partie — -L- ^ imaginez qu'on
ne fasse d'abord Ax nul que dans Aq ; cette partie deviendrait par la même règle, '^'-~; mais -^ n'est autre chose que U
fonction — où l'on mettrait au lieu de p ^ p + Ap -^ donc
puisque Ap s'évanouit aussi en même tems que Ax, ^ à la K-
mite de Ax se réduit à -^, et Ton a enfin: dq
dj^^dy dp djr dq
dx dp' dx dq* dx*
pn trouverait de même pour une fonc^ign de trois fonctîetis
( "9 ) Pf^,r, rcpresentéepar jrsr/(p,^,r):
djr __dx dp ày dq dy dr dx dp' dx dq' dx drdx' €t ainsi de suite.
D'où l'on voit que la troisième règle s'étend à un nombre quelconque de fonctions p ^ q ^ r, etc. , qui pourraient se trouver sous la fonction que Pon considère.
Telles sont les règles générales au moyen desquelles on peut difïércntler une fonction quelconque d'une ou de plusieurs autres fonctions , si l'on sait difierentier les fonctions simples dont elle se compose.
Ainsi tout se réduit à savoir différentier les fonctions que Ton regarde conmie simples y et dont on fait usage dans l'analyse. Or^ la première règle ,
~ = -^ ! — — ^^ — ( a la limite de Ao: )•
dx ûx ^ '
ne peut rien donner sous cette forme générale > puisqu'en fai««
sant ikx nul , Peipression "^i > *^ - devient ; ce qui
n'apprend rien: il faudrait donc avant tout transformer cette
expression de manière qu'elle ne se réduisit pas à — • La seule
transformation générale qu'on puisse indiquer est de développer /(x+Aâ:) en série, suivant les puissances de Aat} ce qui donnera :
/r jr + Aa:) t=ifx + XùJC + -Y;Aar» + JT^AJC» + etc.
Retranchant yor y divisant par Ax et faisant ensuite A» s=so, on aura:
dx
àr Ainsi la fonction différentielle -— sera le coefficient de la pre-
dx
inière puissance de Ax dans le développement de /*(« -f- Ax).
Or| on connaît ces dévcloppemena pour les fonctions x^^al'^
log X , slnx f cosx , etc. , et par conséquent on pent trourer par cette voie les différentielles de toutes ces fonctions simples*
Hais ponr ne rien emprunter d'étranger à notre calcnl , j'observe que les règles générales données plus haut suffisent j même pour difler entier ces fonctions que nous regardons comme simples; de sorte que par ces règles y on saura différentier non-seulement les fonctions composées , mais encore toutes les fonctions simples , ai l'on sait seulement différentier la plus simple de toutes qui est la variable . même x que l'on considère, et oont la différentielle
est éyidenmient dx , et le coefficient -^ Tunité*
Soit , par exemple , j* = *"• la fonction qu'il s'agit de différentier; la nature de la fonction x^ donne cette identité :
r' a lieu quelles que soient a, x et m, et qui est nne définition ce genre de fonctions qu'on appelle puissances»
Si donc on suppose que jrssix^ donne -r» rz^x^^x étant
aX
une certaine fonction inconnue qu'il s'agît de découvrir , l'identité
(as)'^ = ii^.x^ donnera de même ( règle a et hypoth. ) :
f (ox) a = a"*çx;
d'ott l'on tire , en divisant de part et d'autre par aTx^^* :
a-»-« (flx)— ' '
or, le premier membre est tout-à-fait indépendant de a : donc le
Mcond doit l'être aussi. Mais ce second membre est une fonction
du produit ax : donc s'il est indépendant de a , il l'est nécessai*
, , p'ax) -
rement de â: : donc est une constante K qui ne peut
dépendre que de l'exposant m, et qn'on peut désigner f^fm^ «t l'on aura:
. ^^; = K ssifm , d'où 9 * =/«•«*•-».
Il ne reste plus qu'à déterminer la comUatey}ii«
( lai )
Pour cela , je considère l'identité ar* +* = ae*x ar» , et j'ai , en difîérentiant et divisant ensuite par a:"'''"""', Téquatioa
fm +fn =/( m+n).
Ainsi la fonction marquée par fin est de telle nature , (jue la somme des fonctions est la fonction de la somme.
