MÉCANIQUE

jppnduk à oscillations coniques ; par M. Pouillet (*)j^ licencié es sciences.

Le4 équati'pas générales du mouvement d'un point matériel^ pesant sur une sphère sont :

jrdx — xdy

dt — ^'

xdx 4- ydjc + zdz = o , (a)

dx^ + 4r' + ^^' —^g^ + c' y (3)

on en déduit

, rdz cdt

ài= ^ - ^ (4) £/«= 1 (5)

( Mécanique de Poisson , lir. ii , chap. iv. )

Ces deux dernières équations étant intégrées ; donnent z et m. çn fonctions du tems ; d'ailleurs

jr = sin « V^r* — z» , :r = cos « y^r*— z».

în y mettant pour ^ et #, leurs valeurs en /, on aura x,^ et a:, en / j d'où. Ton déduira les équations de la trajectoire } la position! du mobile à chaque instant sur cette courbe ^ sa vitesse en un point quelconque , en un mot toutes les circonstances du mouvement.

Appliquons ces formules générales au mouvement du pendule à çsci Hâtions coniquesl

Supposons qu'un pendule d'une longueur r ; ait été écarté ^e la yerticale dans le plan des zx j d'un angle « , et qu'on lui imprime une vitesse a perpendiculaire à ce plan. Alors au commencement du mouvement^ on a

!•. "3^ = O, -^ = a ^ et (i) devient — a^r = c j d'ailleurs, â: = r sin « , donc c 7=: -— ar sin « \

(*J AiUcle oomminii«jii4 par M. Poisson.

dt »•• z £= r cos « I -^ s= o j et (5) devient a» = c'-f- 2 gr co5«r

donc d '=ia^'^^gr cos «.

Soit é l'angle du pendule avec la verticale en une position quel-* conque ^ on aura « = r cos 4. Prenant cette variable 4 ^ au lieu de z f l*équalion (4) devient

— sin I dé dt=zr . »

ya^ ( sin'l — sin* a) — a gr sin» 4 (cos « •— cos I )

Posons sin* 4 = ^ , sin* asm, et afin de pouvoir intégrer , supposons que les troisièmes puissances de p et de m puissent être négligées , ce qui revient à supposer les angles I et « assez petits pour qu'on puisse négliger les sixièmes puissances de leur sinus. Alors après les réductions ; on a

dl = r "^^^ :

y/— f* tû»4- gr) + f{a' + m (^a*+gr))--'a*m

d'oà / =

\/a*+gr a

a* + gr et en posant h* = y puis prenant l'arc entier au lieul i

demi-arc ,«____

ri / l/sin'l — A*\ /= — î.arc ( cos=: y -7-; r, }•

On voit d'après cela que A < sin a entraine sin ê >X', A = sin a sin é = *,

A: > sin a sin è<k.

Discutons successivement ces trois cas.

!•• Quand on a A: < sin « ou a < V^'Ung «, pour /=a

I == « , si t augmente , L^ -: ^^^^^ diminue ; doue sin ê dimi*

., . , a - kr 9 ^ nue lusqua sin é s= A = — =■ J alors / = .— |lcon-

tinuant d'augmenter , le cosinus represd des valeurs croissantes ^

jD»qu»a y ^■^,^^ = I oa » = • ; alors *ss .. ,, t continnant d'augmenter, le cosiuos diminue jnsqn'à sin t=:fc= — ^ ' alors / sr= . , t conbnuant d'augmenter , le connus reprend

des valeurs croissantes, jusqu'à |/^ ^î^^^ — ^^^^^ = i ou I — i« •

Ar alors /= .a*, i angmentani encore, on aura une seconde

oscillation tout-à-fait semblable à la première.

a». Quand on a /r = sin « ou a = |/^r tang « , il est nécessaire que sin 4 soi! aussi égal à k \ c'est-à-dire , qu'alors le pendule décrit autour de la verticale au cône droit à base circulaire dont l'angle au centre est doublé de celui de Técart.

3*. Quand on a A ^ sin a ou ô > Ygr- tang a , pour / ^ o ,

1 /sin*« — A* ,. .

a= «^ SI / augmente , 1/ -: dunmne; donc sin é auc-

'^ sm'« — A* ®

mente 9 jusqu'à sin = A= — j t continuant d'angmen-

t«r , le cosinus reprend des valeurs croissantes y jusqu'à. . ♦ . . .

iXsin'^ — A*

V "^-i 1; = * ^^ I = «, / continuant d'augmenter , le cosi-

... . ,^ l/sin»«— A* nus dmiinue , jusqu'à y -:-; ^ s= o. Par conséquent sin I

sin ce "^^ 1^

reprend des valeurs croissantes jusqu'à TÎn # — k-n ^

Va- + ^ ' / continuant d'augmenter , le cosinus augmente jusqu'à • . • . •

1 /sin'l — T « , ,. .

