'accorder avec la supposition d'une figure parfaitement elliptique de l'enveloppe ( voyez les observations dans les Annonces saMintes de Goè'ltîngue, 1809^ n« ii3, 17 juillet). Et de plus, en admettant cette position telle que la représente la figure, on explique entièrement la circonstance singulière que l'équateur ne montre que très-peu de taches en comparaison des parallèles qui l'environnent.
Au demeurant , il reste à faire des mesures plus exactes afin de déterminer avec plus de précision la figure de l'en* veloppe. Qu'on me permette enfin de soumettre la question suivante aux astronomes plus versés que moi dans l'art d'observer : Ne serait- il pas possible d'achever ces mesures en bien peu de temps , en observant les diamètres horizontaux et verticaux , non-seulement à midi , mais aussi aux autres heures du jour? Sous cinquante degrés de latitude , l'axe du saleil décrit, pendant le solstice d'été, depuis 7 heu- 'res du matin jusqu'à 5 heures du soir , un angle de plus de 88 degrés. Les mesures des diamètres horizontaux non moins que celles des diamètres verticaux s'étendraient alors , pendant ces dix heures, sur un espace de a X 88 ou de 176 degrés; et par conséquent ces mesures réunies embrasseraient presque toute la surface du soleil, telle qu'elle se présente le même jour.
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368 C0An£SP05DANCE
Lettre de M. le docteur Reiss au rédacteur , sur quelques problèmes insérés dans la Correspondance Mathématique *
Monsieur ,
Veuillez vous rappeler une question de géomëtrie que vous avez proposée à la pag. 204 du tom, IV de votre estimable journal 9 et dont voici le contenu :
Étant donnée une courbe fermée , déterminer : i^un point tel que la somme de ses distances à tous les points de cette courbe soit un minimum ; a» un point tel que la somme de ses distances à tous les points de la courbe soit un maximum. On exige que ce dernier point soit dans Vintérieur de h courbe*
La solution que j'ai donnée de cette question ( pag. 4^ ^^ ce volume)^ a eu pour suite une note de M. Pagani {ib* pag, 210), dans laquelle ce savant analyste communique une autre solution du même problème , qu'il dit être une simplification considérable de la Jbrmule fondamentale ; et de plus un mémoire dp M. Steichen {ib. pag. 3o2), où se trouvent résolues deux questions que j'avais proposées à la fin de larlicle cité.
Quant à la note de M. Pagani, une simple comparaison vous montrerait que ce* n'est pas, à proprement parler, la formule fojidamentale qui a été simplifiée , puisque M. Pa^ani parvient absolument au même résultat que moi. Ce n est qae dans les raisonnemens analytiques qu'il y a simplification; et je dois à la vérité de dire que, la solution m'en parait être devenue moins élémentaire , et ce qui est beaucoup plus important , moins complète.
Je crois pouvoir justifier cette double assertion par l'emploi que l'auteur de la note a fait de Tinfiniment petit. En effet , M. Pagani admet , comme axiome , ou comme chose prouve'e , que la courbe auxiliaire divisée par n (n étant = 00) équivaut
MATlliïMATIQVC ET PHYSIQUE* 96g
h la différentielle de cette courbe, et que la somme de tous les rayons vecteurs , multipliés chacun par cette différentielle , revient à l'intégrale du rayon vecteur indéfini multiplié par la même différentielle. Or , un tel emploi de Tinfiniment petit ne saurait être légitimé que par des développemens étendus et profonds, et il importait d'autant plus de constater les propositions que je viens de rapporter, qu'elles ne sont valables que si la condition la plus essentielle de notre question est remplie; je veux dire si les rayons vecteurs passent véritablement par les points de division de la courbe auxiliaire. Je ne doute pas que l'esprit éclairé de M. Pagani n'ait reconnu cette vérité; mais en omettant de la signaler, il nous a âté tous les moyens de reconnaître si la formule fondamentale dépend véritablement et nécessairement de la condition sans laquelle elle serait tout-h-fait inadmissible. S'il pouvait rester quelque doute sur la vérité des remarques précédentes , le calcul suivant suffira pour le dissiper entièrement.