On aurait de mèùïejm+/n^fp+tic:=sf{m+ n+j^-f-etc.) ; et disant nk^n^p^ etc. égaux entre eux et à m ,
^ 7=1 f {me) ,
équation oii m est une quantité quelconque ^ et e un nombre entier tel qu'on voudra.
Mais quoique e j soit entendu comme un entier , il n'en résulta pas moins que cette éouation peut être considérée comme une identité en m et e ^ où l'on peut certainement permuter les lettres m et e, puisqu'on peut le faire dans le secona membre f{nte)f sans en changer la valeur*
Ainsi l'on a ; ejm = mfe*
Pour obtenir /fHf il suffit donc d'avoir fii pour quelque cas parti-* cnlier on cette fonction serait connue d'ailleurs : or dans le cas
de e r= 1 1 on a ye = I ^ car ^=: a:' donnerait -^ z=zf(i)x*=fli) j
mais d'un autre côté , par la i'*. règle ,'on aurait :
djr jx + A^—x)
dx Ax
donc/(i)= 1 9 et l'équation efm:s::mfe nous donne ainsiymcsTit ^ quelque loit l'exposant »•
Ainsi l'on trouve pour la fonction jrs^x^t
dy '
-j^ssijm:*— *, xm' drr=:nuf^^*.dxf
dx . .
quelle que Ml m.
Si Ton craignait quelque difficulté snr la manière dont on établit l'équation efm^^mfe , on pourrait ne considérer d'abord que le cas de m entier , oii cptte équation est manifeste , et l'on en tirerait comme ci-dessus fin == m. Après auoi faisant mê^=^q ^ dans la précédente tfm^s^fme qui a lieu quelle que soit m , on aturait
( laa )
)e cas de m fractionnaire; enfin faisant » = — «m dans Péquallon fondamentale fm +fn =y( m + n ) , qui a lieu quelles que soient m et 71 y on aurait le cas de m négatif; et Ton démontrerait successivement le théorème dans ces trois cas sans rencontrer la moindre difficulté.
Mais je passe aux exponentielles.
dy Soit donc r:= a' et -7^ = ax, 9X étant une certaine fonc- •' dx
tion de x qu'il faut découvrir par la nature de la fonction exponentielle a". Cette fonction a' est définie , par exemple ^ dans cette identité :
qui a lieu quelle que soit m.
Différentiant par les règles précédentes , et divisant ensuite par m {a'y , on trouve :
^x ^ (mx)
Otj le premier membre est tout-à>fait indépendant de m : donc le second doit Tétre aussi ; mais ce second membre est une fonction du produit mx : donc s'il ne dépend pas de m , il ne peut non
plus dépendre de or ; et ^^^^ est une constante K qui ne peut
plus dépendre que de la base a de l'exponentielle af. Ainsi fx^zKa*, et Ton a :
dx dx
On pourrait chercber comme ci-dessus la nature de la fonction/a qui représente la constante K , et l'on trouverait facilement cette propriété :
d'où l'on voit que /a est de la nature des logarithmes, et peut être représentée par c log a y c étant une constante qui ne déoend plus que du système de logarithmes que l'on voudrait choisir. Mais il est plus simple de ne considérer a'abord que l'exponentielle c'y ou e représente la base des logarithmes de rléper | et d'y réduire ensuite les autres exponentielles*
( "3 ) Pour j^= e', on aurait donc :
^^Ke-, d'où K = ^^^'.
dr or quand a: = o,j'=i, et par conséquent K s= -—- , quand
dx X = o. Mais la base e des logarithmes de Néper est telle que la première raison de l'accroissement Ajr du nombre ^ l'accroissement Ax du logarithme^ est l'unité à l'origine des logarithmes.
dy Ainsi --j— est i , quand x = o ; et Pon a A s=i dans le système
de Néper ; on a donc :
dx dx
Actuellement a* peut être changée en e^^t donc en différentîant ,
—— = «**••/« = a' • il. Et la constante yà n'est autre chose que
le logarithme même de la base a ^ dans le système des logarithmes naturels*
On pourrait aller plus loin et varier les démonstrations; mais ces exemples suffisent : et d'ailleurs , par la conversion mutuelle des sinus et des eiponentielles , toutes les fonctions que l'on considère en analyse peuvent se réduire aux deux fonctions x^ et a'. Quant aux fondions inverses , log x y arc sin =: x , etc. 9 leurs différentielles y parla seule application de la seconde règle , se déduiront des précédentes sans aucune difficulté.
