ST

ou -^ ses o, 0001 II 000 III etc. dans le système binaire. Quant aux nombres qui ne sont pas premiers, comme 9 et i5, on peut évaluer - en prenant le -i du - » et i en prenant le jda ~* Si l'on veut appliquer avec succès cette méthode dans la pratique , on fera bien de porter les divisions de chaque extrémité de l'arc , et de chercher une rencontre exacte au milieu; , et si c'est un cercle , du même point de chaque côté ou même des deux extrémités du diamètre, en dessus et en dessous, en prenant pour commencer une demi -division , si la division est impaire (*).

Construction des cinq polyèdres réguliers (**).

Si l'on désigne par r le rayon de la sphère inscrite du polyèdre, par t Tapotème du polygone régulier, qui constitue

(*) On peut voir une autre solution du même problème par M. le princede | Saxe-ff^eimart à la page 343, tom. IV de la Correspondance Malhémaiiquf' |

(**) Nous devons cette notice a M. le professeur Horner de Zurich^ co"°' 1 depuis long-temps par des recherches astronomiques et par son voyage a»* 1 tov du monde avee le célèbre KruscnHern»

Digiti

MATlliMATIQUE ET PHYSIQUE. * Sjg

une des faces du polyèdre ; par s l'aire de ce polygone , et par p le rayoQ de son cercle circonscrit , on a les rapports suivans entre le rayon de la sphère inscrite et Tapotème du polygone correspondant :

Dans le tétraèdre f = n j/a

— l'octaèdre f =3 r. — i/a

— l'ezaèdre . f = r.

— le dodécaèdre f = r. ^

«. vj r. 3 — j/5

— 1 icosaèdre t =»■ ^—

1/5— I l'expression dénote la division du rayon ren moyenne

3 — 1/5 et extrême raison ; — le reste de cette division.

De ces valeurs de ^ y on passe facilement aux expressions du rayon p qui sera

Pour la face du tétraèdre s=2j/2.r

— — — le l'octaèdre == |/2.r

— — — de Fexaèdre =s r

— — — du dodécaèdre = (3 — |/5)r

— — — de l'icosaèdre = (3 — |/5)r

Pour démontrer ces assertions » on fera usage d'une projec* tien orthogonale y dont le plan passe par le centre de chaque polyèdre , et sur laquelle toutes les lignes parallèles a ce plan se projettent dans leur grandeur naturelle. On aura soin de placer le polyèdre de manière que non-seulement une ou plusieurs de ces arêtes , mais aussi les angles plans et les angles piano-linéaires se présentent sans raccourcissement , ce qui sera toujours possible. *

Digiti

36o Ct>ltREfPONOAf;cC

Pivjeclion du tétraèdre f figure II.

L'arête AB se trouvant dans le plan de la section , les lignes AG et BG sont les lignes perpendiculaires à Tarête opposée ^ui passe par G.

Dans les triangles équilatères dont cette dernière arête est un côté commun , Tapotème CF ou CD est la moitié de BF ou AD , rayons des cercles circonscrits ; le rayon BI de la sphère circonscrite au tétraèdre se trouve par la proportion

GD: CB= FI:BI,ou

CD : 3GD = FI : BI ; donc Bï = 3FI.

De même on a ' BF î FI = BD : CD , ou

aCD : FI = FI : CD, donc aCD' = 4FP;

donc l'apotème GD = j/a. FI. Les propriétés connues du triangle équilatère donnent ensuite le rayon p du cercle circonscrit = 2f ; et le côté AB = i^/Z.t ou iy^%,\/Z^r. L'aire^ du triangle devient ôl/S.r* ou |/3.|û', La surface du tétraèdre = ^^\/Z.r^ et son volume = 8j/3.r^.

Construction graphique. — Ayant tiré les perpendiculaires AG et BD , on fait, BD ==4'* 9 ensuite on mène la tangente BG au cercle I , et en portantsa longueur sur G A , on a le côté AB du triangle équilatèrOé

V Octaèdre ^ figure IIL

Dans cette projection , AB représente une arête parallèle au plan de la section ; GA et GB , DA et DB sont des perpendiculaires , qui coupent les quatre faces latérales de Toctaèdrew Le triangle BIC étant rectangle en I, et le rayon intérieur IF perpendiculaire à la face BG , on a