1^ . , j^ , = 1. Par conséquent é dmunue jusqu'à^ :=«^

c'est-à-dire que si a > ï/^ r tang a , le plus petit écart du pendule

est l'écart primitif, et son plus grand écart a pour sinus — ^

l/û* + gr ' or y pour trouver l'intégrale , nous avons supposé que les sixièmes puissances de sin m et sin è soient négligeables ^ d'où il suit , que pour que la discussion précédente soit juste , il faut uon-seolement

Iqué à soit assez petit jpour que sin^« puisse être négligé 5 miii A ifaot encore que la force d'impulsion soit telle que la sixième

puissance de — puisse être négligée ; quand ces condi-

K û" + gr lions seront remplies , on aura Pangte du pendule avec la verticale à un instant auelconqoe; quand elles ne le seront pas , il faudra reprendre les formules rigoureuses, et l'analyse précédente ne sera plus applicable.

Maintenant pbur déterminer completteraent sa position , cherchons u en fonction de i par la formule (5) ; elle est intégrable j soit qu'on cherche d'abord cê en z , soit qu'on cherche directement w en / : ce moyen est plus court.

£n remplaçant c et z par leurs valeurs , l'équation (5) devient

di dt ^

dm = ar sin « . ' =- iar sin « . •

d'où du =

r*8m'«' a sin a dt

tf S]n«

it* + ( sinV — ^M cos'^.-^ rk

(l+tang'/.^)rf/

A» (1 + tang'/ . -^) + sin- a — *^

4(i+tangW.^)^/ sin*a a

ii8in« \ " ^ rk / , à

— 'g — • "^ — di . :

rk* siii'« a rk

J.tang/.— 7^ rk

hillis la diftereiitielle de l'arc t * --r' est égale à ■ — y

rk a

i+tangv,^

a.tangr.— 7-

... , sm * rk

ainsi dtÊ 5= —- — -r y

k sm'tf . a

'â'bu enfin « = arc

où tang # = -T-^ tang <•— r-- 8111 m ^ rk

llrant delà sin m et cos m , pour les sul)slituer dans y tX x ^ et j mettant aussi pour jt sa valeur en / ^ on trouve

jrsrrAsin/.— r- et Às=r sin «cos ^è— ;-; rk rk

ensorte qu'on a ces deux formules , et :

cos'«$ + ( 8in'« — A:* ) sin* / . -—r-,

pour déterminer à chaque instant la position da mobile* On tti dédait pour les équations de la trajectoire ,

( r» s'in^my -f- t'k^x* = r^k^ sin'ié

l r* sin»« z» 4- r'x» (A»-*- sin*«) = r^sin*a ( l-^/lr*)>

C r» sin'jt/» + r^k^x* = r^A:» sin'dt

l r» A'z* — r^* ( sin*« *— A:» ) = r^A» coS'« j

d^ou il suit, qu'en général^ la projection de la trajectoire sur le plail des XX est une ellipse, et sa projection sur le plan des zx est une ellipse ou une hjperboJe, selon que k est <ou> sin a 5 c'esl-

à-dire, selon que la vitesse d'impulsion est < ou > KJgr • tang « ; mais on voit par le second système , que quand c'est une eUîpsé sur le plan tx , c'est une hyperbole sur le plan zy ^ et vice versai

Pour le cas particulier Ar = sin «, ou a = Vgr tang « , la projection sur le plan xjr , devient un cercle de rayon rk , et chacune des autres devient une ligne droite pour laquelle z est constant et = r cos ce.

Connaissant ainsi les équiitions de la trajectoire , il est très-facile de trouver les points qui répondent à une valeur donnée de ^.r^ur t se trouvera immédiatement par z = r cos ê , et les x et les jde CCS points sont ceux de la rencontre du cercle j^*+ x^ = r»sin"^ avec l'ellipse r* sin"«j^* -f- r^k*x* = r^Ai' sin'a.

On trouve pour la ritcste du mobile à un instant quelconque/

V' — " &» Cos*« —

• s\n*t . — r- ( siii*« — &* )

cos*a + sin*/ . —7- ( sinV — A:» )

Il est facile de voir qu'elle atteint son maximum , quand ê prend la plus petite valeur j c'estrà-dire j quand Je mobile est au point le plus bas de sa trajectoire y et qu'elle atteint son minimum ] quand é prend su plus grande valeur , c'est-à-dire , quand le mobile est au point le plus haut de sa trajectoire.

Pour le cas de ê constant , cette vitesse est constante et égale à ]a vitesse d'impubion a.

En faisant a = o dans tout ce qui précède , on retrouve le pendule simple à petites oscillations , et toutes les circonstances de son mouvement.