Ainsi le calcul différentiel est compris en entier dans les trois règles générales que nous avons données. La première est la définition même de la Jonction différentiellej et les deux autres sont l'expression des lois par lesquelles la différentielle d'une fonction composée de plusieurs autres , se compose des différentielles relatives à chacune d'elles. Ces lois sont, comme on voit, très-simples, et il est bien digne de remarque qu'elles soient semblables à celles de la composition des forces ou des mouvemens dans l'espace.
(ia4)
Sur le changement de la variable indépendante ou transformation des fonctions différentielles ( Extrait des leçons d'analyse de M. PoinsoT. }
Soit j^ une fonction qàelconqoe ie x^y s^fx ; on aura ; commi
on raya, -r— >; -p^> elc.| poor les coefficiens différentiels de j dx dx*
par rapport à x. Mais si i*on imagine que x deviosne fonction d'an
troisième yariablc t ( auquel cas jr devient aussi fonction de t), (^
qu'on prenne les coefficiens différentiels de y par rapport à /j
on aura , par le principe «de la différentiation d'une foactioa ai
fonction ( a^ régie ) :
dl ^ ilx' dl ^ dx ~ dx ^
dt ce qui donne ce théorème :
Le coefficient différentiel d'une fonction ^ de â: pris relativement à Xf est égal au rapport des coefficiens différentiels de vet J; |iris relativement à la variable / 1 dont on les suppose toutes deux devenues fonctions.
àf On aurait donc de mime, en désignant pour un moment -^
dp dt j,
pu pi ;^ = *""5^ — > ®^ ^^ mettant pour^ sa râleur, et aev«-
lu' lofpant les difïérentiations
dx d*r djr d*x
d^ dt * dp dt ^ dt^
4tr*"" /dx\i *
KdT) •t ainsi de suite*
Ainsi l'on a c«* fornuUea fondapaentâle* i
dr
dy dt
dx^ dx '
dt
dx ^ dy d'x «f»r l dt ' dt^ dt de
ik
dx' (dx\ '
^dxyd^jr ,«/« d'x d'y , ^dy^d'xY d}y\dt) rf?" ^IF' de ' de -^^dXdt^ J "
dx dr d}x
di'dt' d^
d*^ /^dx\i
\dt)
dont la loi est uniforme , puisque chacune d'elles se dëduit de la ^écédente en la diffërentiatit par rap|^rt à 1^ «t divisant ensnice dx
Ces formules serviront à transfox^ner tonle expression difîédr d^ rentielle %xkx^fj -j-y -f^f etc., en une autre qui renferm««
rait à-la-fois les coefKciens différentiels de x et y ^ mais pria relatiTement à une troisième variable / dont on les supposerait fonctions.
La fonction f t que l'on suppose au lieu de la variable dr y «sC tont-à-fait arbitraire j mais quand elle est choisie , jr devient nécessairement une fonction déterminée dei, qui est7'=y(çi}y afin que par l'élimination de t entre les deux équations x:=9i tC ^ = /( f / ) , on retrouve jr vs^f[x) ^ «est i'équctiim proposée.
81 l'on snpposak Maj^eBsent a? = /, on aurak: dx *d*x d^x
( "6 ) et les formules précédentes (ji) redeyiendrdedt i dy dy d^y d^y
comme cela doit être.
Mais si l'oa suppose .r une telle fonction de t qa'il en résulte
dy dW
pour j^,^= /, alors on a : -~ = i ^ -j^ = o , etc. , et les formules {À) deviennent :
dy i d'^y dy*
dx •éir \ ' dx* *^ / ^ Y '
Ce sont les formules nécessaires pour passer des coefficiens différentiels de y relatifs II Xj aux coefficiens différentiels de x relatif k jr f on des coefUciens différentiels d'une fonction aux cofficiens différentiels de la fonction inverse.
dy Sachant , par exemple ; que ^ = sia x donne -~- c=: cos d: , en
dy 1
transformant -^ — en -r— • on en conclut tout de suite : dx dx ^
dx 1 d ( arc sin a=jr )
djr cos x^ djr y^i — ^'
Si Ton suppose , en général y pour x une telle fonction de i qu'il en résulte t;='\{x ^j)j ^|/ désignant une fonction donnée , on aura :
d^^/dx\^d'id'^xd^'^^djry^d^ d*x «^4' àx dy
^~dx\drj '^Ix'TF'^'^KdtJ '^'^''dF'^^dx^ltlï' o=etc.