En nommant S la courbe auxiliaire, Zp la somme de tous les rayons vecteurs , et n le nombre de ces derniers ( qui est ici infiniment grand) , Tauteur de la note pose Téquation identique que voici : i
puis il fait
ds ;Lp - =2^ ds
ds;
d'ob il conclut immédiatement
S/9 Jp ds»
Mais si l'on ne change rien aux valeurs particulières des rayons vecteurs ni à leur nombre , la somme S/? ne subira aucun changement. Qu'on remplace maintenant la quantité S par une
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370 C01|]l£Sl>01fl)ANCB
autre quelconque , soit S' , ou aura cette autre équation ideo-, tique :
or, si l'on fait avec M. Pagani ,
-=£&'; S/j ds' =zfp ds' , I
on trouvera '
S^ /pds^ fpds' ^
c'est-à-dire que la nature de k courbe auxiliaire ne cbange pas la valeur de la moyenne arithmétique des rayons vecteurs: ce qui est évidemment faux. '' |
Je passe maintenant au mémoire de M. Sieicliem , dans lequel l'auteur a bien voulu s'occuper des questions que j'avais proposées à la fin de mon article. Je ne puis m'empécher de faire remarquer que j'y avais le seul but d'ouvrir à mes lectean un nouveau champ d'applications à des courbes connues. Aossi ai'je lu avec plaisir les exemples que M. Steichen a développés dans son mémoire ; mais quant à la solution générale de cfs questions , elle était superflue , puisqu'elle se trouvait comprise 9 à quelques signes près , dans la solution de la pre miëre question. C'est ce dont M. Steichen aurait pu facilement se persuader , en comparant les formules qu'il avait trouvées isoit entre elles , soit avec la formule fondamentale de notre question. Voici du reste L'énoncé le plus général de ce genre de questions :
Soit ^ r= yx ; qu'on substitue successivement dans cette fonction toutes les valeurs de x comprises entre des limites données. On demande la moyenne arithmétique de toutes les valeurs de y qui en proviennent , dans la supposition que le nombre de x (partant aussi celui des j^) renfermés entre des limites quelconques , soit dans un rapport constant avec rétendae de x entre les mêmes limites 5 c'estk-dtre avec la difffreocf de ces limlites.
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mjith^matiqub et physique. 3^1
Par rapport à nos trois questions , la quantité x représente la courbe auxiliaire qu'on avait divisée en une infinité de parties égales. La quantité^ représente en même temps ou les rayons vecteurs menés d'un point fixe aux points de la courbe principale, ou les angles que font les tangentes h cette courbe avec une ligne fixe , ou enfin les angles formés par ces tangentes et les rayons vecteurs menés des points de contact à un point fixe. Vous verrez aussi sans peine pourquoi la courbe principale n'est pas indiquée dans l'énoncé précédent. En effet , supposons que les courbes principale et auxiliaire soient, données par das équations entre leurs coordonnées rectangulaires , rapportées aux mêmes axes; on pourra toujours exprimer l'abscisse de Tauxiliaire en fonction de l'arc respectif de cette courbe. Or , la fonction soit linéaire , soit angulaire ou autre des valeurs de laquelle on cberche la moyenne arithmétique , pourra être exprimée en fonction de Fabscisse de la courbe principale ; puis en fonction de l'abscisse de la courbe auxiliaire , et enfin en fonction de l'arc de cette dernière. L'équation de la courbe principale n'est donc nécessaire que pour établir la relation entre y et a:, et pour déterminer les limites de cette dernière quantité.
Il est facile de voir que la solution de la question que vous avez proposée peut s'appliquer , en y changeant la signification de quelques lettres, h la question plus générale et tout analytique que je viens d'énoncer. Mais puisque des mathématiciens reconnus n'ont pas été satisfaits de ma première solution (*) (ce que je crois provenir plutôt de l'enchaînement des idées que du manque d'évidence), j'ai jugé convenable d'en chercher une autre qui fût à la fois évidente , facile à saisir, et dégagée des notions de Tinfiniment petit. Je vous demanderai donc la permission de vous exposer ici le résultat de mon travail.
('^) M. Steichtn dit qu'en demandant à M. Pagani des ëclairciuement sar mon article, ce dernier lui avait montre la véritable méthode pour r^ou-
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37a COAASSPORDAVCK
Soit Y là moyenne arithmétique de tous les^ compris entre la valeur initiale de x et la valeur ir sss x; changeons x enx -^ Ax; les quantités y et Y seront augmentées de A/ e* de aY. Or, en nommant N (Y) le nombre des^ contenus entre la valeur initiale de x et la valeur a: = ^, et N (aY) le nombre des y contenus entre j: = a: et a: =s j? .-♦- Ax , nous aurons par la nature de la question
N(Y) + N(aY) ' de plus renoncé de la question nous fournit
N (Y) -4- N (aY) :-x -4- ajc = N (Y) : x = N (aY) : ax • nous obtiendrons donc
xY -4- Ax aY
Y+aY= llzi,
X H- Aor
ou bien
(x-4- AX)(Y -♦- AY)==xY 4- AX aY.