Sur le mouvement de Rotation des corps libres j par M. RoDRiGUES) licencié ès-^scienccs*

Je prends dans la mécanique de M. Poisson les tîx équations du mouvement de rotation des corps libres ^

pdt = sin 4 sin ^^4 ~~ ^^^ 9^^ 7

qdl = sin é cos ^d^ ^ sia^dè , \ {a) ( pag. i5? , ton^* II.)

rdt = J(p — cos ^^4^.

Cdr-^^^B'-A) pqdtzszo j

Bdq ^{A— C) prdt = o , ^ (c) ( pag. x \\ , tom. I.)

Adp^{C'^B)qrdtzs:iOy

et je me propose d'intégrer complettement ces fis équations dif* férentiellesy en conservant aux axes des coordonnées toute leur généralité.

Je parviens, de même que dans l'ouvrage cité| «oz équations

Ap'' +Bq- +Cr» =h\ Apa +Bqb +Crc =/,

Apa'+Bqb^ + Crc' = V, ) (h) (pag* 145, tom. T.)

jpaW^Bqbff+ Crcff—Fj ces trois équations carrées et ajoutées donnent

raposaïkt Jî:»=:/* + /'*-+/^%

au moyen des ^qualions-^/>«+^9'4*Cr*=A% -^»;>*+J?V+^*'"'=** et des équations {c) , ou élimine p et ^ , et Ton a ainsi entre f et lo tems t une équation , où les variables se séparent sur-le-champ , et qui donne le tems i en fonction de r au mojren d'une intégra^' tion. Ainsi) p, tfy r sont déterminés en fonction du teins* Substituant ces valeurs dans les équations (b) , on a trois équations entre ^9 9, 4^9 et le temps /, mais qui se réduisent à deux à cause que /» 4- ''* + ^'* = ^'* Il f*"t donc encore une intégrale pour compléter la solution de ce probléine. Pour la tiTouver y j'observe que les équations {h) étant multipliées et ajoutées , la première par a, la aeusième par a' , la troisiàme para^/ ^ donnent

On trouve de même Bq=z bl-^- bW + b"!^ , Crz= cl + c'I' + cm.

Je multiplie la première par PflsL seconde par q ; je les ajoute ensuite, et je divise par {ai+ a'i'+ aH^f y + {bl + fc'/'-f b»i»f)% qui est égal à A^* — Cr* ; j'obtiens ainsi

dt jjjp^ + Bq^) __ {al + afU+ aH») pdi -f {bl + yV+ bHfJ) gdf ^ K^ — Or* ~ {al + a*V^aHny + {bl + b'l'+bHfl)* '

J'ai trouvé que cette formule était intégrable. En effet , mettons à la place de a, a' ^a^, b, b^b^, c, c', c", pdty çif^, leurs valeurs

a =cos4 sin^'sin^-f-cosif/cos^i pdiz=zûnîsixk^'^'^cosçd9^ b s= cos é sin 4^ cos 9 — cos 4^ sin ^ ^ qdi =:sin 4 cos ^d^ -\- sin ^d^^

c =sinlsin4'y

a' = cos è cos4^ sin ç — sin >^ cos ^, ^ ' = cos I C084 cos q) ^ sin 4/ sin 9 ) c'cssin écos4^« a'^ss: — sin é siu 9 y ^'= — sin ê cos f , cessées ê I nous trouverons wp'^àqrsd^ (iin4c09 Aâa4«o^#+nti# cos#iiilf 0094+slii t cotl sin 4 oo«*4—- iln^ eos p tt& f oos4 -l-cfl (tiofcosf •iD4cast — iiB*#oo9 4«i;ïCOf*#oos4 — cot#sin^cos9»iaY;>

oa a p '\<' h qtrzsih^cosêsln'^^d^ '^ cos -i^dê /

de même a' p '{^ b' g =zsinêcosêcos^d^ ^^sin ^d$f

a^p -|- b^q = — sin** d^»

Ainsi

( al + a'V + aH^ ) pA + ( A/ + h'V + hH^ ) 9A

or, ( a/ + aV + aH^ )» + ( W + *7' + hH^ )»

—. X. — ( c/ + c'/' + cUn)^

= A» — [sin«(/sin4^-|./'cos4^) +/«'cosé]* j on a donc Ap* -h ^9» __ <in!</4 (cos» (/sin44-/'c<M4)— rMg<)— <y> (fco«4"'/MD4) , -^

Î puisqu'on connaît 0, ^^ r en Ê)nctions da tems^ en substituant eur» valeurs dans le premîef membre de cette équation , on aura vne formule qu^on intégrera par quadrature. Si donc je parviens à intégrer le deuxième membre en regardant les variables 0,4^, comme indépendantes y j'aurai la dernière équation nécessaire pour com'* pléter ta solution du problème.