Et au moyen de ces différentes équations , on éliminera des for-
dx d*x dy dw
mules générales (-r^) , -^f -^^ «^^M ^" "5"' "S^' ***^' ' ^^
3ui leur donnera une forme particulière relative à U fonction ' ( ^ 1 7* ) 9^^ ^'^^ ^Q^A choisie pour /«
On voit même que pour chasser —, — , elc.j ^"j^' "TT» ®*^'^
il i?'est pas nécessaire de connaître la fonction -^{x ^y) que l'on prend pour variable indépendante / ; mais qu'il suffirait d'avoir son coefficient différentiel relatif à /. Ainsi je suppose que 4'(Xy ^) soit la fonction inconnue de a: et de y qui représente l'arc s de la courbe, dont J^^fx est l'équalion.
On a vu que -5—= V ^ + \~d±j * ^* ^^^ conséquent, oa aura :
Donc en faisant s^zt, comme on le suppose ici , on aura t
dx d*x dy d^ et différentiant : o =. ^.^ + "^ ;5jr ^ .
0= etc.
Au moyen de quoi on chassera des formules {A) les coefEciens
dx d^x àr dy .
ZZ. , , etc. ,. ou -1— » —■ • ce qui donnera , en remettant s*
di ' de ' di dr
au lieu de t , pour mieux rappeler que t doit être l'arc même de la courbe :
dr^ dy dy ds ^V.^ <fe'
^. dy ^ ^ \ds) ourbien -r— = ,
dx dx
ds
Si Ton prend / = arc sin = *^ = arc ces
•n en tirera de même des ëquations au moyen desquelles on pourra éliminer des formules générales, les coemciens différentiels de JT ou de / relativement à /, ce qui leur donnera une forme particulière relative à cette hypothèse.
Si l'on fait /= 9 £= arc sins= f et en mime tenu
l)/x*+J^ = r; on aura y = r sin ^ » x = r cos 9 , et Ton en
dx djr d^x dy . dr d'r
tirera les valeurs ,,, —, etc.,en , —, etc.,
et substituant dans les formules générales (^)y on aura les coef-
ficiens différentiels -7—, -7^, etc., transformés en coefRdeus dx dx*
différentiels du rayon vecteur r ( mené de l'origine comme foyer),
par rapport à Tangle 9 que forme ce rayon vecteur avec l'axe des
abscisses.
yi.
On peut appliquer ces formules aux différentes expressions des sous-tangentes , sous-normales y à celle du rayon de courbure, et en général à toutes les expressions ou équations différentielles qui pourraient s'offrir.
Par exemple , le rayon de courbure A est , en fonction difféfentielle de l'ordonné* jr rclativemetit à TabsciKe x :
. j'Hm
dx*
Si Ton regarda x ei y comme fonctions d'nne troisième viriable quelconque i, cette expression devient f
dx dy dy d^x *
&\ Pon 7 suppose â?= /, elle redonne la première* Si l'on fait x=^h elle donne celle-ci :
qni ne difïere de la première que par le changement de or en ^^ et par le signe ^ elle diffère par le signe y parce que la courbe ne peut être concave vers x sans être convexe vers j ^ ^\ récipro^ ^uement.
Si l'on suppose / = 5 = la fonction de /r et j' qui mesure l'arc / de la courbe proposée , la formule devient s
et cette expression sera la plus commode dans le cas ou l'équation de la courbe serait immédiatement donnée entre l'ordonnée et l'arc. Soif 9 par exemple ^ un cercle dont s est l'arc ^ y Pordonnée^ a le rajon ^ on a :
et '
R = : = a c= au rayon.
Soit encore l'équation j/aa ( aa — j) =: 4a ^ * , qui appartient à une cjrcloïde ^ dont j^ serait l'ordonnée perpendiculaire à la base , s Parc correspondant qui commence avec jr , a étant le diamètre du cercle générateur ; on aura :
\ds / %a^ ds* 4a "^
ainsi le rayon courbure est double de la corde menée du point décrivant au point de conttet du e ercle générateur avec la base.