Or , il est reconnu que
(x + Ax) (Y -i- aY)— xY= A {xY);
dre ce genre de questions. Je doate que diaprés ce que j*ai dit plus haut , on paisse appeler la méthode de M. Pagani aussi exclusivement la v((ritablfl- Do reste les suppositions géométriques de M. Pagani ne revi«nncnt-ellw pas toutes aux miennes ? N'admet-il pas qu'il s'agit dans notre question de chercher la moyenne arithmétique de tous les rayons vecteurs ? n'admet-u pas une courbe auxiliaire qu'on doit divher en une infinité de parties égales, et par les points de division de laquelle on doit faire passer les rayons ▼ecleursne parvient-il pas enfin au même résnltat que moi ?
MITHÀMATIQUB ET PHYSIQUE. 3^3
nous aurons donc
A (jtY) = AX AY.
Mamtenant si les valeurs des y entre x=:a7et;j7ss:x-h Ax étaient toutes égales à y, on aurait aY «s j" ; et si toutes ces valeurs étaient égales à j^ -4- Aj', on aurait aY =^ -4- Ajy* La véritable valeur de aY tombera par conséquent entre^ et^ -+- Ay , et sera de la formey -^a Ay -^ .-• (De semblables raison* nemens solit si familiers aux lecteurs des ouvrages didactiques de LagrangCj que je crois superflu d'y insister). Mais aY étant = A^a:=^«Ax + •...; nous aurons
Ay =:y 4- Aax -t- .... , et A (xY) = Ax AY =yAx 4- A Ax» 4- .... ,
d'oh l'on tire immédiatement
ou bien
équation qui résout la question proposée si Ton j prend l'intégrale entre les limites données de or, et qu'on assigne à a; dû dénominateur la valeur qui lui convient entre ces mêmes limites.
Il me reste encore à faire quelques remarques sur la question par laquelle M. Sleichen a terminé son mémoire. Il s'agit ici de trouver la courbe pour laquelle la fonction
ffds
devient un minimum, ds étant l'élément de la courbe, S l'arc de celte courbe prise entre les mêmes limites que l'intégrale , et ff l'angle que fait la tangente avec le rayon vecteur mené du point de contact à un point fixe. - '
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3^ ( CORRESVOVDAKCC
M. Steicken a très-bien reconnu que cette question était du ressort du calcul des. variations ; mais néanmoins sa solution me paraît être essentiellement erronée. En effet , M. Steichen trouve que Ja nature de la courbe cherchée est exprimée indépendamment de toute restriction par l'équation f = const» C'est comme on sait la propriété des spirales logarithmiques. ( C'est aussi celle du cercle , si ç» = 90® ; et de la ligne droite , si y = o , ou y = 180^ ).
Admettons , maintenant que les valeurs de f soient donnëes aux limites , et différentes l'une de l'autre ; dans ce cas , il est impossible qu'une logarithmique satisfasse à la question. Admettons encore que les rayons vecteurs menés du point fixe aux extrémités de la courbe , soient supposés être égaux entre eux. Dans ce cas la logarithmique dégénérera 'en un arc de cercle, dont le centre coïncidera avec le point fixe, et nous aurons
que l'on prenne les tangentes suivant l'une ou l'autre de leurs directions. Or , on peut mener entre les extrémités de cet arc de cercle une infinité d'arcs courbes dont les tangentes, prises suivant l'une de leurs directions, fassent avec les rayons vecteurs menés ,des points de contact au centre de lare de cercle , des angles moindres que 90^. La moyenne arithmétique
/fds
de ces angles , représentée par sera donc plus petite quego";
iS par conséquent l'arc de cercle ne répondra pas h la question.
L'erreur que je viens de signaler provient principalement de ce que M. Steichen n'a pas. fait entrer dans la solution la dépendance préexistante entre l'angle f et l'arc s ; en conséquence de quoi il a admis df et tf^ comme n'ayant pas besoin de développemens ultérieurs. Il me semble aussi que les diffe'rentes manières dont les limites pourraient être déterminées , doivent influer considérablement sur la marche de la solution; de sorte qu'en certains cas il ne puisse s'agir que d'un minimum relatif. '
MATUJCUATIQVE ET PHYSIQVL. S^S
Je termine enfin cette lettre dont la r<fdaction m*a été pénible en plusieurs endroits ; mais jugeant de mon devoir de rendre publiques les explications qu'elle contient, je n'hésite pas h vous prier de lui accorder une place dans la CorreS"
pondance.
J'ai l'honneur d'être , etc.
FrancforI , et 5 novembre 4830.