J'observe qu'en divisant haut tt bas par sin* tf dans la formule {d)y et faisant x = cot ê ^ l'angle I disparait; et la formule devient

• ^ cfar.f /cos4/-^/^sin4/) + <^4 (x (/sin4/ + /^cos4^) —T)

A'. (1 + X* ) — ( /*Jt + / sin4. + /'cos 4.)» le dénominateur prend la forme

( A'—/"*) a:* — 2 a:///(/sin 4 + /^cos 4 ) ^ A* — (/sin 4 + /'cos 4)'. SI on le multiplie par A* — /'^ , et qu^on observe que

A«— /»»=/»+/'» = (/ sin4+/'cos4)- + {/cos4 — /'sin4)«, il devient

[(/i:.///.) ar — /«'(/sin 4 + /'cos4)]»+A«(/cos4—/'sin4)'. Ainsi la formule (</) devient

(/îC»/y«)(fcos4-/^sin4)^3r-^(A'— ///'y4[/yjr(/sin4+/'cos4)] [(A»— /''•)x— /'/(/sin4+ /'cos4j]*+ A'(/co8 4 —/'sin 4)» ^^

Sous cette forme, elle est facilement intégrable par rapport à x^ et Ton trouve pour résultat

» ... „„„ (/ir'-/*')a:r-/^(/sin4 + i>cos4) K ^ K f/cos4 — /'sjti + )

Assarons-nous par la difTérentîation par rapport k ^ ^ que cette fornmic est aussi l'intégrale en ^. On trouve en effet

a, J |^(^'-^0y-^(^«ip44>/'cot4)(/>ui4^-f(»a4)->fiir(/coé4-f«n4)(^^ ^ [(iï»—r«)x--rt/iiii44-^co«4)]»+ir«(/cos4-/'»iD4)» ^*

ezpresnon qui se rédoit à

f a:* — /^')<f4(/^^~g(/sin4 + ^co84)^4/

""[(A» — /^*)x — /<'(i8in4.+ /'cos4)]» + ii:»(/cos4 — /'«n+Z

qui est la partie relative à 4 ^^^^ la formule {d).

Remettant pour x sa valeur, l'équation que nous cherchons , et qui est la siiième intégrale des. expiations du mouvement de rota-* tion^ est

Z. ÂL — =coiw/.+arc.tang.i — ^^, i ,, , < ^•

A»— Or» . ^ A ( / cos 4 — / «n 4 )

Pour construire cette expression trigonomë trique , je vais inlro<» duire les angles que la droite perpendiculaire au plan invaHabU fait avec les axes des coordonnées. Soient a^fi^y ces angles, oa ^ aura {voyez la mécanique de M; Poisson)

/= — Acosn, Z'£=-— Aco8/8, /// = — Acosy-

Appelons tt Tangle formé par cette droite avec l'axe du corps , noua aurons

( cl 4- c'V + cH^ )

or • sm 4 =3: . ■ ■ ■ • cos 4 = — : — r i

• ^ sm # ^ ^ sm # ^

on a donc par ces substitutions

'^/r»-r*)<»i«-r(/«in4-«-rcos4) nnvcc»» — cosy(cco5«4-c'coi/l)^co»t-cos>COfé jr(/oot 4 " ^"i" 4) c cos /S - c'cos « c cos - c co» «

Mais (c cos /S — c'cos «)* = sin»y sîn'« — (c cos a -f- c'cos j8 )• j d'ailleors (c cos « -f* c'cos |8}* ^^ ( cos j^ — cos y cos I )*.

On a donc (^f) cette nouvelle eipression^au lieu de la prëcé(lente(^) cos I — co« y cos j» .

K sin"y sin^l — - ( cos m — cos y cos ^ )'

donc le nnas de r^rc , dont {ji) est la tangente , est égal a

'COS ê~COSy €08 tt COSi - COSyCOS^^

i|/(cos tf-co8v cosd^;*'-^(co8«-<osycosé)*-f-sm'ysin»l •*'*> ''"^ •

Or y si nous observons que ê est l'angle forme par Paxe du corps et Taxe fiie^ y celui formé f9LT l'axe fixe et l'axe du plan principal » m l'angle de Taxe du corps et de ce dernier axe , nous vojons par la

... COS* — COSyCOSjn - -

trigonométrie sphénque que — ■• -. r- — — — est le cosraus de

Tangle formé par le plan , qui passe par Taxe du plan principal et par l'axe fixe, avec le plan passant par la première de ces deux droites et par l'axe du corps } lequel angle est le même que celui jque la trace du plan des xjr, pris daos les corps sur le plan principal, fait avec l'intersection de ce plan avec le plan fixe des xf. Nommant le complément cet angle ^^, on a