Énfitt si dans réimpression générale du rayon de courbure ,
TOUS faites 1= r = V^:c*+r • vous^ pourrez mettre cette formule
«n ^, ^i ou bien en -5^, ~, selon ^ue vous voudrcx
éliminer les coefficiens différentiels de x ouder, relatirement a cette troisième variable rj et vous auriez le rayon de courbure nar Pordonnceet le rayon vecteur r. Vous pourriez, ensuite regarder ï et r comme foncUon d'une troisième variable , et remettre la formule d'une manière générale en :
dr dy dr d*r^ ^
"ST* 'dF^ dt ^ dt^ *
faire ensuite f = 9 = «c sin^, et chasser —, — i etvou*
auriez le rayon de courbure en :
dr d'r ^
mais vous pouvez éviter cette double transformation pour passer aux coordonnées polaires r et 4>, en posant tout de suite , comme on l'a fait ci-dessus :
j^ = r sin (p , et x = r cos f ; d^oii en tirant les fonctions ,
dy d^x ^ £!£
5^' 5^' 57^ rf^''
et substituant dans l'expression générale (VI) , «près y avoir changé / en 9 ) vous aurez :
On considère encore l'angle m que la tangente de la courbe fait
avec le rayon vecteur , et qui est égala l'angle formé par cette tan-
• gente avec l'axe des abscisses , moins l'angle formé par le rayon
vecteur avec le même axe. Or, le premier de ces angles a pour
tangente: — ^ ; le second, -^ \ et vous Uouverez que la Ungcnie ^ dx X
fi3i) ide la difiérence m y sera en coordonoëes polaires r et 9 s
tang ti = ~.
ar
Ces formules seront utiles pour un grand nombre de courbes \ dont l'équation est très-simple en coordonnées polaires ; et eutro autres pour les spirales.
Soit , par exemple, la spirale logarithmique, dont l'équation est ,^ r=a>j on trouve pour la tangente de rinclinaison m de cette
coui4>e sur le rayon vecteur r , tang a = — - , la étant le loga-
ia rithni« hyperbolique de <z* Ainsi la spirale logarithmique est un^ courbe qui est toujours également inclinée sur le rayon vecteur.
Pour le rayon de courbare , on trouve , en substituant les valeurt - dr . d*r «« •j-'y -j- y dans la formule précédente :
Rz=.rVi+{la)\
Ce qui fait voir que la courbure est en raison inverse du rayon vecteur j Si a est la base e des logarithmes de Néper , & = i . Le rayon de courbure devient r V^ » «t la tangente de « est égale à l'unité.
Via
Ce qu'on vient de dire dans cet extrait renferme la théorie de la transformation des fonctions différentielles , ou du changement de la variable indépendante. Dans le calcul des fluxions y ce serait le changement de la variable uniforme , ou dont la fluxion est. pris» pour unité* Dans le système des infiniment petits de Leibnitz , c'est le changement de la variable dont la différentielle est re*> gardée comme constante. Mais ces diverses dénominations ne repondent , comme on voit , qu'aux divers points de vue sous lesquels on peut envisager le calcul différentiel ^ et toute cette théorie n'est qu'une application continuelle de la seconde règle générale de ce calcul ; comme le Calcul différentiel relatif aux fonctions de plusieurs variables indépendantes , n'est qu'une application de la troi* sième règle , où Ton différentie toujours comme si les variables étaient fonctions d'une seule , mais où Ton ne perd jamais de vue qu'elles en sont des fonctions tout-à»f&ic arbitraires , ce qui laisse ces variables dans l'ëtat d'indépendance où elles étaient supposées.
Analyse appliquée à la géométrie; par M. Hachette.
Les questions d'analyse appliquée à la gëomëtrie j dont on fait le plus souvent usage dans la mécanique , et les seules qui soient indispensables pour étudier cette science, sont relatives aux courbures des surfaces et des lignes.
J'ai réuni dans cet article les propositions démontrées par Euler i Monge et Meusnier. J'y ai ajouté des extraits de deux Mémoires qui ont été publiés par MM. Dupin et Lancret , anciens élèves de TEcole Foljrtecnnique, l'un de M. Dupin 9 sur les tangentes conjugées que je nommerai tangentes réciproques; l'autre sur les développoïdes des courbes à double courbure.
De la courbure des surfhces.