Problème gênerai de la trisection et multisection des angles et arcs de cercles^ communiqué par M. Roche , Professeur de mathématiques, de physique et de chimie h l'Ecole d'Artillerie de la marine à Toulon,
Dans le troisième numéro de la Reuue maritime , un savant allemand (i) prétend que la trisection de l'angle est possible. Un savant français répond qu'elle est non-seulement possible , mais que le problème général de la division des angles et arcs de cercle l'est également. Ces deux géomètres ont-ils raison ? Non, s'il s'agit d'une solution gA)métrique en n'employant que la règle et le compas ; oui , s'il s'agit d'une solution approximative : il fendrait donc en conclure que l'un et l'autre ont révë une chimère. Pas tout-à-fait cependant , et je crois que la solution du problème est possible , par un moyen approximatif et géométrique tout a la fois , mais par une approximation certaine , et dont la limite sera si l'on veut la largeur ou la longueur de l'empreinte de la plus fine pointe de compas sur le papier ou le plan quelconque sur lequel on voudra opérer. On ne peut construire géométriquement que les équations ou les radicaux du second degré; arithmétiquement un radical du se-
(i) M. Heinrich Hausman Seitzergasse , n» 43 , à Vienne. Une notification à ce sujet, signée par M. Herman JVermertkind y major de Tarmëe impériale, et iniérëe dans le n* 2 de VOEiUr'mH-ZtiUchriJï^ a ëtë rapporiëe dans le journal anglais, Journal of ihe united,*,, no17, mai i83o, pag. 622.
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sSjB COBRESPONDAICCi:
cond degrë est tout aussi impossible à assigner exactement ou en nombres finis , qu*un radical d*un degré quelconque , ou que le rapport de la circonférence au diamètre. Il en est de même de l'évaluation en décimales d'une fraction arithmétique , dont le dénominateur a d'autres facteurs premiers que les nombres 2 et 5.
D'après ce préambule, voici comment je résous le problème général de la division d'un arc de cercle.
Solution* — On sait diviser géométriquement un arc de cercle, soit I" avec la règle et le compas par l'intersection de deux arcs égaux tracés de leurs extrémités et celle de la droite qui joint les deux points d'intersection avec le cercle ; ou a» avec la règle seule par une parallèle menée par le centre du cercle au côté du rectangle inscrit, dont les diagonales sont les dia« mètres passant par l'extrémité de l'arc ; ou 3<* approximativement f avec le compa^ seul , par deux apcs égaux qui se rencontrent sur 1q milieu de l'arc donné. II s'ensuit donc que pour diviser un arc en plusieurs parties égales, il s'agit d'évaluer la fraction de l'arc que Ion veut avoir en divisions de cet arc de deux en deux, ou suivant les puissances de deux. En un mot , c'est évaluer cette fraction en une période binaire , dans le système de l'arithmétique binaire. Quelques exemples éclairciront cette théorie.
Trisection de V angle, — La fraction ~ réduite en demis, quarts, huitièmes, etc., donnera
ou dans la notation de l'arithmétique binaire •^=:o,oioiof, etc., car I placé au second rang, exprime -rt » i au quatrième -^
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rt ainsi de suite. D'après cette formule ou la période o,oi , ou la progression géométrique décroissante dont le premier terme est -^ et la raison 4- , je prends la moitié de Tare, puis le quart, qui me donne le premier terme de ma série, je divise le quart contigu de la mieme manière pour en obtenir le quart qui représente j^ ®* ^^°^^ ^® ®"**® jusqu'à ce que la petitesse des divisions me force à m'arrêter, ce qui arrive bientôt, et j'obtiens aussi exactement que possible le tiers de l'arc donné.
Division de V angle en cinq parties égales. — La fraction i évaluée en fractions sousmultiple de a , me donne
ou, dans l'arithmétique binaire, i ss= 0,001100110011, dont la période est évidemment 0,0011 ou j "*- 7g- ^^ -^premier terme de la progression
'^ = —r + ^-TT -*- — ;:r -4- etc.
ce que l'on eût obtenu également par l'alternative des c^uotiens positifs et négatifs , car
— = r+-^ J ■♦- etc.,
5 4 16 64 aïo
et en réduisant de deux en deux
comme ci-dessus. On prendra donc le quart de l'arc donné» Tome FL a6
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378 ' COIiIlLSl>OKDANC£
on en retranchera sur ce même quart le quart du 'quart ouïe seizième ; le reste sera l'arc -^ > on y ajoutera son seizième , puis le seizième de ce seizième , et ainsi de suite jusqu'à la limite que l'on trouvera bientôt , et l'on aura le cinquième de Tare.
Observation» — On opérera de même sur tous les nombres donnas. Quant à ceux qui ne difif èrent que d'une unitë en plus d'un multiple de 2 , on obtiendra de suite la période par les quotiens alternatifs, ainsi