L'équation différenlielle du premier ordre d'une surface étant i
ds^ = pdx + qdjr , (i)
on sait que les quantités p et q déterminent la direction du plan qui touche la surface au point Xyjr^ z) c'est par cette raison qu'on les appelle élémens du contact du premier ordre. DifTérentiant l'équation (1), en regardant les différentielles ebc tt djr comme constantes ; et supposant qu'on ait :
dp = rdx + sdy , dqsszsdx + tdfy on«:
d^z = rdx* + ft sdxdy -f. tdy*. (a)
lies quantités r ^ 5 et / sont des fonctions de x eiy , qu'on nomme élémens du contact du second ordre , parce qu'elles déterminent les rayons de courbure des sections planes de la surface , qui passent par le point x , 7*9 z. Supposons que ce point soit l'origine des coordonnées , et en même tems le point où le plan des xy touche la surface ; IHixe des z sera une normale de cette surface , et le rayon de courbure d'une section normale passant par la droite
^ 5= «tx , sera -r --. A cause de •— c= « ^ ce rayon
\4x-^dy*)
(»35) de conrbarc sera — : l'équation (a) donno r
d'z Sobstituant celte valeur dans Texpression du rajron p de cour-2
La grandeur de ce rayon dépend évidemment de la tangente tngonométriquea , qui peut vanei?, tandis que les quantités r,sete sont constantes. Pour obtenir Je plus grand et le plus petit rayon de courbure des sections normales , on aura:
d ou Ton tire :
Nommant m et m' les deux racines de cette équation , on a : mm' = — I ou 1 + mmf = o j c*est ainsi qu'Euler a prouvé que le plus grand et le plus petit rayon de courbure des sections normales , correspondaient à deux sections , dont les plans font entre eux un angle droit $ on peut donc supposer que ces plans se confondent avec les plans des xz et des yz. Les valeurs ^' et f^ du plus grand et plus petit rayon de courbure étant :
^ r + 25m + /m* ' '' r+:ksm^ + /m'*' elles deviennent; en supposant m = o | m' a oo ,
*Les valeurs de m et m' étant données par l'équation (4);
Il est évident que l'hypothèse de mcso ou =oo ^ donne 5 = o s
donc Tcxpression de p donnée par l'équation (5) se réduit k :
r+ttt^
Mettant pour r et / leurs valeurs — — , — y
liommant ^ , Pangle des plans normaux qui contiennent les sections dont les rayons sont f et ^% et dont la tangente tri gonomé trique fist « y on a ;
m} Uns A =: A y fiin*-^ = — ; — -f
• =— t-?i 7-, ou — =— 7-sin'^-l -cos*uf. (5)
De ces quatre quantités ^ > fS f, ^^ l'angle des plans normaux qui contiennent les rayons f et f'y ou les rayons p et p^ ^ trois quelconques déterminent la quatrième y dont la valeur sera donnée par l'équation (5). ( Cette relation a été trouvée par Eulen )
L'équation (5) fait voir que les rajons de courbure de dcax sections normales y dont les plans font avec les plans des sections pormales de plus grande ou plus petite courbure des angles égaux , sont de même grandeur.
Dans la même hypothèse de m = o , ou de m' = OD , les plans des sections normales de plus grande et plus petite courbure , coïncident avec les plans des xz et des j^z , et on a :
et par conséquent:
Ce dernier résultat est indépendant du choix des plans des eoor« données ^ en effet , on a pour un rayon quelconque p d'une section pormale :
'~ r+nsm + t^^ ^ ^'
£t pour le rayon fp de la section normale , perpcndicnLiire à la première :
, + JL
donc 1 = r + ^ , (6)
quel que soit «. ( Bupin^ Correspondance , pag. 218 , tom. I*'. )
Combinant les équations (3) et (4) (*) pour éliminer « ^ on obtient l'équation suivante :
d'où Ton tirerait pour l'expression du rayon de la section nor-
maie de plus petite ou plus grande courbure : — .
La valeur de p déduite de cette équation (7) , n'appartient pas seulement au rayon de la section normale de plus grande ou plus
{*) Calcul dt t élimination d€ *.
Élimmant «' an moyen des éqoAtioxif (3) et (4) 9 on tronre pou • U Takor smftfitc:
aj — if(£-<-r)
•- a*»p-4.(t-4.r)(«p-i) * Réfohant réqoation (4) 9 on a pour teopade valeor de « :
